2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.4基本不等式

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.4基本不等式，共5页。试卷主要包含了利用基本不等式求最值，基本不等式的应用等内容，欢迎下载使用。

命题角度1 配凑法
例1
（1） 已知，则函数的最小值为（ A ）
A. B. C. 2D.
解：当 时，，当且仅当，即 时取等号.
所以 的最小值为.故选.
（2） 若，则的最大值为（ C ）
A. 1B. C. D.
解：因为，所以.当且仅当，即 时取等号.则 的最大值为.故选.
【点拨】常见的配凑有配系数、常数项、平方等.遇到分式，关键在于配出互倒的结构，再用基本不等式求解.在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项（必要时，还要考虑常数项）必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大值或最小值.
变式1
（1） [2023年上海春季高考卷]已知正实数，满足，则的最大值为 .
解：（方法一）因为，所以，当且仅当，即， 时，等号成立.所以 的最大值为.
（方法二）因为，，，所以，当且仅当，即，时，等号成立.所以，.则 的最大值为 .
故填.
（2） 函数的最大值为 .
解：.
因为，所以，,当且仅当,即 时，等号成立.所以.故填.
命题角度2 常数代换法
例2 设正实数，满足，则的最小值是（ C ）
A. B. C. D.
解：因为，所以，当且仅当 且，即，时取等号.故选.
【点拨】在求最值中,若两个代数式中一个是整式,另一个是分式,则常凑出可以使用基本不等式的形式.多数情况下,让两个代数式相乘.
变式2 若，，且,则的最小值为（ B ）
A. B. C. 2D. 4
解：,当且仅当，即，时，取等号．故选．
命题角度3 换元法求最值
例3 [2022年新课标Ⅱ卷]【多选题】若，满足，则（ BC ）
A. B. C. D.
解：由，得.令，得，解得，即，当且仅当 时，，当且仅当 时，，所以 错误，正确.
由，得.同理，换元可解得，当且仅当 时取等号，所以 正确.
由，得.当，如，时，,所以 错误.故选.
【点拨】已知条件中含,,混合结构的常可通过换元法用基本不等式求最值,一般“求谁设谁”，再建立不等式求解.
变式3 设，均为正实数，且，则的最小值为16.
解：因为，均为正实数，所以（当且仅当 时等号成立）.令，得，解得，即.故填16.
考点二 基本不等式的应用
例4
（1） 已知函数，若对任意恒有成立，则实数的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意，得,即 对任意 恒成立.
设，则 在 上恒成立，,当且仅当,即 时，等号成立.故选.
（2） 【多选题】已知，则（ BC ）
A. B. C. D.
解：因为,所以,，即，即,,.错误，正确.
对于，因为,所以.或，正确.
对于，因为,所以，即，错误.故选.
【点拨】 基本不等式的综合应用，主要体现在恒成立问题中的求参数范围、与其他知识的交汇及实际应用.
变式4
（1） 在中，边，，满足， ，则边的最小值为 .
解：由题意，可得，当且仅当 时取等号，所以.故填.
（2） 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的长（平行于墙面的边）为15时，菜园的面积最大，最大面积是 .
解：设矩形的长为，则，菜园的面积为，当且仅当，即 时等号成立，所以这个矩形的长为 时，菜园的最大面积是.故填15；.