2022-2023学年广西南宁市希望高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市希望高级中学高一（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  已知向量，向量，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若在中，，则的形状一定是(    )

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

6.  如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  在中，已知，，点满足，其中满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数其中为虚数单位，复数的共轭复数为，则(    )

A.  B.
C. 复数的虚部为 D.

10.  在中，如下判断正确的是(    )

A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则

11.  四边形中，，，，，则下列表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是(    )

A. ，的夹角是 B. ，的夹角是或
C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  计算           ．

14.  若正数，满足，则的最小值是________．

15.  已知命题，命题，若假真，则实数的取值范围为______ ．

16.  如图，在中，，是上一点，且，则的值等于______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，其中为虚数单位
求复数；
若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

18.  本小题分
设向量、满足，且．
求与夹角的大小；
求与夹角的大小；
求的值．

19.  本小题分
已知函数
Ⅰ求的值．
Ⅱ求的最小正周期及单调递增区间．

20.  本小题分
已知向量，，．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ当时，与共线，求的值；
Ⅲ若，且与的夹角为，求

21.  本小题分
如图，已知复平面内平行四边形中，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为．



Ⅰ求点对应的复数；
Ⅱ求平行四边形的面积．

22.  本小题分
如图，三角形的内角，，所对的边分别为，，，．
求．
若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
．
故选：．
先求出集合，，由此能求出．
本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
复数的共轭复数为，
复数的共轭复数对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，向量，若，
则，解得．
故选：．
由已知结合共线向量的坐标运算列式求解值．
本题考查共线向量的坐标运算，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．
将所求的关系式的分母“”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．

【解答】

解：，



．
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题．
由题意和和差角公式易得，进而可得，可判为等腰三角形．
【解答】
解：在中，
，
，
，
，
，即，
为等腰三角形，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，因为直观图中，轴，轴，
所以四边形是一个上底为，下底为，高为的直角梯形，
则原四边形的面积．
故选：．
根据斜二测画法，把直观图还原出原平面图形，再求出原平面图形的面积，即可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数是上的奇函数，且当时，，
当时，
函数，
当时，为单调递增函数，
当时，为单调递增函数，
如图：

函数在区间上单调递增．
，，
即，，
，．
故选：．
先由函数是奇函数，求出函数的解析式，再利用与的关系得到的单调性，利用函数单调性解不等式，求出实数的取值范围．
本题考查了奇函数的解析式求法、分段函数的单调性，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，
所以，
则，
所以当时，取最小值，
则的最小值为，
故选：．
根据条件可得，则，所以，即可求出最小值．
本题考查平面向量基本定理，涉及二次函数求最值问题，转化思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，得．
，故A错误；
，故B正确；
复数的虚部为，故C正确；
，故D正确．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质与图象等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
对于，若，则与相等或互补，对于，由，根据“大角对大边”，则有，根据正弦定理，得，对于，若为锐角三角形，则，可得，，对于，根据正弦定理可求．

【解答】

解：：，，，
或，或，
则为等腰或直角三角形，故A错误．
：设外接圆的半径为，，，，，故B正确．
：为锐角三角形，为锐角，
，，，，故C正确．
：设外接圆的半径为，，，
，，故D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：由已知四边形如图所示：
由图可得：，所以A错误，

，B正确，
，C错误，
，D正确，
故选：．
根据图象以及三角形法则分别求出对应选项的向量，即可判断选项是否正确．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了三角形法则，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是两个单位向量，且的最小值为，
的最小值为，
，
与的夹角为或，
或，
或．
故选：．
根据条件知，的最小值为，这样即可求出的夹角为或，从而求出的值．
考查向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，向量长度的求法，配方的应用．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查逆用两角和与差的正切公式，属于基础题．
先利用两角差的正切公式把原式化为的形式，再根据特殊角的三角函数值可得答案．

【解答】

解：
，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：，，


当且仅当即时取等号
故答案为：
将方程变形，代入可得，然后利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．
 

15.【答案】 

【解析】解：命题：由题意可得，解得；
命题：由题意只需，又当时，，当且仅当是取等号，所以，
因为假真，则，所以，
即实数的范围为．
故答案为：．
命题：根据二次函数的性质建立不等式即可求出的范围；命题：利用基本不等式以及任意性即可求出的范围，然后根据已知建立不等式即可求解．
本题考查了复合命题的真假判断，涉及到存在性与任意性问题，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的加减及数乘运算，属于基础题．
先由在上，可设，然后再根据三角形法则求出，结合已知及向量相等即可求解．
【解答】
解：因为在上，所以可设，
则

，
又，
所以，解得，
故答案为：．  

17.【答案】解：复数，，
；


，
复数所对应的点在第四象限，
，
解得．
实数的取值范围是． 

【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是中档题．
由复数，，则，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数可求；
直接把代入进行化简，再由复数所对应的点在第四象限，列出不等式组，求解即可得答案．
 

18.【答案】解：，且，
即有，
即，
，，
即有，，
由，，
可得与夹角为；
由，
，
则，，
由于，，
即有与夹角为；
，
即有，
，
即有，
故． 

【解析】运用向量的平方即为模的平方和向量的数量积的定义和夹角范围，即可求得夹角；
运用向量的夹角公式，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到夹角；
运用向量模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．
本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查向量的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：
，
Ⅰ，
Ⅱ，故，
即的最小正周期为，
由，得：
，，
故的单调递增区间为，或写成，． 

【解析】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，从而求三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．
Ⅰ代入可得的值
Ⅱ根据三角函数的图象和性质，可得的最小正周期及单调递增区间．
 

20.【答案】解：Ⅰ，，，解得；
Ⅱ，，又，．
与共线，，解得；
Ⅲ，．
又与的夹角为，．
，
． 

【解析】Ⅰ利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
Ⅱ利用向量共线的充要条件即可得出；
Ⅲ利用数量积、向量模的计算公式即可．
熟练掌握向量垂直与数量积的关系、向量共线的充要条件、向量模的计算公式是解题的关键．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题意，点对应的复数为，对应的复数为，
得，，可得，
又对应的复数为，得，可得，
设点对应的复数为，，，
得，，
四边形为平行四边形，
，解得，，
故D点对应的复数为．
Ⅱ，，，
可得：，，
又，，
故平行四边形的面积为． 

【解析】本题考查了复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质、向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
Ⅰ利用复数的几何意义以及向量的坐标运算性质得出，的坐标，设点对应的复数为，，，根据平行四边形的性质得到，即可得解．
Ⅱ利用向量垂直与数量积的关系得到，根据向量模的计算公式得出，，进而根据矩形的面积计算公式即可得出．
 

22.【答案】解：在中，，
由正弦定理得，
，，即，
，；
，且，，
在中，，，
由余弦定理得，，
即，
或， 

【解析】利用正弦定理求解即可；利用余弦定理求解即可．
本题主要考查正弦定理，余弦定理的运用，属于中档题．