2022-2023学年广西南宁市重点中学高一（下）期中数学试卷含答案

2022-2023学年广西南宁市重点中学高一（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知平面向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，的直观图是边长为的等边，则在原图中，边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平行四边形中，，，设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，，为虚数单位，且，复数，则以下结论正确的是(    )

A. 的虚部为 B. 的模为
C. 的共轭复数为 D. 对应的点在第四象限

10.  在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是(    )

A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件
B. 若，则为等腰三角形
C. 命题“若，则”是真命题
D. 若，，，则符合条件的有两个

11.  下列说法正确的是(    )

A. 若，且，则
B. 若，为复数，则
C. 设，是非零向量，若，则
D. 设，为复数，若，则

12.  向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则(    )

A.  B. 与的夹角为
C.  D. 在上的投影向量为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  已知命题，命题，若假真，则实数的取值范围为______ ．

14.            ．

15.  若圆被直线平分，则的最小值为______ ．

16.  如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设向量、满足，且．
求与夹角的大小；
求与夹角的大小；
求的值．

18.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，设，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，边上的两条中线，相交于，，以为圆心，为半径的圆上有一个动点，求的最大值．

19.  本小题分

已知，复数．

若为纯虚数，求的值；

在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围．

20.  本小题分
已知函数
求函数的最小正周期和单调递增区间；
在锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，若，，，求的面积．

21.  本小题分
已知向量，，．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ当时，与共线，求的值；
Ⅲ若，且与的夹角为，求
 

22.  本小题分
已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
求实数的值；
若，，求的坐标；
已知，在的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】，
复数的共轭复数为，
复数的共轭复数对应的点位于第四象限．
故选：．
2.【答案】 

【解析】，，，
则，
，，
故．
故选：．
3.【答案】 

【解析】根据题意，函数，则，
则．
故选：．
4.【答案】 

【解析】，，
故A．
故选：．
5.【答案】 

【解析】

因为角的终边经过点，
所以，
则

．
故本题选D．

6.【答案】 

【解析】在直观图中，

因为边长为的等边，所以上的高，
，
在原图中，上的高．
故选：．
7.【答案】 

【解析】

因为

所以，

所以，

又，

所以，即，

所以，

所以，即，

又，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

又易知，

所以，即．

故选A．

8.【答案】 

【解析】如图：

因为四边形为平行四边形，
所以，，，

因为，，

所以，，

所以，

，

因为，，

所以，解得

所以，

故选：．

9.【答案】 

【解析】，
则，，解得，，
故，
的虚部为，的模为，故A错误，B正确；
，故C正确；对应的点位于虚轴负半轴上，故D错误．
故选：．
 

10.【答案】 

【解析】若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；
由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
若，则，由正弦定理得，即成立，故C正确
根据余弦定理得，即，所以，符合条件的只有一个，故D错误．
故选AC．

11.【答案】 

【解析】若，且，则，即或，故A错误；
设，，，
，，
则，
，故B正确；
因为、为非零向量，，两边同时平方可得，，
即，
所以，故C项正确；
当，时，满足，但不满足，故D项错误．
故选：．
12.【答案】 

【解析】，，
所以，
解得，A错误；
设，的夹角为，则，
由于，
与的夹角为，故B正确；
，故错误；
在上的投影向量为，故D正确．
故选：．
13.【答案】 

【解析】命题：由题意可得，解得；
命题：由题意只需，又当时，，当且仅当是取等号，所以，
因为假真，则，所以，
即实数的范围为．
故答案为：．
14.【答案】 

【解析】原式．

15.【答案】 

【解析】由，
所以该圆的圆心坐标为，
因为圆被直线平分，
所以圆心在直线上，
因此有，，
当且仅当时，，时取等号，
故的最小值为．
故答案为：．
16.【答案】 

【解析】设，则．
又，则，解得，
所以，令，，
则，
所以，且，．
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
17.【答案】，且，
即有，
即，
，，
即有，，
由，，
可得与夹角为；
由，
，
则，，
由于，，
即有与夹角为；
，
即有，
，
即有，
故． 

18.【答案】Ⅰ由正弦定理及，得，
，
，
，，，
．
Ⅱ以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，设，，，，，
又为三角形的重心，，
圆：，设，
，，，
，
，
．
 

19.【答案】，
因为为纯虚数，所以，且，则．
由知，，则点位于第二象限，
所以，得．
所以的取值范围是． 

20.【答案】因为函数，
所以函数的最小正周期．
令，得，
所以函数的单调递增区间为，，．
因为，所以，即，
又，所以，
所以或，所以或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
所以，，，，
此时为等腰三角形，所以，
所以，
即的面积为． 

21.【答案】Ⅰ，，，解得；
Ⅱ，，又，．
与共线，，解得；
Ⅲ，．
又与的夹角为，．
，
． 

22.【答案】，
因为，，三点共线，所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以
解得，；
，
设，
由题意可得，
，，
，．
．