2022-2023学年广西南宁市示范性高中高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广西南宁市示范性高中高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.甲、乙两人独立地破译密码，已知甲、乙能破译的概率分别是13,14，则两人都成功破译的概率是( )
A. 112B. 12C. 712D. 1112
2.设一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为1，则数据3x1+2，3x2+2，⋯，3xn+2的方差为( )
A. 3B. 5C. 9D. 13
3.复数z=5−1+2i的共轭复数是( )
A. 1+2iB. −1+2iC. −1−2iD. 1−2i
4.已知点O是直角△ABC斜边BC的中点，且|OA|=|AB|=1，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. − 34BCB. −14BCC. 14BCD. 34BC
5.如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是( )
A. 64πB. 77πC. 80πD. 84π
6.已知l、m、n表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l、m、n两两相交且不共点，则l、m、n共面；②若l//α，则l与α内的任意一条直线平行；③若α⊥β，β⊥γ，则α//γ；④若l⊥α，l//β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.在四边形ABCD中，若AC=AB+AD，则下列说法不正确的是( )
A. 四边形ABCD是平行四边形
B. |AC|<|AB|+|AD|
C. |AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2)
D. 若|AB|=|AD|，则(AB−AD+DB)⋅AC=0
8.△ABD、△BCE、△CAF是3个全等的三角形，用这3个三角形拼成如图所示的2个等边三角形△ABC、△DEF，若S△ABC=49 34，cs∠BAD=1314，则DF=( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(λ−1)a+λb(λ∈R)，则( )
A. a与b的夹角为45∘
B. 当a⊥c时，λ=0
C. 当λ=13时，c与d=(−1,1)方向相反
D. 当λ=3时，c与d=(−1,1)组成平面内的一组基底
10.2021年广西新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一.政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他选择化学和生物”，事件C=“他选择其中一门课程是化学”，则( )
A. n(C)=3B. B与C−对立C. P(B+C)=12D. P(A−C)=512
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. ω=3
B. 函数f(x)图象关于点(−4π9,0)中心对称
C. 当x∈[−π6,π6]时，函数f(x)的取值范围是[−2, 3]
D. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标向右平移π9个单位(纵坐标不变)得到的函数图象关于y轴对称
12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为长方形，AB= 2，AD=2，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点，N是PB上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. AM⊥CD
B. PB与底面ABCD所成的角为π4
C. 二面角M−AC−D所成的角为π4
D. 当点N在线段PB上运动时，点N到平面ACM的距离不是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数5+10i与3−4i分别表示向量OA与OB，则表示向量AB的复数为______.
14.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=50 6,c=150,C=60∘，则角B=______.
15.
16.如图，在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.设AB=mAM，AC=nAN，则1m+1n的最小值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.
求证：
(1)AO1//平面BC1D；
(2)AO1⊥BD.
18.(本小题12分)
某旅游网考察景区酒店A，B，依据服务质量给酒店综合评分，如表是考察组给出酒店A，B的评分，记A，B两个酒店得分的平均数分别为x−和y−，方差分别为s12和s22.
(1)分别求这两个酒店得分的极差和中位数；
(2)求x−，y−，s12，s22；
(3)若要推荐A，B酒店中的一家，依据以上计算的结果分析推荐哪一家酒店，并说明理由.
19.(本小题12分)
某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)计算这次测试成绩的第70百分位数；
(3)在测试成绩位于区间[80,90)和[90,100]的学生中，采用分层抽样，确定了6人，若从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A=“抽取的两人的测试成绩分别位于[80,90)和[90,100]”，求事件A的概率P(A).
20.(本小题12分)
已知a=(sin2x,2m)，b=( 3,cs2x)，函数f(x)=a⋅b−2m.
(1)当m=0时，求f(x)的单调递增区间；
(2)当函数f(x)在R上的最大值为1，求使f(x)≥0成立的x取值的集合.
21.(本小题12分)
请从①cs2C+csC=0；②sin2A+sin2B−sin2C−sinAsinB=0；③ccsB+(b−2a)csC=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上).
(1)求角C的大小；
(2)若c=1，D为△ABC的外接圆上的点，BA⋅BD=BA2，求四边形ABCD面积的最大值.
22.(本小题12分)
如图1，在矩形ABCD中，AE=12AB=14AD=a，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1−BCDE.
(1)证明：BE⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，若a=1，求三棱锥O−A1CD的体积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据已知条件，甲、乙能破译的概率分别是13，
所以两人都成功破译的概率是13×14=112.
故选：A.
根据独立事件的乘法公式求解即可．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为1，
所以数据3x1+2，3x2+2，⋯，3xn+2的方差为32×1=9.
故选：C.
根据方差的性质计算可得．
本题主要考查了方差的线性性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：z=5−1+2i=5(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=5(−1−2i)5=−1−2i，其共轭复数为−1+2i.
故选：B.
根据复数的除法运算与共轭复数的概念求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为点O是直角△ABC斜边BC的中点，且|OA|=|AB|=1，
所以|BC|=2|OA|=2，则csB=ABBC=12，
向量BA在向量BC上的投影向量为BA⋅BC|BC|2⋅BC=|BA|⋅|BC|csB|BC|2⋅BC=14BC.
故选：C.
依题意可得|BC|、csB，再根据投影向量的定义计算可得．
本题考查了向量在另一向量上的投影的求法，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：圆柱的上底面面积为4π；圆柱的侧面面积为4π×5=20π，
圆台的下底面面积为25π；圆台的母线长为 42+(5−2)2=5，
所以圆台的侧面面积为π(2+5)×5=35π，
则该组合体的表面积为4π+20π+25π+35π=84π.
故选：D.
分别计算圆柱的上底面面积、圆柱的侧面面积、圆台的下底面面积、圆台的侧面面积可得答案．
本题考查圆柱的上底面面积、圆柱的侧面面积、圆台的下底面面积、圆台的侧面面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用侧面积公式是关键．
6.【答案】C
【解析】解：对①，由l、m、n两两相交且不共点，可得l，m，n分别分别相交于3点，且三点不共线，
故该3点能确定一平面，即l，m，n所在的平面，故①正确；
对②，在正方体ABCD−A1B1C1D1中A1B1//平面ABCD，但A1B1与AD不平行，故②错误；
对③，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面DCC1D1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1⊥平面DCC1D1，故③错误；
对④，由线面垂直的性质可得④正确；
综上有①④正确．
故选：C.
对①，根据三个不共线的点确定一平面判断即可；对②③，根据举反例判断即可；对④，根据面面垂直的判定判断即可．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，在四边形ABCD中，因为AC=AB+AD，根据平面向量加法的平行四边形法则可知四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
对于B，∵|BC|=|AD|，由三角形两边之和大于第三边知，|AC|<|AB|+|BC|，∴|AC|<|AB|+|AD|，故B正确；
对于C，由平面向量的加减运算法则得：AC=AB+AD，BD=AD−AB，
∴|AC|2+|BD|2=AC2+BD2=(AB+AD)2+(AD−AB)2
=AB2+2AB⋅AD+AD2+AB2−2AB⋅AD+AD2
=2(AB2+AD2)=2(|AB|2+|AD|2)，故C正确；
对于D，若|AB|=|AD|，则平行四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，∴BD⋅AC=0，
∴(AB−AD+DB)⋅AC=(DB+DB)⋅AC=2DB⋅AC=0，故D错误．
故选：D.
平面向量加法的平行四边形法则判断A；
再根据平行四边形的性质及三角形三边关系判断B；
根据数量积的运算律判断C；
根据菱形的性质判断D.
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，等边△ABC中S△ABC= 34AB2=49 34，解得AB=7，
因为△DEF为等边三角形，故∠EDF=60∘，则∠ADB=120∘，
又cs∠BAD=1314,∠BAD为锐角，
故sin∠BAD= 1−(1314)2=314 3，
由正弦定理BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
即BD314 3=7 32，
解得BD=3，
由全等可得AF=BD=3，
由余弦定理有AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB，
即49=AD2+9+3AD，
即(AD−5)(AD+8)=0，
故AD=5，
故DF=AD−AF=AD−BD=2.
故选：C.
根据正三角形面积公式可得AB=7，再根据正余弦定理分别计算AD，DB即可．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对A，设a与b的夹角为θ，(0∘≤θ≤180∘)，则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=1 2= 22，故θ=45∘，故A正确；
对B，c=(λ−1)(1,0)+λ(1,1)=(2λ−1,λ)，则当a⊥c时，a⋅c=0，即2λ−1=0，解得λ=12，故B错误；
对C，当λ=13时，c=(−13,13)，此时d=(−1,1)=3c，则c与d=(−1,1)方向相同，故C错误；
对D，当λ=3时，c=(5,3)，c与d=(−1,1)不共线，故能组成平面内的一组基底，故D正确．
故选：AD.
对A，根据向量夹角公式求解即可；对B，根据垂直向量数量积为0求解；对C，代入λ=13判断即可；对D，代入λ=3，判断c与d=(−1,1)是否不共线即可．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量的共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：依题意该同学的四选二选科可能为：政治和地理，政治和化学，政治和生物，
化学和地理，生物和地理，化学和生物共6种结果，
则事件C包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共3种结果，所以n(C)=3，故A正确；
C−包含政治和地理，政治和生物，生物和地理共3种结果，所以B与C−互斥不对立，故B错误；
因为B⊆C，所以P(B+C)=P(C)=36=12，故C正确；
A−C包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共3种结果，所以P(A−C)=36=12，故D错误．
故选：AC.
列出该同学的四选二选科的可能结果，再一一分析即可．
本题考查了互斥事件和对立事件的概率求值问题，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：由函数f(x)的图象，可得A=2，34T=5π9−π18=π2，
可得T=2π3，所以ω=2πT=3，所以f(x)=2sin(3x+φ)，故A正确；
又由f(5π9)=2sin(3×5π9+φ)=−2，即sin(5π3+φ)=−1，解得5π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z，
即φ=−π6+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ=−π6，所以f(x)=2sin(3x−π6)，
因为f(−4π9)=2sin(−3π2)=2，所以点(−4π9,0)不是函数的对称中心，故B错误；
当x∈[−π6,π6]，可得3x−π6∈[−2π3,π3]，所以sin(3x−π6)∈[−1, 32]，
则f(x)=2sin(3x−π6)∈[−2, 3]，即f(x)的取值范围是[−2, 3]，故C正确；
将函数f(x)图象上所有点的横坐标向右平移π9个单位(纵坐标不变)，
可得g(x)=2sin[3(x−π9)−π6]=2sin(3x−π2)=−sin2x，则g(x)为奇函数，图象关于原点对称，故D不正确．
故选：AC.
根据题意，求得f(x)=2sin(3x−π6)，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，考查三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A：因为CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
CD⊂底面ABCD，所以CD⊥侧面PAD，又AM⊂侧面PAD，所以AM⊥CD，故A正确；
对于B：取AD的中点O，连接PO，BO，因为PAD是正三角形，所以PO⊥AD，
侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
PO⊂底面PAD，所以PO⊥底面ABCD，所以∠PBO为直线PB与底面ABCD所成的角，
又PO= 22−12= 3，BO= ( 2)2+12= 3，所以tan∠PBO=POBO=1，则∠PBO=π4，
所以PB与底面ABCD所成的角为π4，故B正确；
对于C：取AC的中点E，OD的中点F，连接EM、EF、ME，则MF//PO，又PO⊥底面ABCD，所以MF⊥底面ABCD，
又AC⊂底面ABCD，所以MF⊥AC，又AM= 22−12= 3，CM= ( 2)2+12= 3，
即AM=CM，所以AC⊥ME，ME∩MF=M，ME，MF⊂平面MEF，
所以AC⊥平面MEF，EF⊂平面MEF，所以AC⊥EF，
所以∠MEF为二面角M−AC−D的平面角，又AC= 22+( 2)2= 6，
所以EM= ( 3)2−( 62)2= 62，MF=12PO= 32，所以sin∠MEF=MFEM= 22，
所以∠MEF=π4，即二面角M−AC−D所成的角为π4，故C正确；
对于D：连接BD，则BD∩AC=E，连接EM，即E为BD的中点，所以EM//PB，
因为EM⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，所以PB//平面AMC，
又N是PB上的一个动点，所以点N到平面ACM的距离是定值，故D错误．
故选：ABC.
根据面面垂直的性质得到CD⊥侧面PAD，即可判断A，取AD的中点O，连接PO，BO，即可得到PO⊥底面ABCD，则∠PBO为直线PB与底面ABCD所成的角，从而判断B，取AC的中点E，OD的中点F，连接EM、EF、ME，则∠MEF为二面角M−AC−D的平面角，即可判断C，连接BD，则BD∩AC=E，连接EM，则EM//PB，即可判断D.
本题考查线面角、二面角相关知识，属于中档题．
13.【答案】−2−14i
【解析】解：∵复数5+10i与3−4i分别表示向量OA与OB，
∴OA=(5,10)，OB=(3,−4)，
∴AB=OB−OA=(−2,−14)，
∴AB的复数为−2−14i.
故答案为：−2−14i.
由复数5+10i与3−4i分别表示向量OA与OB，可得OA=(5,10)，OB=(3,−4)则AB=OB−OA=(−2,−14)，向量AB的复数可求．
本题考查了复数的几何意义，是基础题．
14.【答案】45∘
【解析】解：由正弦定理bsinB=csinC可得50 6sinB=150sin60∘，解得sinB= 22，
因为在△ABC中，b=50 6所以B=45∘.
故答案为：45∘.
由已知利用正弦定理可得答案．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
15.【答案】

【解析】
16.【答案】3+2 23
【解析】解：∵BO=2OC，
∴AO=AB+23BC=AB+23(AC−AB)
=13AB+23AC=m3AM+2n3AN，
由M、O、N三点共线，有m3+2n3=1，
∴1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)=1+2n3m+m3n≥1+2 29=3+2 23，
当且仅当2n3m=m3n即m=3 2−3，n=3−3 22时取等号，
∴1m+1n的最小值是3+2 23.
故答案为：3+2 23.
根据三点M，O，N共线得出m，n的关系，再利用基本不等式得出结论．
本题考查了平面向量基本定理，基本不等式的应用，属中档题．
17.【答案】证明：(1)连接AC交BD于点O，
再连接A1C1，OC1，因为O1为底面A1B1C1D1的中心，可得O1为A1C1的中点，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1//BB1//CC1，AA1=BB1=CC1，
所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以AC//A1C1，AC=A1C1，
因为O，O1分别为AC，A1C1的中点，
所以O1C1//AO且O1C1=AO，
所以四边形AOC1O1为平行四边形，
所以AO1//OC1，
因为AO1⊄平面BC1D，OC1⊂平面BC1D，
所以AO1//平面BC1D.
(2)由四边形ABCD为正方形，可得BD⊥AC，
因为AA1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥AA1，
又因为AC∩AA1=A，且AC，AA1⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，
因为AO1⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥AO1.
【解析】(1)连接AC交BD于点O，再连接A1C1，OC1，证得四边形AOC1O1为平行四边形，可得AO1//OC1，结合线面平行的判定，即可证得AO1//平面BC1D；
(2)分别证得BD⊥AC和BD⊥AA1，利用线面垂直的判定定理，证得BD⊥平面ACC1A1，进而证得BD⊥AO1.
本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)酒店A的得分从小到大排列为：55，60，65，65，70，70，75，75，80，85，
酒店B的得分从小到大排列为：50，60，65，70，70，70，75，80，80，80，
所以酒店A的得分的极差为85−55=30，酒店B得分的极差为80−50=30，
酒店A得分的中位数为70，酒店B得分的中位数为70，
(2)酒店A的得分平均数为x−=55+60+2×65+2×70+2×75+80+8510=70，
方差s12=(55−70)2+(60−70)2+2×(65−70)2+2×(70−70)2+2×(75−70)2+(80−70)2+(85−70)210=75
酒店B得分的平均数为y−=50+60+65+3×70+75+3×8010=70，
方差为s22=(50−70)2+(60−70)2+(65−70)2+3×(70−70)2+(75−70)2+3×(80−70)210=85
(3)因为A，B两个酒店得分的平均数相同，而酒店A的得分的方差小于酒店B得分的方差，
所以酒店A的得分比较稳定，所以选择酒店A.
【解析】(1)根据极差的定义求解，对两组数从小到大排列后，根据中位数的定义求解；
(2)根据平均数和方差的定义直接求解即可；
(3)根据平均数和方差的性质分析即可．
本题考查统计的应用，考查极差和中位数的定义，考查平均数和方差的定义与性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.006+0.008+0.020+0.030+0.024+m)×10=1，
解得m=0.012；
(2)测试成绩位于[90,100]的频率0.012×10=0.12<0.3，
位于[80,100]的频率0.024×10+0.012×10=0.36>0.3，
故第70百分位数位于[80,90),设为x.
则(90−x)×0.024+0.12=0.3，
解得x=82.5，即第70百分位数为82.5；
(3)测试成绩位于[80,90)的频率P1=0.024×10=0.24，位于[90,100]的频率P2=0.012×10=0.12，
因为P1：P2=2：1，所以确定的6人中成绩在[80,90)内的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4，成绩在[90,100]内的有2人，分别记为B1，B2，
从6人中随机抽取2人的样本空间：Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)}，共有15个样本点，
其中A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)}，即n(A)=8，
所以概率为P(A)=815.
【解析】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
(1)根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，得到关于m的方程；
(2)根据百分位数的概念求解即可；
(3)首先确定分层抽样的各层人数，分别计算其频率，得到其比值，确定各层人数，然后根据古典概型的特点求出样本空间和满足题意的情况数，最终得到概率．
20.【答案】解：(1)已知a=(sin2x,2m)，b=( 3,cs2x)，函数f(x)=a⋅b−2m，
当m=0时，a=(sin2x,0)，
因为b=( 3,cs2x)，
所以f(x)=a⋅b= 3sin2x，
由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z，
得−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−π4+kπ,π4+kπ](k∈Z)；
(2)因为a=(sin2x,2m)，b=( 3,cs2x)，
所以f(x)=a⋅b−2m= 3sin2x+2mcs2x−2m
= 3sin2x+mcs2x−m
= 3+m2( 3 3+m2sin2x+m 3+m2cs2x)−m
= 3+m2sin(2x+φ)−m(其中csφ= 3 3+m2,sinφ=m 3+m2)，
当sin(2x+φ)=1时，f(x)取得最大值 3+m2−m，
因为f(x)在R上的最大值为1，
所以 3+m2−m=1，解得m=1，
所以f(x)= 3sin2x+cs2x−1=2sin(2x+π6)−1，
由f(x)≥0，得2sin(2x+π6)−1≥0，
即sin(2x+π6)≥12，
所以π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ,k∈Z，
得kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以f(x)≥0成立的x取值的集合为{x|kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z}.
【解析】(1)先求得f(x)= 3sin2x，然后由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z可求出函数的增区间；
(2)由题意得f(x)= 3+m2sin(2x+φ)−m(其中csφ= 3 3+m2,sinφ=m 3+m2)，再由其最大值为1，可求出m=1，从而可得f(x)=2sin(2x+π6)−1，然后由正弦函数的性质可求出f(x)≥0成立的x取值的集合．
本题考查了三角恒等变换及平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
21.【答案】解：(1)选①：∵cs2C+csC=0，
∴2cs2C+csC−1=0，即(2csC−1)(csC+1)=0，
又C∈(0,π)，则csC=12或csC=−1(不合题意，舍去)，
∴C=π3；
选②：∵sin2A+sin2B−sin2C−sinAsinB=0，
∴由正弦定理得a2+b2−c2−ab=0，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又C∈(0,π)，则C=π3；
选③：∵ccsB+(b−2a)csC=0，
∴由正弦定理得sinCcsB+(sinB−2sinA)csC=sin(B+C)−2sinAcsC=0，
又C∈(0,π)，A∈(0,π)，sinA≠0，
则csC=12，则C=π3；
(2)∵BA⋅BD=BA2，
∴|BA|⋅|BD|cs∠BAD=|BA|⋅|BA|，
即|BD|cs∠BAD=|BA|，即∠BAD=π2，
作出图形，如图所示：
则SABCD=12AB⋅AD+12BC⋅CD，
由正弦定理得2R=csinC=1sinπ3=2 33，
SABCD=12AB⋅AD+12BC⋅CD=12×1 3×1+12BC⋅CD，
∵BC2+CD2=BD2=43，
∴BC2+CD2=43≥2BC⋅CD，当且仅当BC=CD= 63时，等号成立，即BC⋅CD≤23，
∴SABCD=12AB⋅AD+12BC⋅CD=12×1 3×1+12BC⋅CD，解得SABCD≤ 3+26，
故四边形ABCD面积的最大值为 3+26.
【解析】(1)选①：通过二倍角公式的化简求解，即可得出答案；选②：通过余弦定理求解，即可得出答案；选③：通过边角互化求解，即可得出答案；
(2)将条件BA⋅BD=BA2转化为∠BAD=π2，然后结合基本不等式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：在矩形ABCD中，AE=12AB=14AD=a，O是AC与BE的交点，
可得△ABE∽△ABC，
所以∠AEB=∠BAC，∠ABE=∠ACB，
因为∠AEB+∠ABE=90∘，∠BAC+∠ACB=90∘，且∠BAC+∠OAE=90∘，
所以∠AEO+∠OAE=90∘，可得∠AOE=90∘，
所以BE⊥AC，
在图(2)中，可得BE⊥A1O，BE⊥CO，
因为OA1∩CE=O，且OA1，CE⊂平面A1OC，
所以BE⊥平面A1OC；
(2)由(1)知，A1O⊥BE，
因为平面A1BE⊥平面BCDE，且A1O⊂平面A1BE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
又因为a=1，且AE=12AB=14AD=a，
所以AE=1，AB=2，AD=4，
可得BE= AB2+AE2= 5，
所以AO=AB⋅AEBE=2 5，
在图(1)中，连接OD，由△AOE∽△BOC，
可得相似比为AEBC=14，
设△AOD边AD的高为h1，△BOC边BC的高为h2，
可得h1h2=14，
因为h1+h2=AB=2，
可得h1=25,h2=85，
则S△OCD=S△ACD−S△AOD=12AD⋅DC−12AD×h1=12×2×4−12×4×25=165，
又由VO−A1CD=VA1−OCD=13S△OCD⋅A1O=13×165×2 5=32 575，
所以三棱锥O−A1CD的体积32 575.
【解析】(1)根据△ABE∽△ABC，证得∠AOE=90∘，得出BE⊥AC，得到BE⊥A1O，BE⊥CO，结合线面垂直的判定定理，即可证得BE⊥平面A1OC；
(2)由A1O⊥BE和平面A1BE⊥平面BCDE，证得A1O⊥平面BCDE，求得AO=2 5，再求得S△OCD=S△ACD−S△AOD=165，结合锥体的体积公式，即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥的体积计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．A(单位/分)
60
75
65
80
65
75
85
70
55
70
B(单位/分)
75
70
65
80
80
50
80
70
60
70