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    2022-2023学年广西南宁市普高联盟高一(下)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年广西南宁市普高联盟高一(下)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年广西南宁市普高联盟高一(下)期末数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年广西南宁市普高联盟高一(下)期末数学试卷
    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 若复数z=21−i,则z=(    )
    A. 1+i B. −1+i C. −2+i D. 2−i
    2. 已知向量a=(1,2),b=(3,4),则a−b=(    )
    A. (2,6) B. (−2,6) C. (4,6) D. (−2,−2)
    3. 如图,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O′A′B′C′,且O′C′=2,O′A′=1,∠A′O′C′=45°,则平面图形OABC的面积为(    )
    A. 2
    B. 4
    C. 8
    D. 10
    4. 已知互不重合的直线m,n,互不重合的平面α,β,γ,下列命题错误的是(    )
    A. 若α/​/β,β/​/γ,则α/​/γ B. 若α/​/β,β⊥γ,则α⊥γ
    C. 若α/​/β,m/​/α,则m//β D. 若α/​/β,n⊂α,则n/​/β
    5. 甲、乙两人进行射击比赛,分别对同一目标各射击10次,其成绩(环数)如表:
    甲的环数
    7
    7
    10
    6
    10
    8
    7
    9
    7
    9
    乙的环数
    7
    8
    8
    9
    8
    7
    7
    9
    8
    9
    下列说法正确的是(    )
    A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 甲的中位数等于乙的中位数
    C. 甲、乙的众数都是7 D. 乙的成绩更稳定
    6. 已知sinα=35,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tanβ的值为(    )
    A. −17 B. 17 C. −34 D. 34
    7. 某次实验得交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数解析式为i=Asin(ωt+φ),其中A>0,ω>0,|φ|≤π2且t∈[0,+∞),其图象如图所示,则下列说法错误的是(    )

    A. ω=100π B. φ=π4
    C. 当t=380时,i=0 D. 当t=980时,i=10
    8. 在三棱锥P−ABC中,PA=PB=PC=2 3,AB=AC=BC=3,则三棱锥P−ABC的外接球的体积是(    )
    A. 4π3 B. 8 2π3 C. 32π3 D. 4 3π
    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
    9. 下列关于复数z=(1−i)(2+i)的说法中正确的有(    )
    A. 复数z的虚部为1 B. 复数z的共轭复数是3+i
    C. 复数z的的模是10 D. 复数z的对应的点在第四象限
    10. 随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高,我国社会物流需求不断增加,物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标,下面是2017−2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计,则(    )


    A. 2018−2022这5年我国社会物流总费用逐年增长.且2021年增长的最多
    B. 2017−2022这6年我国社会物流总费用的第70%分位数为14.9万亿元
    C. 2017−2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%
    D. 2022年我国的GDP超过了121万亿元
    11. 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变),再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变),最后把所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=sin(2x−π3)的图象,则f(x)的解析式可以为(    )
    A. f(x)=−2cos2x B. f(x)=−2cos(23x+π3)
    C. f(x)=12cos(23x−5π6) D. f(x)=2sin(23x−π6)
    12. 如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a,则下列选项中正确的有(    )
    A. 异面直线B1D与AA1的夹角的正弦为 63
    B. 二面角A1−BD−A的平面角的正切值为 3
    C. 正方体的外接球体积为 32a3π
    D. 三棱锥A1−ABD与三棱锥A1−B1D1D体积相等



    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
    13. 2022年8月16日,航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度,利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查,其中高一年级抽取了11人,高二年级抽取了9人,且高三年级共有学生900人,则该高中的学生总数为______ 人.
    14. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=π3,a=5,b=7,c= ______ .
    15. 已知长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2 2的正方形,若cos∠BAC1= 24,则该长方体的外接球的表面积为______ .
    16. 如图,在△ABC中,B=π3,AB=2,点M满足AM=13AC,BM⋅AC=43,O为BM中点,点N在线段BC上移动(包括端点),则OA⋅ON的最小值是______ .


    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题10.0分)
    已知向量a=(4,3),b=(−1,1),c=(x,6).
    (1)求|a+b|;
    (2)当a/​/c时,求x的值;
    (3)当(c−a)⊥b时,求x的值;
    18. (本小题12.0分)
    全民健身,强国有我,某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平,组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目,为了解他们的具体运动情况,企业工会从该企业全体职工中随机抽取了100名,统计他们的日均运动步数,并得到如图频率分布直方图.
    (1)求直方图中a的值;
    (2)估计该企业职工日均运动步数的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
    (3)若该企业恰好有15的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者达标线,试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少?

    19. (本小题12.0分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=4,AD=5,棱PC的中点为N,连接DN.
    (1)求证:PA⊥平面PCD;
    (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

    20. (本小题12.0分)
    已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acosB+b=2c.
    (1)求A的大小;
    (2)若a=3 3且△ABC的面积为 3,求sinB+sinC的值.
    21. (本小题12.0分)
    已知函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x+1.
    (1)化简函数f(x)的解析式;
    (2)求函数f(x)的单调递增区间;
    (3)若对任意的x∈(π4,π),不等式f(x)>m−3恒成立,求实数m的取值范围.
    22. (本小题12.0分)
    如图,已知直三棱柱ABC−A1B1C1,AC⊥BC,AC=BC=2,AA1=4,点D为AC的中点.
    (1)证明:AB1//平面BC1D;
    (2)求直线AB1到平面BC1D的距离.


    答案和解析

    1.【答案】A 
    【解析】解:z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i.
    故选:A.
    根据已知条件,结合复数的四则运算,即可求解.
    本题主要考查复数的四则运算,属于基础题.

    2.【答案】D 
    【解析】解:∵a=(1,2),b=(3,4),
    ∴a−b=(−2,−2).
    故选:D.
    根据向量减法的坐标运算进行运算即可.
    本题考查了向量坐标的减法运算,考查了计算能力,属于容易题.

    3.【答案】B 
    【解析】解:根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形,如下图所示,且长OC=4,宽OA=1,

    故平面图形OABC的面积为OA⋅OC=4.
    故选:B.
    根据斜二测画法得到平面图形,即可得解.
    本题主要考查了平面图形的直观图,属于基础题.

    4.【答案】C 
    【解析】解:由α/​/β,β/​/γ,得α/​/γ,故A正确;
    若β⊥γ,则β内垂直于两平面交线的直线a垂直γ,又α/​/β,则α内存在直线b/​/a,可得b⊥γ,则α⊥γ,故B正确;
    若α/​/β,m/​/α,则m//β或m⊂β,故C错误;
    若α/​/β,则α与β无公共点,而n⊂α,则n与β无公共点,可得n/​/β,故D正确.
    故选:C.
    由平面平行的传递性判断A;由平面与平面垂直的判定、平面与平面平行的性质判断B;由两面平行分析线面关系判断C;由两面平行及线面平行的定义判断D.
    本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能力,是基础题.

    5.【答案】D 
    【解析】解:计算得甲、乙的平均数都是8,故A错误;
    甲从小到大进行排序:6,7,7,7,7,8,9,9,10,10,
    乙从小到大进行排序,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,
    所以甲的中位数是7.5,而乙的中位数是8,故B错误;
    乙的众数是8,故C错误;
    甲的方差为s12=110[(7−8)2×4+(6−8)2+(9−8)2×2+(10−8)2×2]=1.8,
    乙的方差为s22=110[(7−8)2×3+(9−8)2×3]=0.6,
    所以乙的方差小,所以乙的成绩更稳定,故D正确.
    故选:D.
    求出甲乙的平均数、中位数和众数,即可判断选项ABC,求出方差判断选项D.
    本题考查平均数、中位数、众数、方差的定义,属于基础题.

    6.【答案】B 
    【解析】解:因为sinα=35,α是第一象限角,所以cosα= 1−sin2α=45,
    所以tanα=34,
    所以tanβ=tan[(α+β)−α]=1−341+34=17.
    故选:B.
    先根据平方关系及商数关系求出tanα,再根据tanβ=tan[(α+β)−α]利用两角差的正切公式即可得解.
    本题主要考查两角差的正切公式,同角三角函数的基本关系,考查运算求解能力,属于基础题.

    7.【答案】D 
    【解析】解:由题知T=2×(0.0225−0.0125)=0.02,则ω=100π,又A=10,
    则i=10sin(100πt+φ),所以当t=0时,10sinφ=5 2,
    则sinφ= 22,又|φ|≤π2,
    则φ=π4,因此i=10sin(100πt+π4),
    所以当t=380时,i=10sin(100π×380+π4)=10sin4π=0,
    当t=980时,i=10sin(100π×980+π4)=10sin3π2=−10,
    因此ABC正确,D错误.
    故选:D.
    根据五点法结合图象可得i=10sin(100πt+π4),逐项判断即可得解.
    本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查运算求解能力,属于中档题.

    8.【答案】C 
    【解析】解:取等边△ABC的中心G,连接PG、AG,如下图所示:

    ∵PA=PB=PC=2 3,AB=BC=AC=3,所以,三棱锥P−ABC为正三棱锥,
    所以,三棱锥P−ABC外接球球心O在直线PG,设该球的半径为R,
    由正弦定理得AG=AB2sinπ3= 3,
    所以PG= PA2−AG2=3,
    由勾股定理得OA2=OG2+AG2,
    即R2=|3−R|2+3,解得R=2,
    因此,三棱锥P−ABC外接球的体积为:
    V=43πR3=43π×23=323π.
    故选:C.
    作出图形,取等边△ABC的中心G,连接PG,可知三棱锥P−ABC外接球球心在直线PG上,设三棱锥P−ABC外接球的半径为R,根据几何关系列出关于R的方程,解出R的值,进而可求得三棱锥P−ABC外接球的体积.
    本题考查了三棱锥外接球的体积计算,属于中档题.

    9.【答案】BD 
    【解析】解:z=(1−i)(2+i)=3−i,
    复数z的虚部为−1,z−=3+i,故A错误,B正确;
    |z|= 32+(−1)2= 10,故C错误;
    复数z的对应的点(3,−1)在第四象限,故D正确.
    故选:BD.
    根据已知条件,先求出z,即可依次求解.
    本题主要考查复数的四则运算,考查转化能力,属于基础题.

    10.【答案】ACD 
    【解析】解:由图表可知,2018−2022这5年我国社会物流总费用逐年增长,2021年增长的最多,
    且增长为16.7−14.9=1.8万亿元,故A正确;
    因为6×70%=4.2,
    则第70%分位数为第5个,即为16.7,所以这6年我国社会物流总费用的第70%分位数为16.7万亿元,故B错误;
    由图表可知,2017−2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%−14.6%=0.2%,故C正确;
    由图表可知,2022年我国的GDP为17.8÷14.7%≈121.1万亿元,故D正确.
    故选:ACD.
    根据题意,由图表即可判断AC,由百分位数的计算公式即可判断B,由2022年社会物流总费用与GDP的比率即可得到2022年我国的GDP,即可判断D.
    本题主要考查了统计图表的应用,属于基础题.

    11.【答案】BD 
    【解析】解:把函数y=sin(2x−π3)的图象,向左平移π12个单位长度,
    得到y=sin[2(x+π12)−π3]=sin(2x−π6)的图象,
    再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y=2sin(2x−π6)的图象,
    最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),
    得到f(x)=2sin(23x−π6)的图象.
    而f(x)=2sin(23x−π6)=2cos(3π2+23x−π6)=2cos(23x+4π3)=2cos(23x+π+π3)=−2cos(23x+π3).
    故选:BD.
    通过往回倒推,将函数y=sin(2x−π3)的图象,向左平移π12个单位长度,再将其纵坐标伸长2倍,横坐标伸长3倍得到解析式f(x)=2sin(23x−π6),利用诱导公式一一对照化简即可.
    本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,属于中档题.

    12.【答案】ACD 
    【解析】解:对于A,∵AA1/​/BB1,Rt△B1BD中,∠BB1D就是异面直线所成的角,
    BD= 2a,B1D= 3a,则sin∠BB1D= 2a 3a= 63,A正确;
    对于B,连接AC交BD于点O,连接A1O,

    ∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴AA1⊥BD,
    又BD⊥AO,AA1∩AO=A,AA1,AO⊂平面AOA1,∴BD⊥平面AOA1
    ∵A1O⊂平面AOA1,∴BD⊥A1O,∴∠A1OA为二面角A1−BD−A的平面角,
    在Rt△A1AO中,tan∠A1OA=a 2a2= 2,B不正确;
    对于C,∵正方体外接球的半径R= 32a,
    ∴正方体的外接球体积为V=43πR3= 32a3π,C正确;
    对于D,∵VA1−B1D1D=VD−A1B1D1,
    三棱锥A1−ABD的高AA1与三棱锥D−A1B1D1的高DD1相等,底面积S△ABD=S△A1B1D1,
    故三棱锥A1−ABD与三棱锥A1−B1D1D体积相等,D正确.
    故选:ACD.
    由AA1/​/BB1知∠BB1D就是异面直线所成的角,求解即可判断A;连接AC交BD于点O,由题意得BD⊥平面AOA1,∠A1OA为二面角A1−BD−A的平面角,求解可B;正方体外接球的半径R= 32a,求出外接球体积可判断C;由VA1−B1D1D=VD−A1B1D1,及三棱锥A1−ABD的高AA1与三棱锥D−A1B1D1的高DD1相等,底面积S△ABD=S△A1B1D1,可判断D.
    本题考查线线角的求解,二面角的求解,正方体的外接球问题,三棱锥的体积问题,属中档题.

    13.【答案】2700 
    【解析】解:由题意,利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查,
    其中高一年级抽取了11人,高二年级抽取了9人,
    则高三年级抽取了30−11−9=10人,
    又高三年级共有学生900人,
    则该高中的学生总数为9001030=2700人.
    故答案为:2700.
    根据题意可得高三年级的抽取人数,进而得出其抽样比,再由高三年级的总人数除以抽样比可得结果.
    本题考查分层抽样的应用,考查学生计算能力,属于基础题.

    14.【答案】8 
    【解析】解:由余弦定理b2=a2+c2−2accosB,B=π3,a=5,b=7,
    即72=52+c2−2×5×c×12,即c2−5c−24=0,解得c=8或c=−3(舍去).
    故答案为:8.
    利用余弦定理计算可得.
    本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.

    15.【答案】64π 
    【解析】解:设长方体的高为c,外接球的半径为R,如图,

    则AC12=(2 2)2+(2 2)2+c2,BC12=(2 2)2+c2,AB2=(2 2)2,
    由余弦定理知,cos∠BAC1=AC12+AB2−BC122AC1⋅AB=164 2 16+c2= 24,
    解得c=4 3,所以(2R)2=AC12=64,
    所以S=4πR2=(2R)2π=64π.
    故答案为:64π.
    由余弦定理可求出长方体的高,再由外接球直径为长方体对角线得解.
    本题考查了长方体外接球的表面积计算,属于中档题.

    16.【答案】−2936 
    【解析】解:以B为原点,BC所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系,

    设C(t,0),t>0,∵AB=2,B=π3,∴A(1, 3),
    设M(x,y),
    ∴AM=(x−1,y− 3),AC=(t−1,− 3),
    ∵AM=13AC,
    ∴x−1=13(t−1),x=t+23,y− 3=13×(− 3),y=2 33,
    ∴M(t+23,2 33),
    ∴BM=(t+23,2 33),AC=(t−1,− 3),
    ∵BM⋅AC=43,即(t+2)(t−1)3−2=43,解得t=3,
    ∴M(53,2 33),因为O为BM中点,
    ∴O(56, 33),
    设N(n,0),0≤n≤3,∴OA=(16,2 33),ON=(n−56,− 33),
    ∴OA⋅ON=16(n−56)−23=16n−2936,∵0≤n≤3
    所以当n=0时(16n−2936)min=−2936,即(OA⋅ON)min=−2936,
    故答案为:−2936.
    设C(t,0),利用向量共线得到M(t+23,2 33),再写出BM=(t+23,2 33),AC=(t−1,− 3),从而得到方程(t+2)(t−1)3−2=43,解出t即可求出O坐标为O(56, 33),再设N(n,0),0≤n≤3,写出OA=(16,2 33),ON=(n−56,− 33),则OA⋅ON的函数表达式,利用函数单调性即可求出最值.
    本题主要考查平面向量的数量积运算,考查转化能力,属于中档题.

    17.【答案】解:(1)a=(4,3),b=(−1,1),
    则a+b=(3,4),
    故|a+b|= 32+42=5;
    (2)a=(4,3),c=(x,6),
    当a/​/c时,
    则4×6=3x,解得x=8;
    (3)a=(4,3),c=(x,6),
    则c−a=(x−4,3),
    ∵(c−a)⊥b,b=(−1,1),
    ∴−(x−4)+3=0,解得x=7. 
    【解析】(1)根据已知条件,结合向量的坐标运算,以及向量模公式,即可求解;
    (2)根据已知条件,结合向量共线的性质,即可求解;
    (3)根据已知条件,结合向量垂直的性质,即可求解.
    本题主要考查向量共线、垂直的性质,属于基础题.

    18.【答案】解:(1)由频率分布直方图得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1,解得a=0.04.
    (2)设平均数为x−,则x−=5×2×0.04+7×2×0.1+9×2×5×0.04+11×2×0.12+13×2×0.04=9.08.
    所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步.
    (3)日均运动步数在[4,10]的频率为0.68,
    日均运动步数在[4,12]的频率为0.92,
    则80%位数在[10,12]内,为10+2×0.8−0.680.92−0.68=11,
    该企业制定的优秀强国运动者达标线是11千步. 
    【解析】(1)由频率和为1列式求解;
    (2)由频率分布直方图数据求解;
    (3)由频率分布直方图数据求解.
    本题考查频率分布直方图相关知识,属于中档题.

    19.【答案】解:(1)证明:由题意可知,DN⊥PC,
    又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,
    所以DN⊥平面PAC,
    又PA⊂平面PAC,
    故DN⊥PA,
    又PA⊥CD,CD∩DN=D,CD,DN⊂平面PCD,
    则PA⊥平面PCD;
    (2)连接AN,由(2)可知,DN⊥平面PAC,
    则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,
    因为△PCD为等边三角形,CD=4且N为PC的中点,
    所以DN=2 3,
    又DN⊥AN,
    在Rt△AND中,sin∠DAN=DNAD=2 35,
    故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为2 35. 
    【解析】(1)易知DN⊥PC,利用面面垂直的性质定理可得DN⊥平面PAC,从而得到DN⊥PA,利用线面垂直的判定定理证明即可;
    (2)连接AN,由线面角的定义可得,∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,在三角形中,利用边角关系求解即可.
    本题考查了线面垂直的判定定理的应用以及线面角的求解,在使用几何法求线面角时,可通过已知条件,在斜线上取一点作该平面的垂线,找出该斜线在平面内的射影,通过解直角三角形求得,属于中档题.

    20.【答案】解:(1)∵2acosB+b=2c,
    ∴由正弦定理得2sinAcosB+sinB=2sinC,
    又A+B+C=π,则2sinAcosB+sinB=2sin(A+B),
    ∴2cosAsinB−sinB=0,
    ∵A、B∈(0,π),即sinB≠0,
    ∴cosA=12,即A=π3;
    (2)由(1)得A=π3,△ABC的面积为 3,
    则S=12bcsinA= 3,解得bc=4,
    ∵a=3 3,
    ∴由余弦定理得b2+c2=2bccosA+a2=4+27=31,
    ∴(b+c)2=b2+c2+2bc=39,即b+c= 39,
    由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=3 3 32=6,
    ∴sinB=16b,sinC=16c,
    ∴sinB+sinC=16(b+c)= 396. 
    【解析】(1)利用正弦定理变形得2cosAsinB−sinB=0,即可得出答案;
    (2)由题意得bc=4,结合余弦定理求出b+c= 39,利用正弦定理,即可得出答案.
    本题考查解三角形,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.

    21.【答案】解:(1)因为f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x+1= 3sin2x+cos2x+2=2sin(2x+π6)+2;
    (2)由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈z,可得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈z,
    所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z);
    (3)当x∈(π4,π)时,2x+π6∈(2π3,13π6),
    所以f(x)min=f(2π3)=2×(−1)+2=0,
    所以0>m−3,解得m<3.
    所以实数m的取值范围为(−∞,3). 
    【解析】(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简即可;
    (2)由正弦函数的性质求解即可;
    (3)求出函数f(x)在(π4,π)上的最小值即可得答案.
    本题考查了三角恒等变化、正弦函数的性质及转化思想,属于基础题.

    22.【答案】解:(1)证明:在直三棱柱ABC−A1B1C1中,设B1C与BC1交于点E,连接DE,

    由于四边形BCC1B1是矩形,则E为B1C的中点,
    又D是AC的中点,
    ∴DE//AB1,
    又AB1⊄平面BC1D,DE⊂平面BC1D,
    ∴AB1/​/平面BC1D.
    (2)∵AC=BC=1,点D为AC的中点.
    ∴BD⊥AC,
    ∵直三棱柱ABC−A1B1C1,∴CC1⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,
    ∴CC1⊥BD,CC1∩AC,CC1,AC⊂平面CC1A1A,
    ∴BD⊥平面CC1A1A,∵DC1⊥BD,
    又AC=BC=2,AC⊥BC,∴CA=2 2,CD=BD= 2,
    ∵AA1=4,∴DC1= 2+16=3 2,
    ∴S△BDC1=12× 2×3 2=3,
    S△ABD=12S△ABC=1,
    设A到平面BC1D的距离为d,
    由VC1−ABD=VA−BDC1,得13×1×4=13×3×d,
    解得d=43.
    ∴直线AB1与平面BC1D的距离为43. 
    【解析】(1)结合题意先证明DE/​/AB1,再利用线面平行的判定即可得证;
    (2)利用等体积法求得点A到平面BC1D的距离,即可求得直线AB1与平面BC1D的距离.
    本题考查线面平行的证明,考查等体积法求点到面的距离,属中档题.

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