2022-2023学年广东省肇庆一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省肇庆一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数z=i(1+i)，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2. 已知向量a=(1,2)，b=(λ,3)，若a⊥b，则λ=( )
A. −6B. −32C. 32D. 6
3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若A=π4,B=π3,a= 2，则b的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4. 已知函数f(x)= 3sin2x−cs2x，则f(x)的( )
A. 最小正周期为π，最大值为 3−1B. 最小正周期为π，最大值为2
C. 最小正周期为2π，最大值为 3−1D. 最小正周期为2π，最大值为2
5. 向量a=(1,2)，向量b=(−1,0)，则b在a上的投影向量是( )
A. − 55B. 55C. (−15,−25)D. (15,25)
6. 设两个非零向量e1,e2不共线，且，，，则( )
A. A，C，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，B，D三点共线
7. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于( )
A. 240( 3−1)m
B. 180( 2−1)m
C. 160( 2−1)m
D. 120( 3−1)m
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在下列向量组中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,2)B. e1=(−1,2)，e2=(5,−2)
C. e1=(3,5)，e2=(6,8)D. e1=(2,−3)，e2=(−2,3)
10. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是( )
A. 圆锥B. 圆柱C. 棱锥D. 正方体
11. 设i为虚数单位，复数z=(a+i)(1+2i)，则下列命题正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(−12,2)
C. 实数a=−12是z=z−(z−为z的共轭复数)的充要条件
D. 若z+|z|=x+5i(x∈R)，则实数a的值为2
12. 在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=c2+ab,a=8,c=2 13，则( )
A. b=6B. △ABC的面积为4 3或12 3
C. △ABC是锐角三角形D. △ABC的外接圆面积是52π3
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数z=3+4i3，则z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于第______象限．
14. 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=6，B′C′=4，则边AB上的中线的实际长度为______．
15. 已知tan(A−B)=12，，且A，B∈(0,π)，则tanA= ______ ；2A−B= ______ ．
16. 已知△ABC为锐角三角形，满足sinBsinC=(sin2B+sin2C−sin2A)tanA，△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，则OA⋅(AB+AC)的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知复数z1=1+3i，z2=2+2i，i为虚数单位．
(1)求z1−z2及；
(2)若z=z1z2，求z的共轭复数．
18. (本小题12.0分)
已知向量a=(3,2)，b=(x,−1)．
(1)若(a+2b)⊥(2a−b)，求实数x的值；
(2)若c=(−8,−1)，a/​/(b+c)，求向量a与b的夹角θ．
19. (本小题12.0分)
在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcsC=(2a−c)csB
(Ⅰ)求∠B的大小
(Ⅱ)若b= 7、a+c=4，求三角形ABC的面积．
20. (本小题12.0分)
已知函数．
(1)将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，φ∈(0,π2)，并求f(x)的值域；
(2)若f(α)=65，α∈(π4,π2)，求sin2α的值．
21. (本小题12.0分)
如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米．
(1)求线段MN的长度；
(2)若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知向量a=(cs3x2,sin3x2),b=(csx2,−sinx2)，函数f(x)=a⋅b−m|a+b|+1，x∈[−π3,π4],m∈R．
(1)当m=0时，求f(π6)的值；
(2)是否存在实数m，使函数g(x)=f(x)+2449m2,x∈[−π3,π4]，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=i(1+i)=−1+i，
则复数z的虚部为1．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵a⊥b，
∴a⋅b=λ+6=0，解得λ=−6．
故选：A．
根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可求出λ的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于容易题．
3.【答案】C
【解析】解：因为A=π4,B=π3,a= 2，
由正弦定理得asinA=bsinB，
即b=asinBsinA= 2× 32 22= 3．
故选：C．
由正弦定理即可求出．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
【分析】f(x)=2sin(2x−π6)，可求最小正周期和最大值．
本题考查正弦型函数的最小正周期与最大值问题，属基础题．
【解答】解：f(x)= 3sin2x−cs2x=2( 32sin2x−12cs2x)=2sin(2x−π6)，
最小正周期为T=2π2=π，
当sin(2x−π6)=1时，有最大值2．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：由已知得|b|=1，cs=a⋅b|a||b|=1×(−1)+2×0 12+22×1=−1 5，
故b在a上的投影向量是|b|cs⋅a|a|=−1 5⋅(1,2) 5=(−15,−25)．
故选：C．
根据投影向量的定义，算出两向量的夹角，以及a方向上的单位向量，即可求出结果．
本题考查向量的模长、夹角的计算以及投影向量的概念，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：，，，
，，
∴不存在实数λ，使得AC=λCD成立，故A错误；
∵AB=e1+2e2，，∴不存在实数λ，使得AB=λAC成立，
故B错误；
，，
∴不存在实数λ，使得BC=λCD成立，故C错误；
∵AB=e1+2e2，，，故D正确．
故选：D．
根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量的加减和数乘运算，考查运算能力，属于基础题．
运用向量的加减和数乘运算，计算可得结果．
【解答】
解：如图，
在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
则EB=AB−AE=AB−12AD
=AB−12×12(AB+AC)
=34AB−14AC．
故选：A．

8.【答案】D
【解析】解：由题可得∠ACB=30°，所以sin30°=60AC，则AC=120，
在△ABC中，∠BAC=75°−30°=45°，∠ABC=105°，
sin∠ABC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cs45°+cs60°sin45°= 6+ 24，
由正弦定理可得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，即BC 22=120 6+ 2，
解得BC=120( 3−1)m．
故选：D．
先求得AC=120，在△ABC中利用正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，e1/​/e2，则e1，e2不能作为基底；
对于选项B，−1×(−2)−2×5≠0，即e1，e2不共线，即e1，e2能作为基底；
对于选项C，3×8−5×6≠0，即e1，e2不共线，即e1，e2能作为基底；
对于选项D，2×3−(−2)×(−3)=0，即e1，e2共线，即e1，e2不能作为基底，
故选：BC．
由共线的坐标运算逐一判断即可得解．
本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以B不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件．
故选：ACD．
根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征，判断即可．
本题主要考查了用一个平面去截一个几何体时所截得的平面是什么形状的应用问题，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念与分类，复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的加、减法运算及其几何意义，复数的乘法运算，充要条件及其判断，复数的模及其几何意义，属于基础题．
根据复数的乘法运算和复数的加、减法运算，化简复数z为a+bi的形式．根据复数的概念可判断选项A；根据复数的代数表示及其几何意义可判断选项B；根据共轭复数和充要条件的概念可判断选项C；根据复数的模及其几何意义可判断选项D．
【解答】
解：复数z=(a+i)(1+2i)=(a−2)+(2a+1)i．
对于A：当a=2时，z为纯虚数，故A正确；
对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得a−2<02a+1<0，解得a<−12；故B错误；
对于C：共轭复数z−，需满足2a+1=−2a−1，可得a=−12，故C正确；
对于D：由z+|z|=x+5i，即2a+1=5，可得a=2，故D正确．
故选：ACD．

12.【答案】BD
【解析】解：对于A，由a2+b2=c2+ab,a=8,c=2 13，可得64+b2=52+8b，即b2−8b+12=0，解得b=2或b=6，故选项A错误；
对于B，由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ac=ab2ab=12，sinC= 32，
当b=2时，S△ABC=12absinC=12×8×2× 32=4 3，
当b=6时，S△ABC=12absinC=12×8×6× 32=12 3，故选项B正确；
对于C，当b=2时，csA=b2+c2−a22bc=4+52−642×2×2 13<0，则A为钝角，故选项C错误；
对于D，设△ABC外接圆半径为R，则2R=csinC=2 13 32=4 393，则R=2 393，
∴△ABC外接圆的面积为πR2=π×(2 393)2=52π3，故选项D正确．
故选：BD．
对于A，直接根据已知数据求解即可；对于B，先由余弦定理求得csC，进而求得sinC，再分类讨论求面积即可；对于C，当b=2时，A为钝角；对于D，先求出外接圆半径，再求面积即可．
本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】一
【解析】解：∵z=3+4i3=3−4i，
∴z−=3+4i，
则复数z−在复平面内对应的点的坐标为(3,4)，位于第一象限．
故答案为：一．
利用虚数单位i的运算性质变形，再由共轭复数的概念求得z−，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
14.【答案】5
【解析】解：由直观图得到：

其中AC=6，BC=2B′C′=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴在直角△ABC中，斜边AB上的中线为12AB=5．
故答案为：5．
根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出AB，即可求出边AB上的中线的实际长度．
本题考查三角形中位线的定理，考查斜二测法、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】13 −3π4
【解析】解：，，
；
，
∵A，B∈(0,π)，0，，
，
．
故答案为：13；−3π4．
由，利用两角和差正切公式可求得tanA，，结合A，B的范围可确定2A−B的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
16.【答案】[−2− 3,−72)
【解析】解：∵sinBsinC=(sin2B+sin2C−sin2A)tanA，
∴b2+c2−a22bc⋅sinAcsA=12，即sinA=12，
又△ABC为锐角三角形，故A=π6，
OA⋅(AB+AC)=OA⋅(OB+OC−2OA)=OA⋅OB+OA⋅OC−2OA2
=cs∠AOB+cs∠AOC−2=cs2C+cs2B−2=cs(5π3−2B)+cs2B−2
=32cs2B− 32sin2B−2
= 3cs(2B+π6)−2，
又B<π2A+B>π2，故π3∴5π6<2B+π6<7π6，
∴−1≤cs(2B+π6)<− 32，
∴−2− 3≤ 3cs(2B+π6)<−72．
故答案为：[−2− 3,−72)．
由正弦定理及余弦定理可得sinA=12，进而得到A的大小，根据斜率的减法法则及平面向量数量积公式可得则OA⋅(AB+AC)= 3cs(2B+π6)−2，根据三角形为锐角三角形，可得π3本题主要考查正余弦定理，平面向量的数量积，两角和与差公式，三角函数的性质等知识点，考查化简变形及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：复数z1=1+3i，z2=2+2i，i为虚数单位．
，
，，
；
，
故z的共轭复数
【解析】(1)根据复数的运算法则即可求出z1−z2，结合共轭复数的概念和复数的几何意义，计算即可；
(2)根据复数的乘、除法运算可得，结合共轭复数的概念即可求解．
本题考查了复数运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，向量a=(3,2)，b=(x,−1)，
则a+2b=(3+2x,0)，2a−b=(6−x,5)，
若(a+2b)⊥(2a−b)，则(a+2b)⋅(2a−b)=(3+2x)(6−x)=0，
解可得：x=−32或6，
(2)根据题意，b+c=(x−8,−2)，
若a/​/(b+c)，则2(x−8)=(−2)×3=−6，
解可得x=5，则b=(5,−1)，
csθ=a⋅b|a||b|=15−2 13× 26= 22，
又由0≤θ≤π，则θ=π4．
【解析】(1)根据题意，求出a+2b和2a−b的坐标，由向量垂直的判断方法可得(a+2b)⋅(2a−b)=(3+2x)(6−x)=0，解可得答案；
(2)根据题意，求出b+c的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得x的值，即可得b的坐标，进而求出csθ的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
19.【答案】解(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sinBcsC=2sinAcsB−csBsinC
∴2sinAcsB=sinBcsC+csBsinC=sin(B+C)
又在三角形ABC中，sin(B+C)=sinA≠0
∴2sinAcsB=sinA，即csB=12，得B=π3
(Ⅱ)∵b2=7=a2+c2−2accsB
∴7=a2+c2−ac
又∵(a+c)2=16=a2+c2+2ac
∴ac=3
∴S△ABC=12acsinB
即S△ABC=12⋅3⋅ 32=3 34
【解析】(Ⅰ)根据正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到csB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；
(Ⅱ)要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=12acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的csA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及b= 7、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．
此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理解决数学问题的能力，以及会利用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数的公式化简求值，本题是一道综合题，要求学生掌握的知识要全面．
20.【答案】解：(1)∵函数
= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
故函数f(x)的值域为[−2,2]．
，α∈(π4,π2)，，
，
．
【解析】(1)由题意，利用诱导公式、二倍角公式，正弦函数的值域，得出结论．
(2)由题意，利用同角三角基本关系求得cs(2α+π6)的值，再利用两角差的正弦公式，计算求得结果．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式、同角三角基本关系，正弦函数的值域，两角和差的三角公式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在△AMN中，由余弦定理得，
MN2=AM2+AN2−2AM⋅ANcs120°
=22+22−2×2×2×−12=12，
所以MN=2 3千米．
(2)设∠PMN=α，因为∠MPN=60°，所以∠PNM=120°−α，
在△PMN中，由正弦定理得，
MNsin∠MPN=PMsin(120∘−α)=PNsinα．
因为MNsin∠MPN=23sin60∘=4，
所以PM=4sin(120°−α)，PN=4sinα，
因此PM+PN=4sin(120°−α)+4sinα
=4 32csα+12sinα+4sinα
=6sinα+2 3csα=4 3sinα+30°，
因为0°<α<120°，所以30°<α+30°<150°．
所以当α+30°=90°，即α=60°时，PM+PN取到最大值4 3．
答：两条观光线路距离之和的最大值为4 3千米．
【解析】本题考查解三角形的实际应用，关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形．
(1)在△AMN中，利用余弦定理得到MN；
(2)设∠PMN=α，得到∠PNM=120°−α，利用正弦定理将PM+PN用α表示，结合三角函数的有界性求最值．
22.【答案】解：(1)a⋅b=cs3x2⋅csx2−sin3x2⋅sinx2=cs(3x2+x2)=cs2x，
当m=0时，f(x)=a⋅b+1=cs2x+1，
则f(π6)=cs(2×π6)+1=csπ3+1=12+1=32；
(2)a+b=(cs3x2+csx2,sin3x2−sinx2)，
因为x∈[−π3,π4]，
所以|a+b|= 2+2cs2x=2csx，
f(x)=a⋅b−m|a+b|+1=cs2x+1−2mcsx=2cs2x−2mcsx，
令g(x)=f(x)+2449m2=2cs2x−2mcsx+2449m2=0．
即(2csx−8m7)(csx−3m7)=0，
得csx=4m7或3m7，
∴方程csx=3m7或csx=4m7在x∈[−π3,π4]上有四个不同的实根，
则 22≤3m7<1 22≤4m7<13m7≠4m7，解得7 26≤m<74，
故m的取值范围为{m|7 26≤m<74}.
【解析】(1)首先根据平面向量数量积的坐标运算求得函数f(x)的解析式，然后求解m=0时，f(π6)的值即可；
(2)令g(x)=0求解csx的值，据此求得关于m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围．
本题考查了平面向量的数量积，属于中档题．