2021-2022学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知，则复数(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 数据，，，，，，，的分位数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知圆锥的底面半径为，高为，则其侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某中学高一年级有女生人，男生人，学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重．学校从女生和男生中抽取的样本分别为和，经计算这个女生的平均体重为，个男生的平均体重为，依据以上条件，估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在正方体中，，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 二进制数字系统中，用两个不同的符号代表脉冲间隔和代表有脉冲信号来表示基数，每个或就是一个位如二进制数就是一个的二进制数，由个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空直线飞行，飞机的航线和某个山顶在同一铅垂平面内，飞机第一次探测该山顶的俯角为，经过后飞机第二次探测该山顶的俯角为，则该山顶的海拔高度约为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列命题为真命题的有(    )

A. 过直线外一点，存在唯一平面与直线垂直
B. 过直线外一点，存在唯一平面与直线平行
C. 过平面外一点，存在唯一平面与平面垂直
D. 过平面外一点，存在唯一平面与平面平行

10. 在平行四边形中，点，分别是边和上的中点，与分别与交于，两点，则有(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知表示必然事件，事件的对立事件记为，且，事件的对立事件记为，且，则(    )

A. 必然事件与事件相互独立
B. 若与互斥，则与不独立
C. 若与相互独立，则与不独立
D. 若与相互独立，则与互斥

12. 已知三棱锥中，，，两两垂直，，，与底面所成角分别为，，，底面，点为垂足，下列选项正确的是(    )

A. 若，则
B. 一定为锐角三角形
C. 若，则三棱锥的外接球体积为
D. 一定为的垂心

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 为虚数单位，则______．
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，若为边上的中线，，则的面积为______．
16. 一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了人，计算得这人的平均身高为，方差为；从初二年级随机抽取了人，计算得这人的平均身高为，方差为；从初三年级随机抽取了人，计算得这人的平均身高为，方差为依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在平面四边形中，，，，．
    求；
    若，求．
18. 某市教育局为调查该市高一年级学生的综合素养，在该市高一年级的学生中随机抽取了名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方图，如图．
    求直方图中的值；
    由直方图分别估计该市高一年级学生综合素养成绩的众数、平均数和方差．同一组中的数据用该组区间的中点值为代表

19. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
    求；
    若，求面积的最大值．
20. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，C.
    证明：平面平面；
    若，求二面角的余弦值．

21. 甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；累计负两场者被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一．场比赛甲当裁判．
    求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
    求只需四场比赛就决出冠军的概率；
    求甲最终获胜的概率．
22. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，，分别为边，，的中点，为的中点．
    证明：平面；
    若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据复数的除法运算，将分子分母同乘分母复数的共轭复数进行化简，可得答案．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，所以，，解得，，所以，
故选：．
利用向量的坐标运算列方程求解，即可．
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，，，的分位数是第个数，即为．
故选：．
根据百分位数的计算，即可求解．
本题主要考查百位数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
由题意，圆锥的每线，底面周长为，
故其侧面积为．
故选：．
利用圆锥侧面积公式即得其侧面积．
本题考查圆锥的结构特征、侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：用女生样本的平均体重估计女生总体的平均体重，用男生样本的平均体重估计男生总体的平均体重，按女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，
故估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合比例分配的分层随机抽样，即可求解．
本题主要考查平均数的求解，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设为的中点，连接，，
则为异面直线与所成的角或所成角的补角，

设正方体的棱长为，
则，，，
由余弦定理可得．
故选：．
设为的中点，连接，，则为异面直线与所成的角或所成角的补角，设正方体的棱长为，求出，，，由余弦定理可得答案．
本题考查异面直线所成角的定义、余弦定理、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：将个和个随机排成一行，共种排法，
即：，，，，，，，，，，
其中个不相邻的排法共种，
即：，，，，，，
故个不相邻的概率为，
故选：．
先利用列举法求出基本事件总数和个不相邻的排法数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
本题主要考查列举法的应用，古典概型的概率计算公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设第一次探测点为，第二次探测点为，山顶为点，山高为，由题意可得，．

由正弦定理，得，又，
所以，
又，
故选：．
把实际问题与三角函数的知识相联系，根据题意，利用正弦定理求得，再找到山高与的等量关系即可求得问题答案．
本题主要考查了解三角形问题的应用．注意把实际问题与三角函数的知识相联系，建立相应的数学模型．
 

9.【答案】 

【解析】解：假设过直线外一点，存在另一平面与直线垂直，又垂直于同一直线的两平面平行，这与矛盾，所以不存在另一平面与直线垂直，所以A正确；
如图：，故B错误；
如图：，故C错误；
假设过平面外一点，存在不同于的平面也与平面平行，则，这与矛盾，所以不存在不同于的平面也与平面平行，所以D正确．
故选：．
对，利用反证法推出矛盾判断即可；对，举反例判断即可；
本题考查了线面，面面关系的判断，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，在平行四边形中，连接，与交于点，易得为的中点，
又由点，分别是边和上的中点，则、分别为和的重心，
则有，，
故，是线段上的三等分点，
则有，B正确，A错误；
又由，，则，C正确，D错误；
故选：．
根据题意，在平行四边形中，连接，与交于点，分析可得、分别为和的重心，结合重心的性质可得以及，，，由此分析可得答案．
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，所以A正确；
若与互斥，则，而，所以与不独立，故B正确；
若与相互独立，则与也相互独立，C错误；
若与相互独立，则与相互独立，则，则，与与互斥矛盾，故D错误．
故选：．
利用相互独立事件的定义以及互斥事件的定义对选项一一判断即可得出答案．
本题考查相互独立事件以及互斥事件的判断，难度不大，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
又，所以，所以，故A错误；
不妨设，则，，，则，
，所以一定为锐角三角形，故B正确；
若，则三棱锥的外接球的直径为，所以三棱锥的外接球的体积，所以C正确；
由底面，所以，又，，两两垂直，
所以平面，所以，故BC平面，
所以，同理，，
所以为的垂心，所以D正确．
故选：．
根据线面角的定义分别进行求解判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，涉及线面角的计算，三棱锥外接球的体积以及三角形垂心的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，，
，
解得．
故答案为：．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，所以，
由余弦定理得，，
又，所以，
即，
解得，
所以的面积．
故答案为：．
利用余弦定理求得，再利用中线所在向量的性质求得，进而求得结论．
本题考查的面积的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：初一学生的样本记为，，，，方差记为，
初二学生的样本记为，，，，方差记为，
初三学生的样本记为，，，，方差记为，
设样本的平均数为，则，
设样本的方差为，
则，
又，
故，
同理，，
因此，

，
故答案为：．
利用方差及平均数公式可得，进而即得．
本题考查方差的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：在中，由正弦定理可得，
，，，
，
，
，
．
，，，
在中，由余弦定理可得，
，
． 

【解析】在中，利用正弦定理可得，，再利用三角函数的同角公式，即可求解；
在中，运用余弦定理即可求解．
本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属基础题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图知，，
解得．
由直方图，高一年级学生综合素养成绩的众数为，
估计该市高一年级学生综合素养的平均成绩为，
方差为． 

【解析】利用频率分布直方图的性质列方程，解出即可；
由频率分布直方图能估计得分的平均数，众数，方差等．
本题考查频率分布直方图、频率、众数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：由正弦定理，得，
所以，又因为，
故．
由余弦定理得，
当时等号成立，
又，
所以面积的最大值为． 

【解析】根据正弦定理实现边角互化，结合余弦定理即可求解；
根据余弦定理边的关系以及均值不等式即可得到，进而根据面积公式即可求解．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式等知识，属于基础题．
 

20.【答案】证明：连接，如图所示，

由四边形是菱形，所以．
又因为，，
所以平面，
故CA．
又因为，，
所以平面，又平面，
所以平面平面C.
解：如图，过在平面内引直线垂直于，为垂足，
过在平面内引直线垂直于，为垂足，连接H.
由平面平面，所以平面，
所以，．
又，所以平面，
故为二面角的平面角．
设，由可知，
为的中点，所以．
又，平面，平面，
所以，所以．
所以．
所以，
所以二面角的余弦值为． 

【解析】连接，由四边形是菱形可得：，进而得出平面，结合，可得平面，从而得出所证的结论；
过在平面内引直线垂直于，为垂足，过在平面内引直线垂直于，为垂足，连接，结合已知可得为二面角的平面角，计算即可得出所求的结果．
本题考查面面垂直的判定定理、二面角的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：记事件为甲胜乙，则，，
事件为甲胜丙，则，，
事件为乙胜丙，则，，
前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为．
只需四场比赛就决出冠军的概率为．
由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，
设甲胜为事件，甲当裁判为事件，
． 

【解析】前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有种，乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙，乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案．
首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案．
首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
 

22.【答案】证明：设为的中点，连接，，，因为为的中点．

所以为的中位线，所以且，
同理，，，
又，，，所以，，故四边形为平行四边形，
所以，
又平面，所以平面．
解：如图，过点向平面引垂线，垂足为，连接，，，过点作的平行线分别交与于点和．

因为，所以，
又，所以，故，分别为与的中点，
设，则，
又直线与平面所成的角为，
所以，
又，
所以，
所以，
解得或舍，
故，
所以四棱锥的体积，
又三棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，
所以，
又三棱锥的体积是三棱锥的体积的，
所以三棱锥的体积． 

【解析】利用中位线定理及线面平行判定定理即得；
过点向平面引垂线，垂足为，过点作的平行线分别交与于点和，设，利用线面角的概念结合条件可得，利用锥体的体积公式可得四棱锥的体积，进而即得．
本题考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．