高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 成对数据的线性相关性学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 成对数据的线性相关性学案，共7页。

2．2 成对数据的线性相关性分析
[教材要点]
要点 相关系数
1．样本(线性)相关系数：一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝＝，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数，为了计算的方便，再给出如下式子：r＝
状元随笔 (1)计算样本相关系数r，需要求出的量；
①应用公式r＝，，.
②应用公式r＝
(2)公式的选择：当题目中的数据需要自己一一求出时，两个公式选用哪一个都可以；当题目中的数据已给出时，需通过已给出的数据判断选出哪一个公式方便．另外注意两个公式的相通性，适当时可进行转化．
2．样本相关系数与相关程度
样本(线性)相关系数r的取值范围是[－1，1].
|r|值越接近____，随机变量之间的线性相关程度越强；
|r|值越接近____，随机变量之间的线性相关程度越弱．
当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量______相关；
当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量______相关；
当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段．( )
(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．( )
(3)当一个变量的值增加时，另一个变量的值随之减少，则称这两个变量负相关．( )
(4)一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好．( )
2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图(2)．由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
3．已知两个变量负相关，且相关程度很强，则它们的相关系数的大小可能是( )
A．－0.95 B．－0.13
C．0.15 D．0.96
4．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中________(填甲、乙、丙中的一个)组数据的线性相关性最强．
题型一 相关关系的判断
例1 (1)如图所示的散点图分别反映的变量间的相关关系是( )
A．正相关，负相关，不相关 B．负相关，不相关，正相关
C．负相关，正相关，不相关 D．正相关，不相关，负相关
(2)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
方法归纳
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关．
跟踪训练1 (1)(多选题)如图所示的两个变量不具有相关关系的是( )
(2)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是( )
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
题型二 线性相关程度的判断
例2 为了对2020年某校期末成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表：
用变量y与x的样本相关系数r(精确到0.01)说明物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征．
参考数据：＝52 957, ≈545.82.
方法归纳
在统计中常用样本相关系数r来衡量两个变量间线性相关程度的强弱．r的范围为[－1，1]，r为正时，两个变量正相关；r为负时，两个变量负相关；|r|越接近1，两个变量间线性相关程度越大；|r|越接近0，两个变量间线性相关程度越小．
跟踪训练2 某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表：
求水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱．
相关系数及线性回归直线方程系数公式：
参考数据：＝7 000，＝1 132 725，＝87 175.
[课堂十分钟]
1．[多选题]如图所示是由成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)得到的散点图，由散点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的是( )
2．对两个变量x，y的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是( )
A.负相关 B．正相关
C．先正后负相关 D．先负后正相关
3．已知x，y是两个变量，下列四个关系中，x，y呈负相关的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝－x2＋1
C．y＝x－1 D．y＝－x＋1
4．下列说法中正确的是________(填序号)．
①变量间的线性相关系数r的取值范围为[－1，1]；
②变量间的线性相关系数r的绝对值越接近0，则变量间的线性相关程度越低；
③变量间的相关系数越小，变量间的相关程度越小．
5．现随机抽取了某校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如表：
请问：这10名学生的两次数学考试成绩是否具有显著的线性相关关系？
2．1 相关系数
2．2 成对数据的线性相关性分析
新知初探·课前预习
要点
2．1 0 正 负
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：由两个散点图的形状判断，x与y负相关，u与v是正相关．故选C.
答案：C
3．解析：相关系数r<0时，成对数据负相关，且|r|越大，两个变量之间的线性相关程度越强．
答案：A
4．解析：|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，而|－0.98|＞|0.81|＞|0.63|，所以乙组数据的线性相关性最强．
答案：乙
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)对于图(1)，图中的点成带状分布，且从左到右上升，两个变量正相关；对于图(2)，图中的点杂乱无章，没有明显的规律，两个变量不相关；对于图(3)，图中的点成带状分布，且从左到右下降，两个变量负相关．故选D.
(2)观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%，故选B.
答案：(1)D (2)B
跟踪训练1 解析：(1)A是确定的函数关系；B中的点大都分布在一条曲线周围；C中的点大都分布在一条直线周围；D中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．故选AD.
(2)由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误．
答案：(1)AD (2)A
例2 解析：＝＝82，
＝＝80，
r＝≈＝≈0.87>0.
所以物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度较强，且呈正相关，它们的变化趋势相同．
跟踪训练2 解析：由已知数据计算可知，＝30，≈399.3，
∴相关系数r＝≈0.97
由于0.97与1十分接近，所以水稻产量与施化肥量的相关性强．
[课堂十分钟]
1．解析：散点图中的点均匀分布在一条直线附近，故选AD.
答案：AD
2．解析：根据两个变量x，y的几组观测数据统计表知，y随x的增大而减小，所以这两个相关变量负相关．
答案：A
3．解析：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于B，y＝－x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于C，y＝x－1，当x增大时，y的值一定增大，两个变量正相关，不符合题意；对于D，y＝－x＋1，当x增大时，y的值一定减小，两个变量负相关，符合题意；故选D.
4．解析：根据题意，依次分析，对于①，相关系数r满足|r|≤1，即相关系数r的取值范围为[－1，1]，①正确；对于②，根据相关系数的性质知|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小，则②正确；对于③，当r接近－1时，变量间的相关程度比r接近0时的大，故③错误．
答案：①②
5．解析：＝ (120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝ (84＋64＋…＋57＋71)＝68，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796，
所以，相关系数为
r＝≈0.750 6，
故两次数学考试成绩有显著的线性相关关系．
最新课标
(1)结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．
(2)结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩x
68
72
78
81
85
88
91
93
物理成绩y
70
66
81
83
79
80
92
89
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
x
10
9
8
7
6
5
y
2
3
3.5
4
4.8
5
学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71