2023年中考数学精选真题实战测试45 四边形综合题 A

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 2023年中考数学精选真题实战测试45 四边形综合题 A一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·菏泽）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（　　）A．1 B． C． D．22．（3分）（2022·恩施）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　）A．当时，四边形ABMP为矩形B．当时，四边形CDPM为平行四边形C．当时，D．当时，或6s3．（3分）（2022·玉林）若顺次连接四边形 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形 的两条对角线 一定是(　　)  A．互相平分 B．互相垂直C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等4．（3分）（2022·随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的.正确的有（　　）A．只有① B．①② C．①③ D．②③5．（3分）（2021·百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 ，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（　　）  A． B．C． D．6．（3分）（2022·东营）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（　　）①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④7．（3分）（2022·荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（　　）  A． B． C． D．8．（3分）（2022·黄冈）如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论： 四边形是菱形；；；若平分，则.其中正确结论的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．19．（3分）（2021·南充）如图，在矩形ABCD中， ， ，把边AB沿对角线BD平移，点 ， 分别对应点A，B.给出下列结论：①顺次连接点 ， ，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线 的对称点的距离为48；③ 的最大值为15；④ 的最小值为 .其中正确结论的个数是（　　）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）（2021·东营）如图， 是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且 ，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：① ；②当点D与点C重合时， ；③ ；④当 时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（　　）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·济南）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是　     　．12．（3分）（2022·山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为　     　13．（3分）（2021·襄阳）如图，正方形 的对角线相交于点 ，点 在边 上，点 在 的延长线上， ， 交 于点 ， ， ，则 　     　.  14．（3分）（2021·眉山）如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值是　     　.15．（3分）（2022·南通）如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为　     　．16．（3分）（2021·赤峰）如图，正方形ABCD的边长为 ，点E是BC的中点，连接CG并延长，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；② ；③ ，④ ，其中正确结论的序号是　     　．  三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)17．（10分）（2022·广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．（1）（5分）求BD的长；（2）（5分）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．18．（10分）（2022·襄阳）矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．（1）（3分）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）（2）（3分）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；（3）（4分）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．19．（10分）（2022·长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．（1）（3分）【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．请你补全余下的证明过程．（2）（2分）【结论应用】的度数为　     　度，的值为　     　；（3）（3分）在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为　     　．（用含a的代数式表示）20．（10分）（2022·丹东）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．（1）（3分）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；（2）（3分）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）（4分）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．21．（10分）（2022·益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．（1）（3分）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；（2）（3分）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；（3）（4分）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？22．（10分）（2022·东营）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.（1）（2分）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是　     　，位置关系是　     　；（2）（3分）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）（3分）当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.23．（12分）（2022·衢州）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）（3分）求证：.（2）（5分）若．①求菱形的面积.②求的值.（3）（4分）若，当的大小发生变化时（），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】1612．【答案】13．【答案】14．【答案】15．【答案】16．【答案】①②④17．【答案】（1）解：连接AC，设AC与BD的交点为O，如图， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB▪sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，设BE=，则EN=，∴EM=MN-EN=， ∵S菱形ABCD= AD▪MN=，∴S△ABD= S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF ▪EM= =，记四边形ABEF的面积为s，∴s= S△ABD - S△DEF =-（），∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即；①当CE⊥AB时，∵OB⊥AC，∴点E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，此时 =，∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；②作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴当，即BE=时， s达到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．18．【答案】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°-∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=∠DCG=45°，∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．∵∠B=90°，BH=BE， ∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=∠DCG=45°．∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴，∵，E是BC边的中点，∴EC=HB=BC，∴AH=AB-BC=BC，∴；（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，∵k=3，∴，设AB=3a，则BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中点，∴BE=a，∴HE=a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠GEC=45°，∴∠PGE=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEG≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四边形APEP'是正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴，∵∴，∵∠HEG=∠AEF=90°，∴∠HEA=∠GEF，∵∠PEG=∠P'EH，∴∠PEF=∠P'EH=45°，过点P作PK⊥AE交于K，∵EF⊥AE，∴PKEF，∵，∴PK=EF，∴四边形PKEF是矩形，∴PF=KE，∵，∴，∴∴．19．【答案】（1）证明：四边形是矩形， ∴．由折叠可知，，．∴．∴．由折叠得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）22.5°；（3）20．【答案】（1）解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）解：BE＝，BE⊥DG，理由如下： 由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵＝＝2，∴△BAE∽△DAG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）解：如图， 作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝，∴设AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠ABE＝，∴，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝＝＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，∴DM＝GM＝，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵MN是△BEG的中位线，∴MNBE，∴△BEG∽△MNG，∴＝（）2＝，∴S△MNG＝S△MNG＝S△BEG＝．21．【答案】（1）解：（任意回答一个即可）；△AFB∽△BCE；△AFB∽△BGC（2）解：∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，即，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴ ，即，∴CE＝7.5；（3）解： 分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴ ，即，∴，∴CE＝；②当C'F＝BF时，如图3，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝＝4a，∵tan∠CBE＝，∴，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．22．【答案】（1）CD=EF；CD∥EF（2）解：CD=EF，CD∥EF，成立．证明：连接BF，∵∠FAD=∠BAC=60°，∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠FAB=∠DAC，∵AF=AD，AB=AC，∴△AFB≌△ADC(SAS)，∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，∵AE=BD，∴BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴BF=EF，∠FEB=60°，∴CD=EF，BC∥EF，即CD∥EF，∴CD=EF， CD∥EF；（3）解：如图，当点D运动到BC的中点时，四边形的面积是面积的一半，此时，四边形是菱形．证明：过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，∴AE=BE= AB，∵AB=AC， ∴AD⊥BC，∴EG∥AD，∴△EBG∽△ABD，∴，∴= h，由（2）知，CD=EF， CD∥EF，∴四边形CEFD是平行四边形，∴，此时，EF=BD，EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，∵BF=EF，∴是菱形．23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，AB CD，∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，∵ 平分 交 于点G，∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，∴∠DBG＝90°；（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，在Rt△DOC中，OC＝ ，∴AC＝2OC＝8，∴ ，即菱形 的面积是24．②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠DBG＝90°∴BG⊥BD，∴BG AC，∴ ，∴DH＝HG，DG＝2DH，∵DG＝2GE，∴EG＝DH＝HG，∴ ，∵AB CD，∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，∴△CDH∽△AEH，∴ ，∴CH＝ AC＝ ，∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，∴tan∠BDE＝ ；（3）解：如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ． 理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，∴△BGE∽△AHE，∴ ，∵AB＝BE＝5，∴EG＝GH，同理可得，△DOH∽△DBG，∴ ，∵BO＝DO，∴DH＝GH＝EG，∵GT BC，∴GT AD，∴△EGT∽△EDA，∴ ，∵AD＝AB＝5，∴GT＝ ，为定值，此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．