2023年成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学黑卷(含答案解析)

这是一份2023年成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学黑卷(含答案解析)，共24页。试卷主要包含了 分解因式， ≈1等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1. 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2. 在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
3. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4. 请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
5. 保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1. 下列各数中，是负数的是( )
A. 5 B. eq \f(1,5) C. 0 D. －5
2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是( )

第2题图
3.2023年3月1日，中国海油宣布，在渤海南部发现国内最大的变质岩潜山油田——渤中26-6亿吨级油田，探明地质储量超1.3亿吨油当量.将数据1.3亿用科学记数法表示为( )
A. 1.3×106 B. 13×107 C. 1.3×108 D. 0.13×109
4. 下列计算正确的是( )
A. m＋2m＝2m2 B. m－(－n)＝m－n C. (m－n)2 ＝m2－n2 D. (－2mn3)2＝4m2n6
5. 爱成都，迎大运．成都将以年轻的笑脸、奔放的热情、周到的服务、完善的设施迎接大运会．为此，某中学举办了“喜迎大运会”知识竞赛，其中九年级8个班在竞赛中的平均成绩分别为：88，90，88，90，91，92，80，88，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 90，89 B. 88，89 C. 88，90 D. 3，90.5
6. 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的 eq \f(3,4) ，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的 eq \f(4,3) ，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，则可列方程组为( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)y,x＋2＝\f(3,4)（y－2）)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)y,x＋2＝\f(4,3)（y－2）)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)y,x－2＝\f(4,3)y)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)y,x－2＝\f(3,4)（y＋2）))
7. 如图，在菱形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE，点F，G均在AE上，连接BF，DG，且∠BFE＝∠BAD，只添加一个条件，能判定△ABF≌△DAG的是( )
A. ∠DGE＝∠BAD B. BF＝DG
C. AF＝DG D. ∠EDG＝∠BAD
第7题图
8. 关于二次函数y＝x2－2mx＋3，下列说法正确的是( )
A. 二次函数有最小值 B. 函数图象经过点(3，0)
C. 当x>m时，y随x的增大而减小 D. 当m＝2时，函数图象与x轴有一个交点
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9. 分解因式：x2＋4x＋4＝__________．
10. 已知x＝1是分式方程 eq \f(m,x－6) ＝ eq \f(1,x) 的解，则m的值为 ________．
11. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若AB＝2AC＝4，则劣弧 eq \x\t(BC) 的长度为________．
第11题图
12. 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，4)，且y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的一次函数解析式____________．
13. 如图，在等边△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 eq \f(1,2) EF的长为半径作弧，两弧在△ABC内交于点M；③作射线AM，交BC于点N.若AN＝3，则△ABC的周长为________．

第13题图
三、解答题(本大题共5个小题，共48分)
14. (本小题满分12分，每题6分)
(1)计算： eq \r(25) －(π－3)0＋2sin 60°－| eq \r(3) －1|；
(2)甲、乙两位同学合作学习一元一次不等式组，要求两位同学分别给出一个关于x的不等式．
甲：我写的不等式的解集为x≤4；
乙：我给出的不等式在求解过程中需要去分母．
①请你填写符合上述条件的不等式：
甲：____________；乙：____________；
②将①中的两个不等式列成不等式组，解此不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
第14题图
15. (本小题满分8分)
2023年2月10日，全国首个地铁数字艺术空间亮相成都地铁东大路站，首展《千里江山图》以全新面貌呈现．在这场数字文化艺术展览中，观众可以走进“数字科技＋传统文化”地铁空间，体验一场千年穿越之旅．小宇在校园内随机抽取若干名学生，以“千里江山图”为主题对他们进行问卷式知识检测(满分100分)，并将结果进行统计，绘制成如下不完整的统计图表．(A.60≤x<70，B.70≤x<80，C.80≤x<90，D.90≤x≤100)
第15题图
根据图表信息，解答以下问题：
(1)随机调查的学生总人数为________；
(2)计算扇形统计图中“A”组对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有3000名学生，请估计成绩在80分及以上的人数．
16. (本小题满分8分)
桌面上的某创意可折叠台灯的实物图如图①所示，将其抽象成图②，经测量∠BCD＝70°，∠CDE＝155°，灯杆CD的长为30 cm，灯管DE的长为20 cm，底座AB的厚度为3 cm.不考虑其它的因素，求台灯的高(点E到桌面的距离).(结果精确到1 cm；参考数据： eq \r(2) ≈1.41，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
第16题图
17. (本小题满分10分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为AC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，过点E作AC的平行线交BA的延长线于点F，连接BE，与AC交于点G.
第17题图
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若EF＝12，sin ∠BAC＝ eq \f(\r(5),5) ，求CG的长．
18. (本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x＋6的图象与反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象相交于A(2，n)，B两点．
第18题图
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当△ABC的面积最小时，求 eq \f(OC,AB) 的值；
(3)点P是坐标轴上一点，若AP＝AB，求点P的坐标．
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19. 定义：若一个实数与比它小1的数的乘积为1，则称这两个数互为“异倒数”，若实数a有异倒数，则代数式 eq \f(a2－a,a2＋2a＋1) ÷( eq \f(2,a＋1) － eq \f(1,a) )的值为________．
20. 若x1，x2是一元二次方程x2＋mx＋2m＝0的两个实数根，且x1＝2，则xx21＝________．
21. 根据图中数字的变化规律，第个图中的p=________，q=________.
第21题图

22. 2023年1月16日，成都市首届“最美公园”评选活动结果出炉，评选出了兴隆湖生态公园、丹景山游道公园、交子公园、活水公园等具有成都园林特色和时代特征的“最美公园”．小叶和小沐均计划周末去以上四个公园中的一个游玩，则他们会去同一个公园的概率为________．
23. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝60°，AB＝2AD＝12，BC＝9，E，F是BC边上的两个动点，BE＝2CF，连接AE，DF，则AE＋2DF的最小值为________．

第23题图
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24. (本小题满分8分)
每年春运的腊月二十至正月初七这18天(包含腊月二十和正月初七这两天，默认农历腊月为三十天)都会对航空公司的某条热门航线造成航运压力．今年航空公司对该航线下午17：30起飞的机票进行价格调整：票价y1(元/张)与腊月二十始第x天的函数关系如图所示，据历年的平均数据，搭乘该航班的人数y2与x满足函数关系：y2＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30x＋60（0≤x≤10），,200（11≤x≤18）.))
第24题图
(1)求票价y1与x之间的函数表达式；
(2)试估算该航班这18天期间哪一天的收入最高？最高收入是多少？
25. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C，M(1，4)是抛物线对称轴上一点．
(1)求b，c的值；
(2)如图①，连接AM，CM，求sin ∠AMC的值；
(3)如图②，一次函数y＝kx＋b的图象经过点M，且与抛物线交于E，F两点，过E，F作直线y＝5的垂线，垂足分别为点G，H，连接MG，MH，试判断∠GMH是否为定角，若是定角，求出其角度；若不是定角，请说明理由．
第25题图
26. (本小题满分12分)
综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师给出这样一个问题：如图①，矩形纸片ABCD的边AB＝6 cm，BC＝8 cm，沿对角线AC剪开，得到两个直角三角形纸片，分别为Rt△ABC和Rt△ADC.将△ABC固定不动，平移△ADC.
操作探究：
(1)如图②，把△ADC沿射线CB平移得到△A′D′C′，当AD′＝D′C′时，请直接写出平移的距离；
探究发现：
(2)如图③，把△ADC沿射线CA平移 eq \f(14,5) cm得到△A′D′C′，连接AD′，BC′，判断四边形ABC′D′的形状，并证明；
第26题图
探究拓展：
(3)记△ACD为△A′C′D，将其拼接到如图④的位置，并使C′与A重合，A′与C重合，然后把△A′C′D沿射线CA方向平移，平移的距离是l(0 第26题图
参考答案与解析
快速对答案
A卷(共100分)
B卷(共50分)
详解详析
1. D
2. C 【解析】主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看到的图形，本题主视图是从前往后看，几何体从左往右有2列，第一列有2层，第二列有1层，故C选项符合题意．
3. C
4. D 【解析】逐项分析如下：
5. B 【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：80，88，88，88，90，90，91，92，数据88出现了3次，次数最多，∴这组数据的众数为88；88，90处在最中间的两个位置，第4位和第5位，∴这组数据的中位数是 eq \f(88＋90,2) ＝89.
6. B 【解析】∵调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，且早上的粮食是晚上的 eq \f(3,4) ，∴x＝ eq \f(3,4) y.老翁从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂后，早上粮食为(x＋2)千克，晚上粮食为(y－2)千克．∵调整后早上的粮食是晚上的 eq \f(4,3) ，∴x＋2＝ eq \f(4,3) (y－2)，∴可列方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)y，,x＋2＝\f(4,3)（y－2）.))
命题立意
本题以成语“朝三暮四”为背景，结合二元一次方程组，让学生在学习数学知识的过程中，了解我国的汉语文化，引导学生关注我国古代文化中的数学成就，对于学生感悟中华民族智慧与创造、坚定民族自豪感、坚定文化自信具有重要作用．
7. A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝DA.∵∠BFE＝∠BAD，∴∠ABF＋∠BAF＝∠DAG＋∠BAF，∴∠ABF＝∠DAG.当∠DGE＝∠BAD时，∠ADG＋∠DAG＝∠DAG＋∠BAF，∴∠BAF＝∠ADG，∴△ABF≌△DAG(ASA).
8. A 【解析】∵a＝1＞0，∴图象开口向上，∴二次函数有最小值，故选项A正确；当x＝3时，y＝12－6m.∵m的值不确定，∴图象不一定经过点(3，0)，故选项B错误；∵二次函数图象的对称轴为直线x＝－ eq \f(－2m,2) ＝m，且开口向上，∴当x>m时，y随x的增大而增大，当x0，∴函数图象与x轴有两个交点，故选项D错误．
9. (x＋2)2
10. －5 【解析】∵x＝1是分式方程的解，∴ eq \f(m,1－6) ＝1，解得m＝－5.
11. eq \f(4π,3) 【解析】如解图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝2AC，∴∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴劣弧的长为 eq \f(120×4π,360) ＝ eq \f(4π,3) .
第11题解图
12. y＝－x＋5(答案不唯一) 【解析】∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，4)，∴k＋b＝4.∵y随x的增大而减小，∴k＜0.令k＝－1，则－1＋b＝4，解得b＝5，∴一次函数的解析式为y＝－x＋5.
新考法解读本题以结论开放的形式考查一次函数的图象与性质，引导学生发散思维，积极思考，培养学生的创新意识和创新能力．试题命制符合《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中强调的“提高开放性试题的比例”要求，具有一定的趋势．
13. 6 eq \r(3) 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°.由尺规作图的痕迹可知AN为∠BAC的平分线，∴∠BAN＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝30°，BN＝ eq \f(1,2) BC，AN⊥BC.∵AN＝3，∴BN＝AN tan ∠BAN＝3tan 30°＝ eq \r(3) ，∴BC＝2BN＝2 eq \r(3) ，∴△ABC的周长为3BC＝6 eq \r(3) .
14. 解：(1)原式＝5－1＋2× eq \f(\r(3),2) － eq \r(3) ＋1(3分)
＝5；(6分)
(2)①2x－4≤x；(答案不唯一)(1分)
x－1＞ eq \f(3x－9,5) ；(答案不唯一)(2分)
②不等式组为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－4≤x①，,x－1＞\f(3x－9,5)②，))
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＞－2，
∴不等式组的解集为－2＜x≤4.(4分)
解集在数轴上表示如解图．(6分)
第14题解图
新考法解读本题以结论开放的形式考查一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质．在解题时，学生可以选择不同的策略解决问题，引导学生发散思维，积极思考，培养学生的创新意识和创新能力．试题命制符合《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中强调的“提高开放性试题的比例”要求，具有一定的趋势．
15. 解：(1)400；(2分)
【解法提示】140÷35%＝400(人).
(2)∵400×30%＝120(人)，
400－140－80－120＝60(人)，
∴“A”组所对应的圆心角的度数为360°× eq \f(60,400) ＝54°；(5分)
(3)3000×(30%＋35%)＝1950(人).
答：估计成绩在80分及以上的人数为1950人．(8分)
16. 解：如解图，过点D作AB的平行线DM，过点D作AB的垂线，垂足为点G，过点E作DM的垂线，垂足为点F.
∵∠BCD＝70°，
∴∠CDM＝180°－∠BCD＝110°.
∵∠CDE＝155°，
∴∠EDM＝∠CDE－∠CDM＝155°－110°＝45°.(2分)
在Rt△DEF中，∠EFD＝90°，∠EDF＝45°，DE＝20 cm，
∴EF＝ eq \f(\r(2),2) DE≈14.1 cm.(4分)
在Rt△CDG中，∠DGC＝90°，∠DCG＝70°，CD＝30 cm，
∴DG＝CD·sin 70°≈30×0.94＝28.2 cm.(6分)
∵底座AB的厚度为3 cm，
∴点E到桌面的距离为14.1＋28.2＋3≈45 cm.
答：台灯的高(点E到桌面的距离)约为45 cm.(8分)
第16题解图
17. (1)证明：∵AC是⊙O的弦，OE是⊙O的半径，D为AC的中点，
∴OE⊥AC.
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF，即∠OEF＝90°.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；(4分)
(2)解：如解图，连接AE.
第17题解图
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠BAC，
即sin F＝sin ∠BAC＝ eq \f(\r(5),5) ，
∴ eq \f(OE,OF) ＝ eq \f(\r(5),5) ，
设OE＝ eq \r(5) x，则OF＝5x.
在Rt△OEF中，OE2＋EF2＝OF2，
∴( eq \r(5) x)2＋122＝(5x)2，
解得x＝ eq \f(6\r(5),5) (负值已舍去)，
∴OE＝6，
∴OA＝6.(6分)
在Rt△AOD中，OD＝OA sin ∠BAC＝ eq \f(6\r(5),5) ，
∴AD＝ eq \r(OA2－OD2) ＝ eq \f(12\r(5),5) ，DE＝OE－OD＝6－ eq \f(6\r(5),5) .
在Rt△ABC中，sin ∠BAC＝ eq \f(\r(5),5) ，AB＝2OA＝12，
∴BC＝AB sin ∠BAC＝ eq \f(12\r(5),5) ＝AD.(8分)
在△BCG和△ADE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CBG＝∠DAE，,BC＝AD，,∠BCG＝∠ADE＝90°，))
∴△BCG≌△ADE，
∴CG＝DE＝6－ eq \f(6\r(5),5) .(10分)
【难点点拨】本题属于圆的综合题，涉及了解直角三角形、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找出对应的直角三角形，通过解直角三角形求线段长，并正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【方法指导】
1．切线的证明：
①切点不确定时，常过圆心作所证直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径．
2.在圆中求线段长的几种方法：
方法一：若题干中作辅助线后有直角三角形存在，常运用勾股定理；
方法二：若题干中含有特殊角(如30°，45°，60°等)或出现三角函数sin ，cs ，tan 等时，一般考虑用三角函数解题；
方法三：题目中无直角三角形时，一般考虑利用三角形相似计算线段长度；
方法四：运用等面积公式法也可求点到直线的距离．
18. 解：(1)∵一次函数y＝－2x＋6的图象过点A(2，n)，
∴n＝2×(－2)＋6＝2，
∴A(2，2).
将A(2，2)代入y＝ eq \f(k,x) ，
得k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝ eq \f(4,x) .(1分)
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,x)，,y＝－2x＋6，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝4)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2，,y2＝2，))
∴B(1，4)；(3分)
(2)如解图①，设经过点C且平行于直线AB的直线的表达式为y＝－2x＋b.
当直线y＝－2x＋b与反比例函数只有一个交点时，点C到直线AB的距离最短，
此时△ABC的面积最小．
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,x)，,y＝－2x＋b，))
整理得2x2－bx＋4＝0.
令(－b)2－4×2×4＝0，
解得b＝±4 eq \r(2) .
∵直线y＝－2x＋b经过第二、三、四象限，
∴b＜0，即b＝－4 eq \r(2) .
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,x)，,y＝－2x－4\r(2)，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\r(2)，,y＝－2\r(2)，))
∴C(－ eq \r(2) ，－2 eq \r(2) )，
∴OC＝ eq \r(10) .
∵A(2，2)，B(1，4)，
∴AB＝ eq \r(5) ，
∴ eq \f(OC,AB) ＝ eq \f(\r(10),\r(5)) ＝ eq \r(2) ；(6分)
第18题解图①
(3)①当点P在x轴上时，设点P的坐标为(m，0).
如解图②，过点A作x轴的垂线，垂足为点M.
第18题解图②
∵A(2，2)，
∴OM＝2，AM＝2.
∵AP＝AB＝ eq \r(5) ，
∴PM＝ eq \r(AP2－AM2) ＝ eq \r(（\r(5)）2－22) ＝1，
∴OP＝OM－PM＝2－1＝1或OP＝OM＋PM＝2＋1＝3，
∴点P的坐标为(1，0)或(3，0)；(8分)
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为(0，p).
如解图③，过点A作y轴的垂线，垂足为点N.
第18题解图③
(10分)
【难点点拨】本题第(3)问的难点在于分类讨论，已知点P在坐标轴上，要分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况讨论．当点P在x轴上时，要分点P在点M的左侧和点P在点M的右侧两种情况；当点P在y轴上时，要分点P在点N的上方和点P在点N的下方两种情况．
19. 1 【解析】∵实数a有异倒数，∴a(a－1)＝1，∴a2－a＝1，∴a2＝a＋1，∴原式＝ eq \f(a（a－1）,（a＋1）2) × eq \f(a（a＋1）,a－1) ＝ eq \f(a2,a＋1) ＝ eq \f(a＋1,a＋1) ＝1.
命题立意 本题是一个即时学习问题，给出一个新定义，结合新定义的运算方法考查分式化简，学生在解答时先要理解新的运算法则，在考查学生基础知识的同时，又考查了学生的阅读理解能力和现场学习能力．
20. eq \f(1,2) 【解析】根据根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝2m，即2＋x2＝－m①，2x2＝2m②，①×2＋②得4＋4x2＝0，解得x2＝－1，∴xx21＝2－1＝ eq \f(1,2) .
【一题多解法】将x1＝2代入一元二次方程x2＋mx＋2m＝0得4＋2m＋2m＝0，解得m＝－1，∴一元二次方程为x2－x－2＝0，解方程得x1＝2，x2＝－1，∴xx21＝2－1＝ eq \f(1,2) .
命题立意本题利用一元二次方程根与系数的关系或解一元二次方程均可求解，落实了《义务教育数学课程标准(2022年版)》中“一元二次方程根与系数的关系”的要求，考查了学生学科知识的掌握程度及知识间的灵活运用能力．
21. 100，110 【解析】根据题图中的数字变化规律，m＋p＝q，第【解析】分别用A，B，C，D表示兴隆湖生态公园、丹景山游道公园、交子公园、活水公园，列表如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中小叶和小沐会去同一个公园的情况有4种，∴P(小叶和小沐会去同一个公园)＝ eq \f(4,16) ＝ eq \f(1,4) .
【一题多解法】分别用A，B，C，D表示兴隆湖生态公园、丹景山游道公园、交子公园、活水公园，画树状图如解图：
第22题解图
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小叶和小沐会去同一个公园的情况有4种，∴P(小叶和小沐会去同一个公园)＝ eq \f(4,16) ＝ eq \f(1,4) .
23. 6 eq \r(13) 【解析】如解图，延长AD，BC交于点O.∵AB＝2AD＝12，∴AD＝6.∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴∠O＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝12，∴OD＝OA－AD＝6，OC＝OB－BC＝3.过点C作OD的垂线，垂足为点G，在△COG中，OC＝3，∠O＝60°，∴OG＝OC cs O＝3cs 60°＝ eq \f(3,2) ，CG＝OC sin O＝3sin 60°＝ eq \f(3\r(3),2) ，∴DG＝OD－OG＝ eq \f(9,2) ，∴CD＝ eq \r(CG2＋DG2) ＝3 eq \r(3) ，∴CD2＋OC2＝OD2，∴∠OCD＝90°.过点B作BC的垂线BH，使得BH＝2CD＝6 eq \r(3) ，连接AH，EH.∵BE＝2CF，∠EBH＝∠DCF＝90°，BH＝2CD，∴△BEH∽△CFD，∴EH＝2DF，∴AE＋2DF＝AE＋EH.∵两点之间线段最短，∴AE＋EH的最小值为AH，即AE＋2DF的最小值为AH.过点H作AB的垂线，交AB的延长线于点M.∵∠ABC＝60°，∠EBH＝90°，∴∠MBH＝30°，∴MH＝BH sin ∠MBH＝3 eq \r(3) ，BM＝BH cs ∠MBH＝9，∴AM＝AB＋BM＝21，∴AH＝ eq \r(AM2＋MH2) ＝6 eq \r(13) ，即AE＋2DF的最小值为6 eq \r(13) .
第23题解图
【难点点拨】本题考查线段最值问题，难点在于将AE＋2DF转化为AE＋EH，再利用两点之间线段最短得到AE＋EH的最小值为AH的长，解题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形和相似解决问题．
24. 解：(1)当0≤x≤10时，设y1＝k1x＋b1，
由图象得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b1＝800，,1600＝10k1＋b1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝80，,b1＝800，))
∴y1与x之间的函数表达式是y1＝80x＋800(0≤x≤10，x取整数)，
当11≤x≤18时，设y1＝k2x＋b2，
由图象得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(700＝11k2＋b2，,1400＝18k2＋b2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝100，,b2＝－400，))
∴y1与x之间的函数关系是y1＝100x－400(11≤x≤18，x取整数)，
综上所述，y1与x之间的函数表达式是
y1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80x＋800（0≤x≤10，x取整数），,100x－400（11≤x≤18，x取整数）；)) (4分)
(2)设该航班的收入W，
当0≤x≤10时，W与x之间的函数表达式为
W＝y1·y2
＝(80x＋800)(30x＋60)
＝2400(x＋6)2－38400，
∵2400＞0，函数图象的对称轴为直线x＝－6，
∴x>－6时，W随x的增大而增大，
∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为576000元；(6分)
当11≤x≤18时，W与x之间的函数表达式为
W＝y1·y2
＝(100x－400)×200
＝20000x－80000，
∵20000>0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝18时，W取得最大值，最大值为280000元．
∵280000＜576000，
∴估算该航班这18天期间第10天的收入最高，最高收入是576000元．(8分)
25. 解：(1)∵抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2＋bx＋c过A(－2，0)，且对称轴为直线x＝1，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)×（－2）2－2b＋c＝0，,－\f(b,2×（－\f(1,2)）)＝1，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝4；)) (3分)
(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝－ eq \f(1,2) x2＋x＋4，
将x＝0代入y＝－ eq \f(1,2) x2＋x＋4得y＝4，
∴C(0，4).
∵点M的坐标为(1，4)，
∴CM∥x轴，
∴∠AMC＝∠BAM.
∵A(－2，0)，M(1，4)，
∴AM＝5，
∴sin ∠AMC＝sin ∠BAM＝ eq \f(4,5) ；(6分)
(3)是定角，角度为90°.
∵一次函数y＝kx＋b的图象过点M(1，4)，
∴4＝k＋b，即b＝4－k，
∴一次函数的解析式为y＝kx＋4－k.
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x2＋x＋4，,y＝kx＋4－k，))
得 eq \f(1,2) x2＋(k－1)x－k＝0，
∴x1＋x2＝－2(k－1)，x1x2＝－2k.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴G(x1，5)，H(x2，5).
如解图，设GH与抛物线对称轴的交点为K，
∴GK＝1－x1，HK＝x2－1，
∴GK·HK＝(1－x1)(x2－1)
＝x1＋x2－x1x2－1
＝－2(k－1)＋2k－1
＝1.
∵MK＝5－4＝1，
∴GK·HK＝MK2，即 eq \f(MK,HK) ＝ eq \f(GK,MK) .
∵∠MKG＝∠HKM＝90°，
∴△GMK∽△MHK，
∴∠GMK＝∠MHK.
∵∠MHK＋∠KMH＝90°，
∴∠GMK＋∠KMH＝90°，
∴∠GMH＝90°.(10分)
第25题解图
【难点点拨】本题第(3)问的难点在于通过代数推理得到对应的线段比相等，从而得到三角形相似，再利用等角转换证明∠GMH的度数是定值．
26. 解：(1)2 cm或14 cm；(2分)
【解法提示】当点A在边A′D′上时，AD′＝D′C′＝6 cm，A′D′＝8 cm，
∴AA′＝2 cm，即平移的距离为2 cm；
当点A在线段A′D′的延长线上时，AD′＝D′C′＝6 cm，
∴AA′＝14 cm，即平移的距离为14 cm.
故平移的距离为2 cm或14 cm.
(2)四边形ABC′D′是菱形. (3分)
证明：如解图①，连接BD′交AC于点O.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
由平移的性质可知CD＝C′D′，CD∥C′D′，
∴AB＝C′D′，AB∥C′D′，
∴四边形ABC′D′是平行四边形.
在Rt△ABC中，由勾股定理可得A′C′＝AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10.
∵AA′＝CC′＝ eq \f(14,5) cm，
∴AO＝OC′＝ eq \f(1,2) ( A′C′－A′A) ＝ eq \f(18,5) cm，
∴ eq \f(AO,AB) ＝ eq \f(\f(18,5),6) ＝ eq \f(3,5) ， eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(6,10) ＝ eq \f(3,5) ，
∴ eq \f(AO,AB) ＝ eq \f(AB,AC) .
∵∠BAO＝∠CAB，
∴△ABO∽△ACB，
∴∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴BD′⊥AC，
∴四边形ABC′D′是菱形；(6分)
第26题解图①
(3)补全图形如解图②，△BCC′是等腰三角形，BC＝BC′. (7分)
第26题解图②
如解图③，过点B作BH⊥C′C于点H，
第26题解图③
∴C′H＝CH，∠BHC＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴cs C＝ eq \f(HC,BC) ＝ eq \f(BC,AC) ，
∴ eq \f(HC,8) ＝ eq \f(8,10) ，
∴HC＝ eq \f(32,5) ，
∴CA′＝C′C－A′C′＝C′H＋HC－A′C′＝ eq \f(32,5) ＋ eq \f(32,5) －10＝ eq \f(14,5) ，
∴l＝ eq \f(14,5) cm.(12分)
【其他情况】情况二：补全图形如解图④，△BCD是等腰三角形，BD＝CD.(7分)
第26题解图④
如解图⑤，过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点O，过点D作DF⊥C′C于点F.
∵由解图③可得，A′F＝HC＝ eq \f(32,5) ，
∴C′F＝10－ eq \f(32,5) ＝ eq \f(18,5) .
∵BD＝CD，DE⊥BC，
∴BE＝EC.
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，
∴AB∥DE，
∴OE是△ABC的中位线，
∴点O为AC的中点，
∴OA＝ eq \f(1,2) AC＝5.
∵AB∥DE，
∴∠DOC′＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠C′，
∴∠DOC′＝∠C′，
∴DO＝DC′.
∵DF⊥C′C，
∴C′O＝2C′F＝ eq \f(36,5) ，
∴C′A＝C′O－AO＝ eq \f(36,5) －5＝ eq \f(11,5) ，
∴l＝ eq \f(11,5) cm.(12分)
第26题解图⑤
情况三：补全图形如解图⑥，△A′BC是等腰三角形，A′B＝A′C.(7分)
第26题解图⑥
∵A′B＝A′C，
∴∠A′BC＝∠C.
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＋∠C＝90°，∠ABA′＋∠A′BC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABA′，
∴A′B＝A′A，
∴点A′是AC的中点．
∴A′C＝5，即l＝ 5 cm.(12分)
情况四：补全图形如解图⑦，△A′BC是等腰三角形，A′C＝CB＝8，∴l＝8 cm.
(12分)
第26题解图⑦第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)
1～5 DCCDB 6～8 BAA
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9. (x＋2)2 10. －5 11. eq \f(4π,3) 12. y＝－x＋5(答案不唯一) 13. 6 eq \r(3)
三、解答题 请看“详解详析”
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19. 1 20. eq \f(1,2) 21. 100，110 22. eq \f(1,4) 23. 6 eq \r(13)
二、解答题 请看“详解详析”
选项
逐项分析
正误
A
m＋2m＝3m≠2m2
×
B
m－(－n)＝m＋n≠m－n
×
C
(m－n)2 ＝m2－2mn＋n2≠m2－n2
×
D
(－2mn3)2＝4m2n6
√
A
B
C
D
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，B)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，C)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，D)