2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（二）

2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

2．（3分）已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断

3．（3分）已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）

A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 

C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2

5．（3分）在一个不透明的盒子中装有9个黑球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为黑球的概率是，则黄球的个数为（　　）

A．24 B．15 C．12 D．9

6．（3分）如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为（　　）

A．4 B．2 C． D．

7．（3分）如图，点A、B、C、P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为（　　）

A．70° B．60° C．40° D．35°

8．（3分）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

9．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，若弦EF长度的最小值为2，则AB的长为（　　）

A． B． C．3 D．

10．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），下列四个命题：

①m＞0；

②对于抛物线上的一点P（x，y），当x＞0时，y＞m；

③若a＝﹣1，则b＝3；

④抛物线上有两点 P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；其中真命题的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④

二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）cos60°＝　                　．

12．（4分）分解因式：4m2n2﹣8m2n+4m2＝　            　．

13．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，则PB长为 　               　．

14．（4分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 　       　cm2．

15．（4分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝　   　．

16．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，若，，则MN＝　                 　．

三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（6分）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．

18．（8分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于为1h”．某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：

A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．

请根据以上信息解答下列问题：

（1）求本次调查的总人数以及D组对应扇形的圆心角度数；

（2）根据题中信息补全条形统计图；

（3）若该市辖区约有40000名初中学生，请估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有多少人．

19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E是AD边上一点（点E不与点A、D重合），点F在AB的延长线上，且BF＝DE，连结EF交BD于点G．

（1）求证：△BDE≌△CBF；

（2）求证：EG＝GF．

20．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数，k是常数，a≠0，k≠0）的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．（O是坐标原点）

（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；

（2）直接写出当y2＞y1时x的取值范围；

（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

21．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．

（1）求证：△DCE∽△BCA；

（2）若AB＝6，AC＝8，求的值．

22．（12分）已知二次函数y1＝kx2﹣2kx﹣3（k为常数且k＞0）与一次函数y2＝x+1，令M＝y1﹣y2．

（1）若y1，y2的函数图象相交于x轴上的同一点．

①求k的值；

②当x为何值时，M的值最小，试求出该最小值．

（2）当﹣2＜x＜3时，M随x的增大而减小，请写出y1，y2的大小关系并给予证明．

23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．

（1）求证：∠ADG＝∠F；

（2）已知AE＝CD，BE＝2．

①求⊙O的半径长；

②若点G是AF的中点，求DF的长．

2023年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学模拟试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．

【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2．（3分）已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断

【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．

【解答】解：∵⊙O的半径为4，若PO＝3，

而3＜4，

∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，

故选：A．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．

3．（3分）已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．

【解答】解：∵，

∴3（x+3y）＝2y，

∴3x+9y＝2y，

∴3x＝2y﹣9y，

∴3x＝﹣7y，

∴＝﹣，

故选：B．

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

4．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　）

A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 

C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2；

由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2﹣2．

故选：D．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．

5．（3分）在一个不透明的盒子中装有9个黑球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为黑球的概率是，则黄球的个数为（　　）

A．24 B．15 C．12 D．9

【分析】先设黄球的个数为x个，根据题意得＝，解此分式方程即可求得答案．

【解答】解：设黄球的个数为x个，

根据题意得＝，

解得：x＝15，

经检验x＝15是原分式方程的解；

∴黄球的个数为15．

故选：B．

【点评】本题考查了概率公式．掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键．

6．（3分）如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为（　　）

A．4 B．2 C． D．

【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，代入计算即可．

【解答】解：∵AD∥BE∥CF，

∴＝，

∵AB＝2，DE＝BC＝3，

∴＝，

解得：EF＝，

故选：D．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

7．（3分）如图，点A、B、C、P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为（　　）

A．70° B．60° C．40° D．35°

【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．

【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，

∴∠DOE＝180°﹣40°＝140°，

∴∠P＝∠DOE＝70°．

故选：A．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

8．（3分）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】分别根据选项中二次函数的开口方向判断a的正负，然后根据a的正负判断对称轴的位置以及一次函数图象经过的象限即可得出答案．

【解答】解：A：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项A不符合题意；

B：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，图象符合要求，此时此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四现象，图中所给符合要求，故选项B符合题意；

C：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，而图中所给对称轴在y轴左边，故选项C不符合题意；

D：根据图象可得二次函数开口向下，则a＜0，当a＜0时，一次函数y＝ax﹣a的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项D不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是二次函数与一次函数的图象，解题关键是判断a的正负以及一次函数经过的象限．

9．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，若弦EF长度的最小值为2，则AB的长为（　　）

A． B． C．3 D．

【分析】首先连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，可求得半径OE的长，又由当AD为△ABC的边BC上的高时，AD最大时为直径，OE最大，OH最大，EF最小，可求得AD的长，由三角函数的性质，即可求得AB的长．

【解答】解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∴EH＝FH＝EF＝×2＝1，

在△ADB中，∠B＝60°，∠ACB＝75°，

∴∠BAC＝45°，

∴∠EOF＝2∠BAC＝90°，

∵OE＝OF，

∴∠EOH＝∠EOF＝45°，

∴OE＝＝，

∵当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，即OE最小，则EF最小，

∴AD＝2OE＝2，

∴AB＝＝．

故选：D．

【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

10．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），下列四个命题：

①m＞0；

②对于抛物线上的一点P（x，y），当x＞0时，y＞m；

③若a＝﹣1，则b＝3；

④抛物线上有两点 P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；其中真命题的序号是（　　）

A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④

【分析】由抛物线y＝﹣x2+2x+m与x轴有两个交点可得4+4m＞0，解得m范围可判断①是假命题；由二次函数性质可知x＞1时，y随x的增大而减小，而x＝2时y＝m，故当x＞2时，y＜m，可判断②是假命题；由抛物线的对称轴为直线x＝1知B（3，0），可判断③是真命题；由y1﹣y2＝﹣+2x1+m﹣（+2x2+m）＝（x1+x2﹣2）（x2﹣x1），且x1+x2＞2，x1＜1＜x2，可得y1﹣y2＞0，即可判断④是真命题．

【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2x+m与x轴有两个交点，则Δ＞0，

∴4+4m＞0，

解得m＞﹣1，故①是假命题；

∵抛物线y＝﹣x2+2x+m＝﹣（x﹣1）2+m+1，

∴抛物线对称轴为直线x＝1，

∵抛物线开口向下，

∴x＞1时，y随x的增大而减小，

∵x＝2时y＝m，

∴当x＞2时，y＜m，故②是假命题；

若a＝﹣1，则A（﹣1，0），

由抛物线的对称轴为直线x＝1知B（3，0），

∴b＝3，故③是真命题；

y1﹣y2＝﹣+2x1+m﹣（+2x2+m）＝（x1+x2﹣2）（x2﹣x1），

∵x1+x2＞2，x1＜1＜x2，

∴x1+x2﹣2＞0，x2﹣x1＞0，

∴y1﹣y2＞0，即y1＞y2，故④是真命题；

∴真命题有③④，

故选：C．

【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系．

二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）cos60°＝　　．

【分析】根据记忆的内容，cos60°＝即可得出答案．

【解答】解：cos60°＝．

故答案为：．

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．

12．（4分）分解因式：4m2n2﹣8m2n+4m2＝　4m2（n﹣1）2　．

【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．

【解答】解：4m2n2﹣8m2n+4m2

＝4m2（n2﹣2n+1）

＝4m2（n﹣1）2，

故答案为：4m2（n﹣1）2．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

13．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，则PB长为 　3﹣　．

【分析】依据黄金分割点的定义，即可得到AP的长，再根据线段的和差关系即可得出结论．

【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，

∴AP＝×AB＝﹣1，

∴PB＝AB﹣AP＝2﹣（﹣1）＝3﹣．

故答案为：3﹣．

【点评】本题主要考查了黄金分割，即点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

14．（4分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 　300π　cm2．

【分析】首先利用弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求得面积．

【解答】解：设扇形的半径是Rcm，则＝20π，解得：R＝30，

则扇形的面积是：×20π×30＝300π（cm2）．

故答案是：300π．

【点评】本题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，正确理解两个公式是关键．

15．（4分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝　3　．

【分析】设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．

【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，

设C点坐标为（a，），

作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，

∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，

∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，

∴OH＝CG＝BG＝a，

即B（3a，），

∵y＝（k≠0）的图象经过点B，

∴k＝3a•＝3，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．

16．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，若，，则MN＝　　．

【分析】延长GF交BC延长线于H，由正方形的性质，平角的定义推出∠ABE＝∠FEG，即可证明△BAE≌△EGF，得到FG＝AE，EG＝AB，得到△GDF是等腰直角三角形，求出DG，GF的长，由△BCN∽△BHF，△EDM∽△EGF，即可求出DM，CN的长，从而求出MN的长．

【解答】解：延长GF交BC延长线于H，

∵△EBF是等腰直角三角形，

∴BE＝EF，∠BEF＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝90°，

∴∠FEG+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ABE＝∠FEG，

∵∠A＝∠G，BE＝EF，

∴△BAE≌△EGF（AAS），

∴FG＝AE，EG＝AB，

∵AD＝AB，

∴GE＝AD，

∴DG＝AE，

∴DG＝FG，

∴△GDF是等腰直角三角形，

∴DG＝FG＝DF＝×3＝3，

∴AB＝EG＝DE+GD＝+3＝，

∵FG⊥AG，CD⊥AD，

∴DC∥GH，

∴△EDM∽△EGF，

∴DM：GF＝DE：EG，

∴DM：3＝：，

∴DM＝1，

∵△BCN∽△BHF，

∴CN：HF＝BC：BH，

∵HF＝GH﹣FG＝﹣3＝，BH＝BC+CH＝+3＝，

∴CN：＝：，

∴CN＝，

∴MN＝CD﹣DM﹣CN＝．

故答案为：．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形，综合应用以上知识点是解题的关键．

三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（6分）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．

【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．

【解答】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，

∵这个方程组的解是，

∴，

∴c＝﹣2．

∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是，

∴﹣2a+b＝1，

∴，

解得：．

∴原方程组为．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．

18．（8分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于为1h”．某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：

A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．

请根据以上信息解答下列问题：

（1）求本次调查的总人数以及D组对应扇形的圆心角度数；

（2）根据题中信息补全条形统计图；

（3）若该市辖区约有40000名初中学生，请估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有多少人．

【分析】（1）根据A组的人数和百分比即可求出总人数，先算出D组所占的百分比，再求出对应的圆心角；

（2）根据总人数和条形统计图即可求出C组人数，再补图；

（3）根据达到国家规定的体育活动时间的百分比即可估算出答案．

【解答】解：（1）∵A组有40人，占10%，

∴总人数为40÷10%＝400（人），

D组所占的百分比为 ×100%＝10%，

∴D组所对的圆心角为360°×10%＝36°；

（2）C组的人数为400﹣40﹣80﹣40＝240（人），

补全条形统计图如下：

（3）40000×＝28000（人），

答：估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有28000人．

【点评】本题主要考查统计图形的应用，最关键的是得出抽查人数，只需要看两个统计图里都已知的量即可，像中位数，众数，平均数这样的统计量中考比较爱考，要牢记它们的概念和计算公式．

19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E是AD边上一点（点E不与点A、D重合），点F在AB的延长线上，且BF＝DE，连结EF交BD于点G．

（1）求证：△BDE≌△CBF；

（2）求证：EG＝GF．

【分析】（1）根据菱形的性质以及∠A＝60°可得△ABD，△BCD 都是等边三角形，∠ABC120°．可得出DB＝BC，∠CBF＝∠BDE＝60°，利用SAS即可得出结论；

（2）过点E作EH∥AB，交BD于点H．证明△DEH是等边三角形，可得EH＝DH＝DE，由BF＝DE得EH＝BF．根据平行线的性质得∠HEG＝∠GFB．∠EHG＝∠GBF，

可得出△EHG≌△FBG（ASA），根据全等三角形的性质即可得出结论

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝DC．

∵∠A＝60°，

∴△ABD，△BCD 都是等边三角形．

∴DB＝BC，∠CBF＝∠BDE＝60°，

∵DE＝BF，

在△BDE和△CBF中：

，

∴△DEB≌△BFC（SAS）；

（2）过点E作EH∥AB，交BD于点H．

∴∠DEH＝∠A＝60°，

又∵∠ADB＝60°，

∴△DEH是等边三角形，

∴EH＝DH＝DE，

∵BF＝DE，

∴EH＝BF．

∵EH∥AB．

∴∠HEG＝∠GFB．∠EHG＝∠GBF，

在△EHG与△FBG中，

∴△EHG≌△FBG（ASA），

∴EG＝GF．

【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

20．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数，k是常数，a≠0，k≠0）的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD．（O是坐标原点）

（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；

（2）直接写出当y2＞y1时x的取值范围；

（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

【分析】（1）根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接代入点列方程及方程组求解即可得到答案；

（2）根据图象即可求解；

（3）根据函数图象平移，设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，联立方程组，消去y整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，结合图象只有一个交点，确定x2﹣（5﹣n）x+4＝0只有一个解，即Δ＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，解一元二次方程即可得到答案．

【解答】解：（1）把C（1，4）代入，k是常数，a≠0，k≠0），得k＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝，

把（4，m）代入y＝，得m＝1，

∴D（4，1），

把C（1，4），D（4，1）坐标分别代入y＝ax+b得，

解得，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；

（2）由图可知，当y2＞y1时x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；

（3）设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为y＝﹣x+5﹣n，

联立方程组得，

消去y得﹣x+5＝，

整理得x2﹣（5﹣n）x+4＝0，

∵由于直线与反比例函数图象只有一个交点，

∴Δ＝0，即[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0，整理得n2﹣10n+9＝0，解得n1＝1，n2＝9，

∴将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、函数图象平移及图象交点与一元二次方程解得情况等知识点是解决问题的关键．

21．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．

（1）求证：△DCE∽△BCA；

（2）若AB＝6，AC＝8，求的值．

【分析】（1）利用角平分线的定义，平行线的判定定理和相似三角形的判定定理解答即可；

（2）利用（1）的结论，相似三角形的性质定理，列出比例式求得AE，EC，再利用平行线分线段成比例定理解答即可．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠EAD＝∠ADE，

∴∠ADE＝∠BAD，

∴DE∥AB，

∴△DCE∽△BCA；

（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，

∴AE＝DE，

设DE＝x，则CE＝AB﹣AE＝8﹣x，

∵△DCE∽△BCA，

∴，

∴，

∴x＝，

∴AE＝，CE＝CA﹣AE＝．

由（1）知：DE∥AB，

∴．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

22．（12分）已知二次函数y1＝kx2﹣2kx﹣3（k为常数且k＞0）与一次函数y2＝x+1，令M＝y1﹣y2．

（1）若y1，y2的函数图象相交于x轴上的同一点．

①求k的值；

②当x为何值时，M的值最小，试求出该最小值．

（2）当﹣2＜x＜3时，M随x的增大而减小，请写出y1，y2的大小关系并给予证明．

【分析】（1）①先求得一次函数与x轴的交点为（﹣1，0），将（﹣1，0）代入二次函数的解析式可取得k的值；②将k＝1代入，然后可得到M与x的函数关系式，然后利用配方法求解即可；

（2）先求得M与x的关系，然后再求得抛物线的对称轴方程，然后依据M随x的增大而减小列不等式求解即可．

【解答】解：（1）①∵y1、y2的函数图象交于x轴上的同一点，一次函数y2＝x+1过点（﹣1，0），

∴二次函数y1＝kx2﹣2kx﹣3（k为常数且k＞0）也过点（﹣1，0），

∴0＝k+2k﹣3，

解得：k＝1；

②∵M＝y1﹣y2

∴M＝x2﹣2x﹣3﹣x﹣1＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，

∴当x＝时，M的值最小，最小值为．

（2）y1＜y2

证明：∵M＝kx2﹣2kx﹣3﹣x﹣1＝kx2﹣（2k+1）x﹣4，

∴对称轴为x＝﹣＝．

∵k＞0，﹣2＜x＜3且M随x的增大而减小，

∴．

∴0＜k≤．

当x＝﹣2时，y1﹣y2＝8k﹣2，

∴8k﹣2≤0．

又∵﹣2＜x＜3且M随x的增大而减小，

∴M＝y1﹣y2＜8k﹣2≤0，

∴y1＜y2．

【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式组、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．

（1）求证：∠ADG＝∠F；

（2）已知AE＝CD，BE＝2．

①求⊙O的半径长；

②若点G是AF的中点，求DF的长．

【分析】（1）连接BC，由余角的性质，得到∠F＝∠ABG，由圆周角定理即可证明；

（2）①连接OC，设圆的半径是r，由勾股定理列出关于r的方程，即可求解；

②由△DAG∽△FAD，得到AD：FA＝AG：AD，即可求出AF的长，由勾股定理求出EF的长，即可求出DF的长．

【解答】（1）证明：连接BC，

∵AB是圆的直径，

∴∠AGB＝90°，

∴∠ABG+∠BAG＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠F+∠BAG＝90°，

∴∠F＝∠ABG，

∵ADG＝∠ABG，

∴ADG＝∠F；

（2）解：①连接OC，设圆的半径是r，

∵BE＝2，

∴OE＝r﹣2，DC＝AE＝2r﹣2，

∵直径AB⊥CD，

∴EC＝CD＝r﹣1，

∵CO2＝OE2+EC2，

∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣1）2，

∴r2﹣6r+5＝0，

∴r＝5或r＝1（舍），

∴⊙O的半径长是5；

②∵AE＝AB﹣BE，

∴AE＝10﹣2＝8，

∴CD＝AE＝8，

∵AB⊥DC，

∴DE＝EC＝4，

∵∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠DAF，

∴△DAG∽△FAD，

∴AD：FA＝AG：AD，

AD2＝FA•AG，

∵G是AF中点，

∴AG＝AF，

∴AD2＝AF2，

∵AD2＝AE2+DE2＝80，

∴AF2＝160，

∵∠AEF＝90°，

∴EF＝＝4，

∴DF＝DE+EF＝4+4．

【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．

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