浙江省温州市洞头区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省温州市洞头区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．8cm
2．（3分）如图，A是某景区的入口，B，C，D，E是四个不同的出口，小红从A处进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她从D出口离开的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
4．（3分）如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球
B．蒙上眼睛射击正中靶心
C．打开电视机，正在播放综艺节目
D．在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾
6．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
8．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+8x+c的图象位于x轴下方，则c满足的条件是（ ）
A．c≥8B．c≥﹣8C．c＜8D．c＜﹣8
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．C．D．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A．3B．C．2D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是偶数的概率是 ．
12．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是 ．
13．（3分）在一个有2万人的小镇，随意调查了1000人，其中有200人看中央电视台的早间新闻，则该小镇约有 人看早间新闻．
14．（3分）若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是 （结果保留π）．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值列表如表：
则一元二次方程的y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 ．
16．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD＝ ．
17．（3分）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），桥面CB∥OA，其抛物线解析式为，抛物线上点A离桥面距离AB＝22米，若存在一点E使得，则点E到抛物线的距离ED＝ 米．
18．（3分）图1是某游乐园的摩天轮，A，B两位同学坐在摩天轮上的示意图如图2，摩天轮半径OA为9米，两同学的直线距离AB为6米，当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），A同学距离地面的高度为 米，当A同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
20．（6分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC三个顶点都在格点上，请按要求作图：
（1）在图1中，将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90°，得到△DBE．
（2）在图2中，画一个∠BFC，使得∠BFC＝45°．
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+b经过点A（﹣2，0），B（0，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴：
（2）抛物线的图象经过点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜1，x1+x2＞2，求y1，y2的大小关系．
22．（8分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O交AC于点E，AB＝AC，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，连结DE．
（1）求证：DE＝DC．
（2）若∠BAC＝45°，AB＝6，求的长．
23．（8分）根据以下素材，探索完成任务
2023-2024学年浙江省温州市洞头区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的）
1．（3分）已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．5cmD．8cm
【解答】解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，
∴OP＝4cm．
故选：B．
2．（3分）如图，A是某景区的入口，B，C，D，E是四个不同的出口，小红从A处进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她从D出口离开的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵有B，C，D，E四个不同的出口，
∴她从D出口离开的概率是．
故选：A．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
【解答】解：∵抛物线为y＝（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）．
故选：B．
4．（3分）如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：∵OC是弦心距，
∴OC⊥AB，
∴BC＝×16＝8，
∵OA＝10，
∴OC＝＝6，
故选：B．
5．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球
B．蒙上眼睛射击正中靶心
C．打开电视机，正在播放综艺节目
D．在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾
【解答】解：A、在一只装有黑球的箱子里不可能摸到白球，故不符合题意；
B、蒙上眼睛射击正中靶心是随机事件，故不符合题意；
C、打开电视剧，正在播放综艺节目是随机事件，故不符合题意；
D、在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾是必然事件，符合题意；
故选：D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝35°，
∵，
∴∠C＝∠A＝35°．
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+8x+c的图象位于x轴下方，则c满足的条件是（ ）
A．c≥8B．c≥﹣8C．c＜8D．c＜﹣8
【解答】解：由题意得，b2﹣4ac＜0，
∴Δ＝82﹣4×（﹣2）×c＜0，
解得c＜﹣8，
故选：D．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．C．D．
【解答】解：过点C作CH⊥BD于H，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×＝，BH＝CH＝4×＝2，
∴DH＝＝，
∴BD＝BH+DH＝，
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A．3B．C．2D．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10的大致图象如下：
．
∵mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，
∴m＜0，n＞0，
①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，
解得：m＝﹣3．
当x＝n时，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10，
解得：n＝3或n＝﹣3（均不合题意，舍去）；
②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，
解得：m＝﹣3．
当x＝1时，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10，
解得：n＝5，
或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5，
∴m＝﹣3，
所以m+n＝﹣3+5＝2．
故选：C．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是偶数的概率是 ．
【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中偶数有2，4，6共3种结果，
∴朝上的面的点数为奇数的概率是．
故答案为：．
12．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是 （0，3） ．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故答案为（0，3）．
13．（3分）在一个有2万人的小镇，随意调查了1000人，其中有200人看中央电视台的早间新闻，则该小镇约有 0.4 人看早间新闻．
【解答】解：该小镇看早间新闻的约有2×＝0.4（万人）．
故答案为：0.4．
14．（3分）若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是 （结果保留π）．
【解答】解：∵n＝120°，R＝2，
∴S＝＝．
故答案为π．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值列表如表：
则一元二次方程的y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x＝1 ．
【解答】解：由表格个可得抛物线经过（﹣3，7），（5，7），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，
故答案为：x＝1．
16．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD＝ 72° ．
【解答】解：如图，连接AO、DO，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOD＝×360°＝144°，
∴∠ABD＝∠AOD＝×144°＝72°；
故答案为：72°．
17．（3分）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），桥面CB∥OA，其抛物线解析式为，抛物线上点A离桥面距离AB＝22米，若存在一点E使得，则点E到抛物线的距离ED＝ 3.25 米．
【解答】解：令＝0，
解得：x＝0（舍去）或160（米），
则OA＝160＝BC，
则＝60（米），
当x＝60时，＝20﹣1.25＝18.75（米），
则DE＝AB﹣y＝22﹣18.75＝3.25（米），
故答案为：3.25．
18．（3分）图1是某游乐园的摩天轮，A，B两位同学坐在摩天轮上的示意图如图2，摩天轮半径OA为9米，两同学的直线距离AB为6米，当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），A同学距离地面的高度为 （6+9） 米，当A同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 2 米．
【解答】解：当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），过点O作OE⊥AB于点E．
∵OE⊥AB，
∴BE＝AE＝3（米），
∴OE＝＝＝6（米），
∴当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），A同学距离地面的高度为（6+9）米．
当A′同学旋转到最高位置时，过点B′作B′T⊥OA′于点T．
∵×＝×9×B′T，
∴B′T＝4，
∴A′T＝＝＝2（米），
∴此时两位同学的高度差为2米．
故答案为：（6+9），2．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝．
（2）由题意得，，
解得n＝2，
经检验，n＝2是原方程的解且符合题意，
∴n的值为2．
20．（6分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC三个顶点都在格点上，请按要求作图：
（1）在图1中，将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90°，得到△DBE．
（2）在图2中，画一个∠BFC，使得∠BFC＝45°．
【解答】解：（1）如图1，△DBE即为所求．
（2）如图2，∠BFC即为所求．
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+b经过点A（﹣2，0），B（0，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴：
（2）抛物线的图象经过点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜1，x1+x2＞2，求y1，y2的大小关系．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0，﹣8）代入抛物线y＝x2﹣2ax+b得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝1；
（2）y1＜y2，理由如下：
∵x1＜1，x1+x2＞2，
∴x2＞1，
∴点（x1，y1），（x2，y2）在对称轴的两侧，
∵x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∴点（x2，y2）到直线x＝1的距离比（x1，y1）到直线x＝1的距离远，
∴y1＜y2．
22．（8分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O交AC于点E，AB＝AC，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，连结DE．
（1）求证：DE＝DC．
（2）若∠BAC＝45°，AB＝6，求的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠AED＝180°，∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠B＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC；
（2）解：如图，连接OD，AD，OE，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠BAE＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝45°，
∵OA＝OE，∠BAC＝45°，
∴∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝45°，
∵AB＝6，
∴OD＝3，
∴的长为＝．
23．（8分）根据以下素材，探索完成任务
【解答】解：（1）以O为原点，以MN所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立如图所示坐标系，
则A（0，4），B（2.4，3.1），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2.4）2+3.1，
把点A坐标代入解析式得：5.76a＝0.9，
解得a＝，
∴物线解析式为y＝（x﹣2.4）2+3.1；
（2）根据题意得，当y＝3.5时，（x﹣2.4）2+3.1＝3.5，
解得x1＝0.8，x2＝4，
∵E，C的水平距离为6m，
∴x＝0.8，
∵灯笼左右宽度为0.2米，
∴灯笼的悬挂水平位置范围为﹣0.8≤x≤0.8．
x
…
﹣3
0
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣5
7
…
如何确定凉亭内悬挂灯笼的位置？
素材1
图1是中国传统建筑﹣﹣凉亭，其截面为两个成轴对称的抛物线的一部分（如图2）．凉亭外延水平宽度EC为6米，亭高AO＝4米，在抛物线最低处由一根高为3.1米的柱子支撑，柱子离亭正中心O点距离为2.4米．

素材2
为了美观，拟在凉亭右侧抛物线内悬挂一盏上下长度为0.5米，左右宽度为0.2米的灯笼（如图3），要使得整个灯笼处于右侧且保持离地至少3米的安全距离（灯笼挂钩G位于其中间最上端）

问题解决
任务1
确定凉亭右侧形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求凉亭右侧抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂位置
在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯笼的悬挂水平位置范围
x
…
﹣3
0
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣5
7
…
如何确定凉亭内悬挂灯笼的位置？
素材1
图1是中国传统建筑﹣﹣凉亭，其截面为两个成轴对称的抛物线的一部分（如图2）．凉亭外延水平宽度EC为6米，亭高AO＝4米，在抛物线最低处由一根高为3.1米的柱子支撑，柱子离亭正中心O点距离为2.4米．

素材2
为了美观，拟在凉亭右侧抛物线内悬挂一盏上下长度为0.5米，左右宽度为0.2米的灯笼（如图3），要使得整个灯笼处于右侧且保持离地至少3米的安全距离（灯笼挂钩G位于其中间最上端）

问题解决
任务1
确定凉亭右侧形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求凉亭右侧抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂位置
在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯笼的悬挂水平位置范围