2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示的几何体是由个小正方体组合而成的，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在纸片中，，将纸片绕着点按顺时针方向旋转，使得点落在点处，点落在边上的点处，连接，若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某商品连续两次涨价，由每件元涨为每件元，平均每次上涨的百分比为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，内接于，为半径，，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，、分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  数字用科学记数法可表示为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

13.  多项式分解因式的结果是______ ．

14.  计算的结果是______．

15.  不等式组的整数解为______ ．

16.  已知反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．

17.  不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为          ．

18.  某扇形的圆心角为、面积是，此扇形的半径是______ ．

19.  在中，，点在边上，连接，若，为等腰三角形，则的度数为______ ．

20.  如图，在中，，点为上一点，，，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长都为的方格纸中有一条线段，其中点、均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
以为对角线画菱形非正方形，点、均在小正方形的顶点上，点在的下方；
以为边画等腰直角，点在小正方形的顶点上，且点、在的同侧；
连接、，请直接写出的面积．

23.  本小题分
为了提高中学生身体素质萧红中学校开设了：篮球、：足球、：跳绳、：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种，将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

这次调查中，一共调查了多少名学生？
请通过计算补全条形统计图；
若全校共有学生名，请你估计全校喜欢足球的有多少名学生？

24.  本小题分
在▱中，，，垂足分别为点，，且．

如图，求证：▱是菱形；
如图，连接，交于点，交于点，连接、，若，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是面积倍的所有三角形．

25.  本小题分
开学初，小芳和小亮去商店购买学习用品，小芳用元钱购买钢笔的数量是小亮用元钱购买笔记本数量的倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价铬少元．
求每支钢笔和每本笔记本各是多少元；
学校运动会后，班主任拿出元学校奖励基金交给小芳，再次购买上述价格的钢笔和笔记本共件作为奖品，奖励给校运动会中表现突出的同学，经双方协商，商店给出优惠是购买商品的总金额超出的部分给打折，请问小芳至少要买多少支钢笔？

26.  本小题分
在中，是弦，于点，交于点，为上一点，连接交于点，连接、．
如图，求证：；
如图，点为弧上一点，且弧弧，连接交于点，于点，求证：；
如图，在的条件下，若为的直径，交于点，，，求的长．
 

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为．
如图，求、的值；
如图，点是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；
如图，在的条件下，是直线上一点，，的面积为，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是；
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；
本题考查了绝对值的定义．注意一个正数的绝对值是它本身，的算术平方根是；负数的绝对值等于它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不能直接合并，故选项A计算错误；
B.与不是同类项，不能合并，故选项B计算错误；
C.，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算错误．
故选：．
利用二次根式的加减法法则、合并同类项法则、积的乘方法则、完全平方公式逐个计算，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的运算和二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则、整式的运算法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；
B.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是理解轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
直接利用顶点式的特殊性直接得出顶点坐标．
【解答】
解：抛物线是顶点式，
顶点坐标为．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：如图所示组合体的左视图是．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
 

6.【答案】 

【解析】解：去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故选：．
先去分母，化为一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤求解，最后检验．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，
由勾股定理得，，
将纸片绕着点按顺时针方向旋转，使得点落在点处，
，，，
，
在中，，
由勾股定理得，，
故选：．
首先利用勾股定理求出的长，再利用旋转的性质得，，，在中，利用勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理，旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设平均每次涨价的百分率为，
第一次涨价后的价格为，
连续两次涨价后售价在第一次涨价后的价格的基础上提高，为，
则列出的方程是．
解得，不合题意舍去，
答：平均每次上涨的百分比为，
故选：．
先表示出第一次涨价后的价格，那么第一次涨价后的价格涨价的百分率第二次涨价的价格，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握平均变化率的方法：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据三角形内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理可得，即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，故A不正确，B正确，
，
∽，
，故C、不正确，
故选：．
根据，得∽，∽，再利用相似三角形对应边成比例即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：解不等式得，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
 

16.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
故答案为：．
将点代入解析式，即可求出的值．
本题考查了反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【解答】
解：列表如下：

所有等可能的情况有种，所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率，
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：设扇形的半径为，由扇形的面积公式可得，
，
解得，，
故答案为：．
根据扇形的面积公式列方程求解即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解决问题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图：

设的度数为，
，
，
是的一个外角，
，
分三种情况：
当时，
，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
，
；
当时，
，不成立，舍去；
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
设的度数为，利用等腰三角形的性质可得：，从而利用三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：作关于的对称，延长交于点，如图所示，

则，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
作关于的对称，延长交于点，则，，证出，，证≌，得，则．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：如下图：

菱形即为所求；
等腰直角即为所求；
的面积为：． 

【解析】根据“四条边相等的四边形是菱形”作图；
根据勾股定理和网格线的特点作图；
根据割补法求面积．
本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是割补法求面积是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得，名，
答：这次调查中，一共调查了名学生；
名，
补全条形统计图如下：

名，
答：若全校共有学生名，估计全校喜欢足球的大约有名学生． 

【解析】根据喜欢的人数和所占的百分比求出调查的总人数；
用总人数乘以所占的百分比求出喜欢的人数，从而补全统计图；
用总人数乘样本中喜欢足球的学生所占比例可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，，
≌，
，
▱是菱形；
解：图中面积是面积倍的所有三角形为、、、；理由如下：
连接交于，如图所示：
则，
，，
：：，
，
，
，
▱是菱形，
，
是等边三角形，，
，
，
同理：，
，
，
▱是菱形，
是的平分线，
点到与边上的高相等，
，
在和中，，
≌，
的面积的面积，，
，
≌，
，；
，
是等边三角形，
，，，
的面积的面积，
的面积的面积，
的面积的面积；
图中面积是面积倍的三角形为：、、、． 

【解析】证明≌得出，即可得出结论；
连接交于，则，证出，得出，，证明是等边三角形，，得出，，同理：，得出，由菱形的性质和角平分线的性质得出点到与边上的高相等，得出；证明≌得出，得出，得出，；证出是等边三角形，得出，，，得出的面积的面积；的面积的面积，得出的面积的面积．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设每本笔记本的价格是元，则每支钢笔的价格是元，

解得，
经检验，是原分式方程的解，
则，
即每支钢笔和每本笔记本各是元、元；
设小芳购买钢笔支，则购买的笔记本为本，

解得，
即小芳至少要买支钢笔． 

【解析】根据小芳用元钱购买钢笔的数量是小亮用元钱购买笔记本数量的倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价铬少元，可以得到相应的方程，解方程即可求得每支钢笔和每本笔记本各是多少元；
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到小芳至少要买多少支钢笔．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要进行检验．
 

26.【答案】证明：，
，
；
证明：弧弧，
，
，，
由知：，
，
；
解：过点作于点，于点，延长，交于点，连、、，如图，

弧弧，
，
为的直径，
．
，
，
，
．
设为，则为，
，
．
为的直径，，
，
等腰直角三角形，
，
，
，
．
，，
，
∽，
，
，
，
，

在中，
，
，
解得：或舍，
，，，，
．
，
．
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
四边形为圆的内接四边形，
．
在和中，
，
≌，
，，，
四边形是内接四边形，
，
，
，
． 

【解析】利用垂径定理和圆周角定理解答即可；
利用圆周角定理，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
过点作于点，于点，延长，交于点，连、、，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，设为，则为，利用等腰直角三角形的性质，角平分线的性质定理和相似三角形的判定和性质求得，，，在中，利用勾股定理求得值，则，，，；利用直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理得到，设，则，依据已知条件求得值，则；利用全等三角形的判定与性质得到，，，利用等腰直角三角形的性质求得，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，依据已知条件添加恰当的辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：由题意得：，，
，
；
如图，

由得，
，，
，
设，
过点作轴于点，
，
，
即
，
，
，
；
如图，

作，交的延长线于点，过点作，作于，作于，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
直线的函数关系式为，
的函数关系式为：，
，
，
点坐标为：． 

【解析】将点和点的坐标代入抛物线的关系式，从而求得、的值；
过点作轴于点，由得，从而，进一步得出结果；
作，交的延长线于点，过点作，作于，作于，可推出≌，可得出，，进而得出点和点的坐标，从而得出直线的函数关系式，结合的函数关系式，进而得出点的坐标．
本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是构造等腰直角三角形和全等三角形．