2023年安徽省宣城市宣州区卫东中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年安徽省宣城市宣州区卫东中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  经文化和旅游部数据中心测算，年春节假期国内旅游出游亿人这里亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将一副三角板的直角顶点重合，并按如图方式放置，其中，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某登山队大本营所在地的气温为海拔每升高，气温下降队员由大本营向上登高，气温为，则与的函数关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是一个由长方体截去一部分后得到的几何体，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知、、满足，且，则下列结论错误的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

9.  有，，三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘之前需先摘下，直到个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连接并将它绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则在点从点向点运动的过程中，下列说法错误的是(    )

A.  B. 点始终在直线上
C. 的面积为 D. 的最小值为

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  如果，则的值为______ ．

12.  如图，是直径，点、、在半圆上，若，则 ______
 

13.  如图，矩形中，，，连结对角线，为的中点，为边上的动点，连结，作点关于的对称点，连结，，若与的重叠部分面积等于的，则 ______ ．

14.  在正方形中，将绕点逆时针旋转得到，连接．
当时， ______ ；
在上取点，使，连接若，当时，的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
某项电力工程按千米记工作量为千米某工程队承担了此项工程的施工，在完成了千米工作量后，该工程队改进施工技术和方案，每小时比原来多完成千米工作量，结果共用了小时完成了此项工程的施工任务试问：该工程队改进施工技术和方案后每小时工作量是多少千米？

17.  本小题分
请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
问题：
计算：
；
．

18.  本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式，并证明你的结论．

19.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点坐标为．
求一次函数与反比例函数的解析式；
已知，若的面积为，求的值．

20.  本小题分
如图，已知点是线段上一点，以为直径作，点为的中点，过点作的切线，为切点，连结交于点．
证明：；
若，，求的长．

21.  本小题分
在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区，两所学校九年级各名学生每天的课后书面作业的时长单位：分钟情况，从这两所学校分别随机抽取名九年级学生进行调查，整理数据保留整数得如下不完整的统计图表作业时长用分钟表示：
A、两所学校被抽取名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表

学校名九年级学生中课后书面作业时长在的具体数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
       ，补全频数分布直方图；
学校名九年级学生课后书面作业时长的中位数是        ；
依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过分钟，估计两所学校名学生中，能在分钟内包含分钟完成当日课后书面作业的学生共有多少人？

 

22.  本小题分
某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示图的图象是线段，图的图象是部分抛物线．

在月份和月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？
从月份到月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？

23.  本小题分
在中，，点在线段上运动不与点、重合如图，连接，作，与交于点．

求证：∽．
若，当为多少度时，是等腰三角形？
如图，当点运动到中点时，点在的延长线上，连接，，点在线段上，连接．
与是否相似？请说明理由．
设，的面积为，试用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，准确确定、的值是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等和三角形外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
登山队员由大本营向上登高时，他们所在地的气温为，根据登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高气温下降，可求出与的关系式．
本题考查根据实际问题列一次函数式，解题的关键是读懂题意，理解气温随着高度变化，某处的气温地面的气温降低的气温．
 

6.【答案】 

【解析】解：从正面看，可得选项C的图形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
故选：．
根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，且，
，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
，
，
整理得：，
故，
整理得：，
故B不符合题意；
C.，，，
，，
，
则，
，
故C符合题意；
D.，，，
，，
，，
，，
，
故D不符合题意；
故选：．
利用分式的加减法的法则，分式的性质对各项进行分析即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中则第二个摘下的小球是的有种结果，
所以则第二个摘下的小球是的概率为，
故选：．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
，
点在线段上，
为中点，
，
将绕顺时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，故选项A不合题意，
，
，
点在直线上，故选项B不合题意；
，
，故选项C不合题意；
点在上移动，
当时，有最小值，
，，
，
，
，
的最小值为，故选项D符合题意，
故选：．
由“”可证≌，可得，，可求，可求，可判断选项，由等腰直角三角形的性质可得，可得点在直线上，可判断选项，由三角形的面积关系可求，可判断选项，当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值为，可判断选项，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，即，
当时，原式．
故答案为：．
利用完全公式得到，则有，然后把代入分式约分即可．
本题考查了分式的值：把满足条件的字母的值代入分式，计算得到对应的值称为分式的值；也可以通过整体代入约分得到分式的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是圆内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：如图中，当点在线段上时，连接，，作于，于．

与的重叠部分面积等于的，
，
，于，于，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
如图中，点在线段的延长线上时，
同法可得，

；
故答案为或．
分两种情形，如图中，当点在线段上时，连接，，作于，于只要证明四边形是平行四边形即可解决问题；如图中，当点在线段的延长线上时，同法可求．
本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
 

14.【答案】   

【解析】解：如图，连接，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：；
如图，在上截取，连接，
，，
，
，
又，，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求解；
由“”可证≌，可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：设该工程队则原来每小时工作量是千米，
则改进施工技术和方案后每小时工作量是千米．
依题意得：，
解得：或，
经检验：和都是分式方程的解，但不合题意，舍去，
，
答：改进施工技术和方案后每小时工作量是千米． 

【解析】本题考查了分式方程的实际应用；解题的关键是根据题意列出方程、正确求解．
设该工程队则原来每小时工作量是千米，则改进施工技术和方案后每小时工作量是千米，依题意得列分式方程，求解分式方程并找到符合实际意义的解即可．
 

17.【答案】解：


；






． 

【解析】分子为，分母是两个连续自然数的乘积，第项为，依此抵消即可求解；
分子为，分母是两个连续奇数的乘积，第项为，依此抵消即可求解．
考查了有理数的混合运算，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．
 

18.【答案】 

【解析】解：第个等式为：；
故答案为：；
猜想：第个等式为：，
证明：等式右边

右边，
故猜想成立．
根据所给的等式的形式进行解答即可；
分析所给的等式的形式，再进行总结，对等式左边的式子进行整理即可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的等式中序号与相应的数之间的关系．
 

19.【答案】解：把代入得：，
解得，
一次函数的解析式为，
把代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为；
在中，令得，
解得，
，
，
，
由，解得或，
，
的面积为，
，
解得或． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
利用一次函数解析式求得的坐标，然后根据得出关于的方程，解方程即可求得的值．
本题是一次函数与反比例函数的综合应用，考查了待定系数法求函数的解析式，求函数交点的坐标，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法、会求函数图象交点的坐标．
 

20.【答案】证明：连接，，如图，
为的切线，
，
．
点为的中点，
，
，
．
，
，
．
，
，
；
解：，
．
，
．
设，则，
，
，
．
．
，
，
解得：不合题意，舍去或．
． 

【解析】连接，，利用切线的性质定理得到，利用垂径定理得到，利用同圆的半径相等和对顶角相等得到，由等角对等边可得结论；
利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，，，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求得值，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质与判定，垂径定理，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意知，，
补全直方图如下：

故答案为：；
学校名九年级学生课后书面作业时长的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别为、，
所以学校名九年级学生课后书面作业时长的中位数是，
故答案为：；
人，
答：估计两所学校名学生中，能在分钟内包含分钟完成当日课后书面作业的学生共有人．
根据、学校抽查总人数分别为人可求出、的值，从而补全图形；
根据中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中分钟内包含分钟人数所占比例即可．
本题主要考查了统计图表，中位数的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】解：由题意可知：
月份的单件利润为：元，
月份的单件利润为：元，
在月份和月份出售这种商品，月商品的单件利润更大；
设线段的解析式为，代入，，得：
，
解得：，
线段的解析式为，
由图可知：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
设单件利润为元，
由题意可得：，
抛物线的对称轴为，
，
当时，有最大值，最大值为，
从月份到月份，月商品的单件利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据题意，用销售价格减去成本价格即可得出利润，即可求出答案；
先分别求出线段和抛物线的解析式，即可得到利润的解析式，根据解析式即可求出答案．
本题考查二次函数的应用，关键是列出函数解析式．
 

23.【答案】证明：，，，
，
，
，
∽；
解：当时，，
，
，
，
由得∽，
；
当时，，
，
，
，
不存在这种情况；
当时，，
，
，
；
综上所述，当为或时，是等腰三角形；
解：同得∽，
，
，
，
，
∽．
连接，过点作，，垂足分别为，，如图所示：

，，
，
，
，
，
，
，
解得：，负值舍去，
，
，
，
由得∽，
，
，，
，
． 

【解析】根据三角形外角的性质证明，再根据等腰三角形的性质证明，即可判断∽；
分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质分别求出的度数即可；
根据解析可得∽，得出，根据，得出，由，可以证明∽；
连接，过点作，，垂足分别为，，根据勾股定理结合，求出，得出，根据等积法求出，根据∽，得出，根据角平分线的性质得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，三角形面积的计算，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．