2023年安徽省滁州市定远中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年安徽省滁州市定远中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  中国国花牡丹被誉为“百花之王”据统计，我国牡丹栽种数量约为株，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，直线，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某人用手机软件记录了某个月天每天健步走的步数单位：万步，将记录结果绘制成如图所示的统计图在这组数据中，众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  某超市销售一批创意闹钟，先以元个的价格售出个，然后调低价格，以元个的价格将剩下的闹钟全部售出，销售总额超过了元，这批闹钟至少有个．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，中，，，，半径为的与，分别相切于点，，与交于点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点、，则线段的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  不等式的解集为______ ．

12.  方程的解为______ ．

13.  如图，已知反比例函数在第一象限内的图象与正方形的两边相交于，两点若，直线经过点，则的值是______ ．

14.  在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，，点，分别是，边上的中点，为边上任意一点，将，分别沿，翻折，使点，点分别落在长方形内的点，处，当点落在线段上时，则 ______ ，连接，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中使一元二次方程有两个相等的实数根．

17.  本小题分
如图，从高楼点测得水平地面、两点的俯角分别为、，如果此时高楼点的高度为米，点、、在同一直线上，求两点的距离．

18.  本小题分
如图，是边长为的正方形，以对角线为一边作第个正方形，再以对角线为一边作第个正方形，依次下去，则：

第个正方形的边长 ______ ，第个正方形的边长 ______ ，第个正方形的边长为______ ．
如图所示，若以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则点的坐标是______ ，点的坐标是______ ，点的坐标是______ ．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，与轴交于点，连接，．
求双曲线的解析式；
若点在双曲线上，且，求点的坐标．

20.  本小题分
如图，在中，，是边上的一点，以为半径的与边相切于点．
若，的半径为，求的长．
过点作弦于，连接，若求证：四边形是菱形．

21.  本小题分
随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，我校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

本次调查的学生共有        人，估计我校名学生中“不了解”的人数是        人：
将条形统计图补充完整；
“非常了解”的人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生的概率．

22.  本小题分
某天，小明在足球场上练习“落叶球”如图，足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图，足球起点在处，正对一门柱，距离，足球运动到的正上方，到达最高点，此时球门宽，高．

以水平方向为轴，为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
请判断足球能否进球网？并说明理由．
小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点处进入球网若离点处有人墙，且，人起跳后最大高度为，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．

23.  本小题分
如图，已知正方形的边长为，点是边上的一点，把沿直线对折后，点落在点处．
当时，如图，正方形的对角线与相交于点，与正方形另一条对角线相交于点，连接并延长交于点．
求的值，并说明点是的中点；
试探究与有怎样位置关系，并说明理由；
求线段的长．
如图，点是线段上的一点，且，连接、则在点从点运动到点的过程中，的最小值为______ ，此时的长为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
根据平方根的定义，即可解答．
本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
先确定符号，再按幂的乘方的运算法则计算即可．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影有个小正方形组成，如图．
故选：．
根据平行投影的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了平行投影，熟练掌握平行投影的应用进行求解是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
，，
．
故选：．
由平行线的性质可得，，从而可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现的次数最多，
在每天所走的步数这组数据中，众数是；
每天所走的步数的中位数是：，
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是、．
故选：．
中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，熟练掌握将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设这批创意闹钟有块，

解得，
这批电话手表至少有块，
故选：．
根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
故选：．
根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，根据根的判别式得出关于的不等式是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，，分别交于点，点，过点作于点，
则，，
，，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
∽，∽，
，，
即，，
解得，，
，，
，
，即，
，
在中，
，
，
故选：．
根据切线的性质，正方形的性质以及相似三角形的性质可求出，，进而求出，再根据三角形的面积可求出，由勾股定理可求出，由垂径定理可得．
本题考查圆周角定理、切线的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理，切线的性质以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：过的中点作的垂线与交于点，连接，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当直线过点时，的值最大，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
过的中点作的垂线与交于点，连接，当时，的值最大，利用，求出，，再利用勾股定理求出即可求解．
本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，能够确定最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
移项，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
不等式移项，合并同类项，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线经过点，
设，则，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
反比例函数过点，
，
故答案为：．
设，则，，根据正方形的性质得出，解得，得到，代入即可求得的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，，
，
点，分别是，边上的中点，
，，
，，，，
四边形和四边形都是矩形，
，，
由翻折得，，，
点在上，
，
，
，
，
解得；
连接，则，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：，
由矩形的性质得，，，，再由点，分别是，边上的中点，证明四边形和四边形都是矩形，则，，当点在上，则，由勾股定理得，求得；连接，则，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：原式

，
又一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
原式． 

【解析】先把括号内通分后进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后根据判别式的意义求出的值，再把的值代入中计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算和根的判别式．
 

17.【答案】解：从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、，
，，
，米，
是等腰直角三角形，
米，
在中，
米，，
米，
米．
答：两点的距离是米． 

【解析】先根据从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出与的长，根据即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
 

18.【答案】           

【解析】解：第个正方形的边长为，
由勾股定理可以得出：
第个正方形的边长为：，
第个正方形的边长为：，
第个正方形的边长为：，
第个正方形的边长为：，

第个正方形的边长为：，
第个正方形的边长为：；
故答案为：，，；
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
从到经过了次变化，
，．
点所在的正方形的边长为，点位置在第四象限．
点的坐标是；
可得出：点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
，
，
，
，
由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
，
从到与都在轴负半轴上，
，
点的坐标是．
故答案为：，，．
直接利用等腰直角三角形的性质和勾股定理就可以求出第个正方形的边长为，依次可以求出第个正方形的边长为，第三个正方形的边长为，第四个正方形的边长为，依此类推就可以求出第个正方形的边长；
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到的后变化的坐标，再求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．
本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，坐标于图形的性质的性质的运用，解答时寻找线段长度的变化规律是关键．
 

19.【答案】解：直线与双曲线相交于点，，
中，，
，
把代入，可得
，
双曲线的解析式为；

设，则，
过作于，轴于，则，
又，
，
∽，
，即，
，
又，
，
化简得，
解得，舍去
 

【解析】依据直线与双曲线相交于点，，求得，代入，可得双曲线的解析式为；
设，则，依据∽，可得，即，解方程即可得到
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式的运用，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：连接，
，的半径为，
，
与边相切于点，
，
，
，
是的切线，
，
在中，，即，
解得：；
证明：由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，求出；
根据圆周角定理、三角形的外角性质求出，进而得到，证明，根据菱形的判断定理证明结论．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、菱形的判断定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生总人数为人，
“不了解”对应的百分比为，
估计该校名学生中“不了解”的人数是人；
“不了解”的人数是人，
补全图形如下：

画树状图如下：

由图可知共有种可能的结果，恰好抽到名男生的结果有个，
所以恰好抽到名男生的概率为．
由非常了解的学生人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得答案；
用被调查人数乘以对应的百分比求出不了解人数，从而补全图形；
用树状图表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到名男生的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

22.【答案】解：由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，
将代入得，，解得，
足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；
足球不能进球网，理由如下：
当时，，
，
足球不能进球网．
足球能越过人墙，理由如下：
足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点，
设抛物线的函数表达式为．
如图，

由题意知，四边形是矩形，则，
在中，由勾股定理得，
足球恰好在点处进入球网，
抛物线经过点，
将代入得，，
解得，
，
，
∽，
，
即，
解得，
把代入得，
，
，
足球能越过人墙． 

【解析】由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将，代入求解值，进而可得结果；
将代入，求值，然后和比大小，进而可得结论；
由题意，设抛物线的函数表达式为如图，四边形是矩形，则，在中，由勾股定理求得，将代入得，，解得，可得，证明∽，则，解得，把代入抛物线解析式，求值，然后与比大小，进而可得结论．
本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

23.【答案】  

【解析】解：，，，
∽，
，
，
，
，即点是的的中点；
；理由如下：
连接交于点，如图：

由折叠可知垂直平分，即点是的中点，
点是的的中点，
是的中位线，
，即；
在中，，
，，
∽，
，即，
，
由可得，点是的中点，
∽，
，
；
在上截取，连接，作于，如图：

，，，
≌，
，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，
，，
设，则，，
，即，
解得舍去，
，
．
故答案为：，．
根据相似三角形的判定和性质，可得∽，得出；根据是的中点，即可得到点是的中点；
连接交于点，根据折叠的性质可得垂直平分，点是的中点，故，即可得答案；
根据勾股定理可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可得到；根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得；
在上截取，连接，证明≌，可得，当、、三点共线时，最小，作于，设，，，利用勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是熟练运用正方形的性质和相似三角形的判定与性质进行推理证明．