2023年浙江省台州市椒江区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省台州市椒江区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某几何体的三视图如图所示，则该几何体是(    )

A. 棱柱
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 球

3.  北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，其高度大约是米数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  “杭台高铁”台州至杭州铁路长为千米，从台州到杭州乘某趟“”字头列车比乘某趟“”字头列车少用分钟，“”字头列车比“”字头列车每小时多行驶千米，设“”字头列车速度为每小时千米，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，，点，，分别在边，，上，连接，，且满足，设，，则关于，的关系式正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，抛物线：交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，若点在其中的一个抛物线上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，，为边的中点，为边上一点，连接，与关于对称，延长，分别交边，于点，若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  因式分解：______．

12.  在一个不透明的布袋中有个红球和个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出个球，那么摸到白球的概率为 ______ ．

13.  如果圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为______．

14.  若点在第二象限，则在第______ 象限．

15.  在中，，，分别为，的中点，连接，交于点，取，的中点为，，连接交于点，连接，，若四边形是菱形，则 ______ ．

16.  如图，点是上一点，且，，点在上运动，连接交于点，则的半径为______ ；的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程组：．

19.  本小题分
如图是汽车尾门向上开启时的截面图，已知车高，尾门，当尾门开启时，，求点离地面的高度参考数据：，，，结果精确到
 

20.  本小题分
我们知道，正比例函数的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即随着的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
补全证明过程
证明：设点，在正比例函数的图象上，且，
， ______ ，
，
，
______ ，
______ ，即，
随着的增大而增大．
仿照题的证明过程，试从代数角度证明：当时，反比例函数随着的增大而增大．

21.  本小题分
如图，直线经过上的点，并且，，交于点．
求证：直线是的切线；
当时，求的度数．

22.  本小题分
某快递公司为了解用户的使用体验，提升服务质量，随机抽取了名用户进行问卷调查，调查问卷问题部分及相关统计结果如下：

用户认为最需要改进的方面的统计图中，“包装情况”所占的百分比为______ ，“快递价格”所对应的圆心角度数为______ ；
如果将整体评价中的“满意”、“一般”、“不满意”分别赋分为分、分、分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数；
小明想，如果该快递公司有名用户，那么认为“配送速度”方面的服务需要改进的用户有名你觉得小明的想法正确吗？请说明理由．

23.  本小题分
正方形中，，点在边上，连接，在线段上取一点，连接．

如图，当时，求证：∽；
如图，当且时，求的值；
如图，当且时，求证：．

24.  本小题分
几何画板具有绘图功能，可以方便地绘制一个动态函数的图象，并可通过改变系数，，的值来探索函数图象的相关性质步骤如下：
步骤一：在平面直角坐标系中，点，，为轴上的三个动点，横坐标分别记为，，，且；
步骤二：绘制函数的图象；
例：如图，当点，，分别移动到，，的位置时，相应的，，，此时函数解析式为．
步骤三：任意移动，，三点的位置，函数图象的形状、大小、位置会随之改变．
当点，，分别移动到，，的位置，则函数解析式为______ ，函数图象与轴的交点坐标为______ ；
若点，分别移动到，的位置，函数的图象与轴的交点为，求的取值范围；
在点，，的移动过程中，
若点移动到的位置，且满足，此时函数的最小值为，求点的坐标；
若满足，为常数，试判断函数的值能否达到？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知．
故选：．
先根据正数都大于，负数都小于，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比小的数是．
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：负数正数；两个负数，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，
故选：．
根据几何体的三视图分析解答即可．
此题考查由三视图判断几何体，关键是熟悉圆锥的三视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：将．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，所以错误，故A选项不符合题意；
B、，所以正确，故B选项符合题意；
C、，所以错误，故C选项不符合题意；
D、，所以错误，故D选项不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的除法法则逐项进行判断．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，
原有橘子的重量的方差该顾客选购的橘子的重量的方差，而平均数无法比较．
故选：．
根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在的平分线上，点到边的距离等于，
点到边的距离等于，
点是边上的任意一点，
，
故选：．
利用角平分线的性质可得点到边的距离等于，然后根据垂线段最短，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：“”字头列车速度为每小时千米，
“”字头列车速度为每小时千米．
，
．
故选：．
根据“”字头列车速度为每小时千米，可知“”字头列车速度为每小时千米．根据时间路程速度公式，结合“”字头列车比乘某趟“”字头列车少用分钟，即可列出关于的分式方程．
本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系式，正确列出分式方程是解题的关键．本题的易错点在于单位不统一，列方程时需注意单位的转换．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
又，
，即，
故选：．
先根据等腰三角形的性质与判定得出，，，再根据平角定义得到和的关系式，根据三角形内角和得到和的关系式，结合求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和平角定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
配方可得，
顶点坐标为，
坐标为，
由旋转得到，
，即顶点坐标为，；
照此类推可得，顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
，
抛物线的顶点坐标是，
．
故选：．
将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得的值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与几何变化，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，利用数形结合思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

与关于对称，
，，，，
又，
，
，即，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
为边的中点，即，
为边的中点，
，
，
，，
≌，
，
，
；
，
，
∽，
，
，
．
故选：．
如图：连接，由对称的性质可得，，，；再证≌，可得，进而得到，由点是中点，得，然后可证明≌，则有，可得；再证∽，由相似的性质可求得的长，进而可得．
本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
直接运用平方差公式分解因式．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：任意摸出一个球，是白球的概率为，
故答案为：．
用白球个数除以总数即可．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥的高为，母线长为，
由勾股定理得，底面半径，
底面周长，
侧面展开图的面积．
故答案为：．
利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
此题主要考查圆锥的侧面面积的计算及勾股定理的运用．解题的关键是正确的运用公式．
 

14.【答案】三 

【解析】解：点在第二象限，
，，
，
在第三象限．
故答案为三．
根据第二象限的坐标特征得到，，则，然后根据根据第三象限的坐标特征对点进行判断．
本题考查了点的坐标：记住各象限内点的坐标特征以及坐标上点的坐标特征．
 

15.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
，
四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
，
，
延长交于点，
，分别为，的中点，连接，交于点，
，点为的重心，
∽，∽，点为线段的中点，
，
四边形是菱形，
，
，
．
故答案为：．

根据三角形中位线的性质及菱形的性质得出，延长交于点，利用三角形重心的性质及相似三角形的判定和性质求解即可．
本题主要考查三角形中位线的判定和性质，三角形重心的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：作出圆心，连接，，与交于点，

，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，即所在的圆的半径为；
过点作，，
则有∽，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
由题意知为中点时，最大，
此时的长等于半径减去的高，
，
，
．
故答案为：，．
作出圆心，连接，，与交于点，根据垂径定理和等腰三角形的性质与判定证明出是等边三角形，即可得出半径长；过点作，，得出∽，从而得到，再根据平行的性质和锐角三角函数得到，从而得到当最大时，最大，求出此时的即可得解．
本题考查了圆的几何综合题，综合性比较强，难度较大，能够作出合适的辅助线进行作答是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数幂和实数的运算法则求解即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，算术平方根，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：
得，
把代入得，解得．
原方程组的解为． 

【解析】直接运用加减消元法即可解答．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：过点作交延长线于点，

，
，
，
，
米，
米，
答：点离地面的高度约为米． 

【解析】过点作交延长线于点，由题意可以得出，再根据锐角三角函数的正弦值求解即可．
本题考查了解直角三角函数的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】证明：设点，在正比例函数的图象上，且，
，，
，
，
，
，即，
随着的增大而增大；
故答案为：，，；
设点，在反比例函数的图象上，且，
，，
，
，
，，
，即，
当时，反比例函数随着的增大而增大．
根据题意写出证明过程即可得出答案；
根据中的证明方法进行证明即可．
本题考查了正比例函数和反比例的图象与性质，能够学习并运用题中的证明过程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，

，
是等腰三角形，
，
，
又点在上，
直线是的切线；

解：连接，

，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质与判定推出，即可证明结论；
连接，根据直角三角形的性质和圆的基本性质得出是等边三角形，从而得到，即可求解．
本题考查了圆的性质，圆的切线证明，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：“包装情况”所占的百分比：，
“快递价格”所对应的圆心角度数：，
故答案为：，；
根据题意可得：中位数：分，
平均数：分；
不正确．是指调查结果“一般”或“不满意”用户对快递配送速度不满意的百分比，而非样本容量的，
故小明的想法不正确．
用减去“配送速度”、“快递价格”、“服务态度”所占的百分比，即可得出“包装情况”所占的百分比；用乘以“快递价格”所占百分比，即可得出“快递价格”所对应的圆心角度数；
根据中位数和平均数的定义，即可求出中位数和平均数；一共调查了位用户，中位数应为第位和第为用户打分的平均数；
是指调查结果“一般”或“不满意”用户对快递配送速度不满意的百分比，而非样本容量的故小明的想法不正确．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，根据统计图得出需要的数据，掌握中位数和平均数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】证明：正方形，
，
，
又，
，
∽．
解：过点作于点，

，，
，
又，
同理得∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
证明：过点作于点，

四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，则，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据，，即可求证；
过点作于点，先求出，根据∽，得出，根据勾股定理得出，最后根据即可求解；
过点作于点，先证明∽，得出则，再证明，根据，即可得出．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例．
 

24.【答案】   

【解析】解：根据题意，点，，分别移动到，，的位置，
函数解析式为，
当时，，
函数图象与轴的交点坐标为，
故答案为：；；
，，，
，
，
的图象与轴的交点为，
，
，
；
，
，即，
，
解得或舍去，
；
能，理由如下：
，
，即，
，
，
，即函数的值能达到．
根据题意可直接确定函数解析式，然后求与轴的交点即可；
根据题意得出，确定函数解析式为，将交点代入即可求解；
结合题意得出，再由二次函数的最值求解即可；根据题意得出，即，利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查一次函数及二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握运用一次函数及二次函数的性质是解题关键．