2022-2023学年广东省广州市花都区秀全中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市花都区秀全中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用交集运算求解.

【详解】因为集合，，

所以，

故选：B

2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.

【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，

故选：.

3．在下列区间中，方程的解所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点存在定理求解.

【详解】设，且，且为增函数，

根据函数零点存在定理知，方程在区间内有唯一的解.

故选：B.

4．已知角的终边经过点，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得，再根据余弦函数的定义求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：C.

5．若a，b是实数，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.

【详解】由可得；但是时，不能得到.

则是的必要不充分条件

故选：B

6．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别将，，与和进行比较即可.

【详解】∵在上单调递增，

∴，即，

∵在上单调递减且值域为，

∴，即，

∵在区间上单调递增，

∴，即，

综上所述，，，的大小关系为.

故选：B.

7．已知在R上是减函数，那么a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于的不等式组，求出其解后可得正确的选项.

【详解】因为为上的减函数，所以，解得，

故选：A.

8．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得，利用诱导公式和二倍角公式可得，进而可得结果.

【详解】由黄金三角形可知：

故选：B

【点睛】本题考查了三角函数诱导公式和二倍角公式，考查了运算求解能力和转化的数学思维，属于中档题目.

二、多选题

9．如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（    ）

A． B． C． D．无解

【答案】BC

【分析】利用已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.

【详解】由已知可得，解得或.

故选：BC.

10．已知，则下列结论正确的是（ ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】AD

【分析】A.根据，利用“1”的代换，利用基本不等式求解判断； B. 根据，转化为二次函数求解判断； C. 由，得到，再利用对数运算求解判断； D. 根据，利用基本不等式求解判断.

【详解】A.因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；

B. 因为，所以，所以，当时，取得最小值，故错误；

C. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为，故错误；

D. 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故正确；

故选：AD

11．已知函数，则（    ）

A． B．在上单调递增

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】AC

【分析】变形函数式，结合二次函数性质、复合函数单调性及函数对称性逐项分析作答.

【详解】函数定义域为，，

对于A，，当且仅当时取“=”，A正确；

对于B，因在上递减，而在上递增，则在上递减，B不正确；

对于C，因，，即的图象关于直线对称，C正确；

对于D，因，即点与关于点不对称，D不正确.

故选：AC

12．已知函数的最小正周期是，其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论中正确结论有（    ）

A．函数的图象关于点对称；

B．函数的图象关于直线对称；

C．函数在上是减函数；

D．函数在上的值域为.

【答案】BC

【分析】根据函数最小正周期可求得,由函数图象平移后为奇函数,可求得,即可得函数的解析式,再根据正弦函数的对称性判断AB,利用函数的单调区间判断C,由正弦函数的图象与性质判断D即可.

【详解】函数的最小正周期是，则，

即，向右平移个单位可得，

由为奇函数，可知，

解得，因为，所以当时， ，

则.

对于A，当时，代入解析式可得，即点不为对称中心，所以A错误；

对于B，当时代入的解析式可得，所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；

对于C,令，得，

得的单调递减区间为，

当时，单调递减区间为，而，所以函数在上是减函数，故C正确；

对于D,当时，，由正弦函数的图像与性质可知，

，即值域为，故D错误.

故选:BC.

三、填空题

13．已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.

【答案】

【分析】根据扇形面积公式可求得答案.

【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.

故答案为.

【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.

14．函数，则______.

【答案】

【解析】首先求出，再将代入对应的解析式即可求解.

【详解】由，所以，

所以，

故答案为：

【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.

15．定义在R上的偶函数，当时，，当时，___________．

【答案】##.

【分析】根据已知，利用函数奇偶性、解析式求解.

【详解】当时，，

因为当时，，

所以，

又因为是定义在R上的偶函数，

所以，

所以当时，.

故答案为：.

16．已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由的取值范围，计算整体的范围，根据轴左侧的零点情况讨论列不等式组解得答案.

【详解】

因为且，

所以，

（1）若在轴左侧没有零点，则函数在上恰有三个零点，

则需化简得此时不等式组无解；

（2）若在轴左侧恰有个零点，则函数在上恰有三个零点，

则需化简得，解得；

（3）若在轴左侧恰有个零点，则函数在上恰有三个零点，

则需化简得，此时不等式组无解；

综上所述，的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：本题是根据函数在指定区间零点个数求参数范围问题，属于难题，解题的关键是根据自变量的取值范围，计算整体的取值范围，抓住一侧零点个数依次递增讨论列不等式组求解.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出集合，再根据列方程求解即可；

（2）根据分，讨论求解.

【详解】（1）由已知得

，

解得；

（2）

当时，，得

当时，或，解得或，

综合得或.

18．已知函数．

(1)求的定义域；

(2)判断函数的奇偶性并予以证明；

(3)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)奇函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）由对数函数的定义域求解即可；

（2）由奇偶性的定义求解即可；

（3）由对数的运算性质和对数函数的单调性求解即可.

【详解】（1）由解得，

所以函数的定义域为 .

（2）函数是奇函数

证明：因为，

所以函数是奇函数.

（3）由题意，

当时，解得，

所以所求不等式的解集是．

19．已知函数.

（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

（2）若α∈(0，π)，且f(－)＝，求tan(α＋)的值．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间；

（2）根据条件可以求出，代入即可计算tan(α＋).

【详解】（1）f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x

＝cos 2xsin 2x＋cos 4x

＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin(4x＋)，

∴f(x)的最小正周期T＝，

令，

得，

∴f(x)的单调递减区间为；

（2），，

∵α∈(0，π)，，

，故，

因此.

【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.

20．已知函数．

(1)设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；

(2)当时，解关于x的不等式．

【答案】(1)证明见详解.

(2)当时，；当时，；当时，.

【分析】（1）利用函数单调性的定义、作差法进行证明.

（2）根据已知变形，把问题转化为含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论进行求解.

【详解】（1）因为，所以，

对于任意的，且，

，

由于，且，所以，

故，所以在区间上单调递增；

（2）不等式可化简为，

因为，所以上式化简得，

令，解得或，

当时，即时，得；

当时，即时，得；

当时，即时，得；

综上，当时，；

当时，；

当时，.

21．“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数的图象，且图象的最高点为．中间部分是长为1千米的直线段，且．新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧．

（1）试确定的值；

（2）若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点Q落在半径上，另一顶点P落在圆弧上．记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？

【答案】（1），；（2）当时，面积最大为.

【分析】（1）先根据周期计算出的值，然后利用图象过点求解出的值；

（2）先求解出点坐标并计算出长度，然后设出点坐标并表示出的大小，根据矩形面积公式结合三角恒等变换的化简以及正弦函数的性质求解出最大面积以及对应的值.

【详解】（1）∵，∴，∴．

图象过，∴，又，∴．

（2）由（1）知，交y轴于，又，

∴．

又，∴，，

∴

又，∴时，此时矩形面积最大为．

22．已知为偶函数，为奇函数，且满足.

（1）求、；

（2）若方程有解，求实数的取值范围；

（3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）由已知条件可得出、的等式组，由此可解得这两个函数的解析式；

（2）令，分析可知函数在上有零点，分、两种情况讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；

（3）作出函数的图象，分析可知方程有两个不等的实根，从而方程有且只有一个根，数形结合可求得实数的取值范围.

【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，

即，所以，，解得；

（2）由可得，

令，当且仅当时，等号成立，则，

故有，其中，

令，其中，则函数在上有零点，

①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；

②当时，即当时，则有，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是；

（3），作出函数的图象如下图所示：

由可得，

由图可知，方程有两个不等的实根，

由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.

因此，实数的取值范围是.