2022-2023学年广东省广州市秀全中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市秀全中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线方程求出斜率，利用倾斜角的正切值为斜率，可得结果．

【详解】设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．

直线化为y＝，斜率k=tanθ=-，

∴θ=150°，

故选D．

【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．

2．在数列中，若，，则（    ）

A．16 B．32 C．64 D．128

【答案】C

【分析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.

【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，

故.

故选：C

3．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（    ）

A．12 B．32 C．36 D．37

【答案】C

【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.

【详解】数列的前6项之和为.

故选：C.

4．圆与圆的位置关系为（    ）

A．外离 B．内切 C．相交 D．外切

【答案】D

【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.

【详解】因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆的圆心距为．因为圆的半径为，圆的半径为，所以圆心距等于两圆的半径和，故两圆外切．

故选：D.

5．已知，，则在上的投影向量为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.

【详解】解：因为，，所以，

所以，

所以在上的投影向量为

故选：C

6．△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由周长得AB+AC＝6，从而知A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围．

【详解】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，

∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2，

所以椭圆的标准方程是.

故选：A.

【点睛】结论点睛：本题考查求轨迹方程，解题方法是定义法，根据恬条件确定轨迹是椭圆，由已知确定焦距和实轴长，由此易得方程，解题还要注意隐藏条件，因此要去掉直线上的两点．否则出错．

7．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（    ）盏.

A．192 B．128 C．3 D．1

【答案】A

【分析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.

【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，

所以，解得，

所以这个塔的最底层有盏灯.

故选：A.

8．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.

【详解】由题知是等腰直角三角形，且，

，

又，，即，

，，即，

解得，

，.

故选：D.

二、多选题

9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】ABD

【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.

【详解】对于A，因为，故，，共面；

对于B，因为，故，，共面；

对于D，因为，故，，共面；

对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，

，故共面，

这与构成空间的一个基底矛盾，

故选：ABD

10．已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线C为圆 B．若曲线C为椭圆，且焦距为，则

C．当或时，曲线C为双曲线 D．当曲线C为双曲线时，焦距等于4

【答案】AC

【分析】写出当时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，可判断B；当或时，判断的正负，即可判断C; 当曲线C为双曲线时,确定k的范围，求得焦距，可判断D.

【详解】当时,方程为，即，表示圆，故A正确；

若曲线C为椭圆，且焦距为，

则当焦点在x轴上， 且 ，解得 ；

当焦点在y轴上， 且 ，解得 ,

故此时或，故B错误；

当时， ，曲线表示的是焦点位于y轴上的双曲线；

当时， ，曲线表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故C正确；

当曲线C为双曲线时， ，即或，

当时，，焦距 ，

当时，，焦距 ，

故D错误，

故选：AC

11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为

D．点与点到平面的距离相等

【答案】BC

【分析】(1)利用空间向量的坐标运算确定直线与直线的位置关系；(2)根据面面平行来证明线面平行；(3)先根据四点共面确定截面，进而算截面面积；(4)利用等体积法思想证明求解.

【详解】对于选项A，以点为坐标原点，

，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，.

从而，，

从而，所以直线与直线不垂直，选项错误；

对于选项，取的中点为，连接，，则易知，

又平面，平面，故平面，

又，平面，平面，

所以平面，

又，，平面，

故平面平面，

又平面，从而平面，选项正确；

对于选项C，连接，，如图所示，

∵正方体中，∴，，，四点共面，

∴四边形为平面截正方体所得的截面四边形，且截面四边形为梯形，

又由勾股定理可得，，，

∴梯形为等腰梯形，高为，

∴，选项C正确；

对于选项D，由于，，

而，，

∴，即，

点到平面的距离为点到平面的距离的2倍，选项错误.

故选:BC.

12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由题可得，利用累加法可得，由递推公式即可判断A，计算前5项的和可判断B，由即可判断C，利用裂项相消求和法可判断D.

【详解】因为，

，

，

……，

，

以上个式子累加可得，，

时也满足上式，故，

所以，故B正确；

由递推关系可知，故A正确；

当，，故C正确；

因为，

所以，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．为和的等差中项，则_____________.

【答案】

【分析】利用等差中项的定义可求得结果.

【详解】由等差中项的定义可得.

故答案为：.

14．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．则______________．

【答案】

【分析】利用空间向量的运算法则，将表示成，两边平方利用向量数量积即可求得.

【详解】由题意可知，

又，所以，

易知，所以

因为底面是正方形，所以，即

又，所以，

即，所以

故答案为：

15．已知点F是抛物线的焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为_________.

【答案】3

【分析】根据抛物线的定义可求最小值.

【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，

则，当且仅当共线时等号成立，

故的最小值为3，

故答案为：3.

16．设椭圆的左、右焦点分别为，则下列说法中正确的有_____________（填序号，漏填或错填都没有分）

（1）离心率

（2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为

（3）若P是椭圆C上的一点，则面积的最大值为1

（4）若P是椭圆C上的一点，且，则面积为

【答案】（2）（3）（4）

【分析】对于（1），由椭圆方程求出a、b、c的值，求得椭圆离心率即可判断；

对于（2），求出的周长即可判断；

对于（3），由三角形面积公式求出面积的最大值即可判断；

对于（4），方法1：直接应用椭圆中焦点三角形的面积公式：，（其中b为椭圆的短半轴长，为）；

方法2：由椭圆定义、余弦定理以及三角形面积公式可得的面积即可判断.

【详解】对于（1），由题意知，，，∴，

∴，故（1）错误；

对于（2），，故（2）正确；

对于（3），，当点P在短轴端点时取最大值，故（3）正确；

对于（4），方法1：；

方法2：∵，

∴在中，由余弦定理得：

解得：，

∴，故（4）正确.

故答案为：（2）（3）（4）.

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.

问题：等差数列的公差为，满足，________?

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和得到最小值时的值.

【答案】(1)选择条件见解析，

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，由，得到，选①，联立求解；选②，联立求解；选③，联立求解；

（2）由（1）知，令求解.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，

得，

选①，

得，

故，

∴.

选②，

得，得，

故，

∴.

选③，

，得，

故，

∴；

（2）由（1）知，，，

∴数列是递增等差数列.

由，得，

∴时，，

时，，

∴时，得到最小值.

18．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.

(1)求证：；

(2)当时，求点A到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和，再证明即可；

(2)利用空间向量的数量积求出平面的法向量，结合求点到面距离的向量法即可得出结果.

【详解】（1）证明：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

所以，

故，所以；

（2）当时，，，，，

则，，，

设是平面的法向量，则

由，解得，取，得，

设点A到平面的距离为，则，

所以点A到平面的距离为.

19．已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)过点作圆C的切线，求切线方程．

【答案】(1)．（或标准形式）

(2)或

【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；

（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．

【详解】（1）解：根据题意，因为圆过两点，，

设的中点为，则，

因为，所以的中垂线方程为，即

又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，

（2）解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切

当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）

由圆心C到切线的距离，可得

将代入（*），得切线方程为

综上，所求切线方程为或

20．已知数列的前项和为，，.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）中令和结合求得，然后中利用得数列的递推关系得数列为等比数列；

（2）由（1）求得再得出，利用裂项相消法求得和．

【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，，即，，

解得，，当时，，与联立，

得，所以.

又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）得，所以，，

所以，

所以.

21．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.

(1)求证：平面；

(2)若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明；

（2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.

【详解】（1）因为底面，、底面，所以，，

所以，，

所以矩形是正方形，所以，

因为，所以平面

（2）由（1）知、、两两垂直，建系如图，

，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，

，，，，1，，，2，，

设平面的法向量为，

则，，即

所以可取，0，，

所以直线与平面所成的角的正弦值为．

22．如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为.

(1)求抛物线的方程；

(2)求的面积（O为坐标系原点）.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）由已知得准线方程为：，由此可求得抛物线的方程；

（2）设，代入抛物线的方程作差得，再由M是的中点，求得，由此求得直线的方程，与抛物线的方程联立可求得弦长AB，由三角形的面积公式可求得答案.

【详解】（1）解：点在准线上，所以准线方程为：，

则，解得，所以抛物线的方程为：；

（2）解：设，由在抛物线上，

所以，则，

又，所以点M纵坐标为是的中点，所以，

所以，即，又知焦点F坐标为，则直线的方程为：，

联立抛物线的方程，得，解得或，所以，

所以.