2021-2022学年上海市华东理工大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版） (1)

2021-2022学年上海市华东理工大学附属中学高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则____________.

【答案】

【分析】根据集合交集的定义计算．

【详解】由已知．

故答案为：．

2．函数的定义域为_____

【答案】

【分析】由题意得，解出即可得答案.

【详解】由题意得，解得，故定义域为.

故答案为：

3．若关于的不等式的解集为，则实数的值是_____

【答案】

【分析】由条件可得方程的两根为，然后根据韦达定理可得答案.

【详解】因为不等式的解集为，

所以方程的两根为，

由韦达定理得，所以.

故答案为：

4．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____

【答案】

【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

因为在区间上是增函数，则，解得.

故答案为：.

5．已知函数的图像过点，则_____

【答案】2

【分析】根据条件求出的值即可.

【详解】由题意得，所以，所以，所以.

故答案为：2

6．已知，则“”是“”的_____条件.（选填：“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）

【答案】必要非充分

【分析】求出分式不等式的解集后即可得到答案.

【详解】的解集为，根据，故为必要非充分条件.

故答案为：必要非充分

7．已知，则的值等于_____（用表示）.

【答案】

【分析】由指数式与对数式的互化，结合对数的运算求解即可.

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：

8．函数的最大值是_____

【答案】

【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案.

【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值，

所以当时，.

故答案为：

9．已知，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是____

【答案】

【分析】根据偶函数的知识解出的值即可.

【详解】由题意得，所以.

故答案为：

10．已知，则的最小值为________________

【答案】

【详解】，则，当且仅当，等号成立，所以的最小值为故答案为.

【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

11．已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．

【答案】

【分析】根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可.

【详解】由幂函数与轴及轴均无交点，

得，

解得，

又，即，

的图像关于轴对称，

即函数为偶函数，故为偶数，

所以，

故答案为：.

12．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：

①；②；③；

具有性质的函数为_____（填写所以正确答案的序号）

【答案】①③

【分析】对于①取验证；对于②直接代入化简求值；

对于③取验证.

【详解】①当时，得

，，则成立；

②假设成立，则，

此时矛盾，故不成立；

③当时，

，，则成立.

故具有性质的函数为①③.

故答案为：①③.

二、单选题

13．下列函数中，是奇函数又是严格增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】逐一分析每个函数的性质，利用排除法选出答案.

【详解】A选项，记，，不是奇函数，A选项错误；

B选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，B选项正确；

C选项，在上递减，不符题意，C选项错误；

D选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，故是严格递减的奇函数，D选项错误.

故选：B

14．如果，那么下列不等式中错误的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐一分析每一个选项判断得解.

【详解】对于选项A,根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；

对于选项B,因为，所以，所以该选项正确；

对于选项C,当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；

对于选项D, 所以，所以该选项正确.

故选C

【点睛】本题主要考查不等式的性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．函数（且）在R上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数单调递减，得到每段都单调递减，并注意分界点左右的函数值大小，列出不等式组求解，即可得出结果.

【详解】因为函数（且）在R上单调递减，

所以，解得，

即实数的取值范围是.

故选：D.

16．对于函数，有以下3个命题：

（1）对于任意的实数为偶函数；（2）存在实数，使得有两个零点；（3）的最小值为.

其中正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义可判断（1），举例可判断（2），求出的单调性可判断（3）.

【详解】因为的定义域为，，故（1）成立；

当时，，由（1）得，

因为在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为是偶函数，所以在上单调递减，

所以恰有两个零点，

故存在实数，使得有两个零点，所以（2）成立；

当时，，

因为在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为是偶函数，所以在上单调递减，

所以，所以（3）成立，

故选：D.

三、解答题

17．已知集合.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别先求出集合，直接根据交集的运算求解；

（2）根据集合的结果，结合，利用并集的结果求参数范围.

【详解】（1），；

时，，故

（2）由于，故，解得，所以实数的取值范围为.

18．已知是定义域为的奇函数，且当，（其中为常数，且）.

(1)求的值；

(2)求函数的解析式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）函数在处有定义，利用奇函数性质求解即可；

（2）根据对称性，设，利用正数区间上函数的解析式和求解即可.

【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，即.

（2）设，则，所以，

所以的解析式为

19．已知函数

(1)判断函数的单调性，并证明；

(2)用函数观点解不等式：.

【答案】(1)增函数，证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数单调性的定义即得；

（2）由题可得，结合函数的单调性即得.

【详解】（1）任取，则

，

因为，

所以，

所以，即，

所以在区间上是严格增函数；

（2）由（1）得在区间上是严格增函数，且，

所以由，可得，

所以的解集为.

20．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；

(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】(1)

(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.

【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2) 分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.

【详解】（1）当时，；

当时，.

所以，；

（2）当时，，

当时，y取得最大值，最大值为850万元；

当时，，

当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.

综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.

21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.

（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；

（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；

（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；

（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；

（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.

【详解】（1）由“平均值函数”的定义，

存在，满足，     

因此是区间上的“平均值函数”.       

（2）若函数是区间上的“平均值函数”，

则存在，满足，

即关于的方程在区间内有解.      

参变分离，将方程转化为，        

函数的值域为，

因此.                                  

（3）若函数是区间上的“平均

值函数”，且是函数的一个均值点，

则，

即，

得到，其中，          

满足条件的解为，

即所有满足条件的有序数对为.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解.