2021-2022学年上海市华东师范大学第三附属中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市华东师范大学第三附属中学高一下学期期末数学试题

一、填空题

1．已知扇形的圆心角为2,面积为4,则扇形的周长为_________.

【答案】8

【分析】根据面积得到，再计算周长得到答案.

【详解】，，周长为

故答案为：

【点睛】本题考查了扇形周长的计算，意在考查学生的计算能力.

2．已知余弦函数过点，则的值为__________．

【答案】

【分析】将代入余弦函数即可求解.

【详解】设余弦函数为，

由函数过点可得.

故答案为：.

3．角终边上一点，则___________.

【答案】

【分析】首先根据三角函数定义求出正弦值以及正切值，再对式子利用诱导公式化简即可.

【详解】因为角终边上一点，根据三角函数定义，可知， .而根据诱导公式、，

，则

将函数值代入可得.

故答案为：

4．设向量，，且，则实数n的值是__________.

【答案】

【分析】由向量平行的坐标表示列方程，即可求参数n.

【详解】由，，，则有，解得.

故答案为：2.

5．已知函数的最小正周期为，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求的值.

【详解】解：函数的最小正周期为，所以.

故答案为：.

6．函数的单调递减区间是___________.

【答案】.

【分析】由，可求得函数的单调递减区间.

【详解】由，

得，

得，

所以函数的单调递减区间为，

故答案为：.

7．“”是“，”的______________条件；

【答案】必要非充分

【分析】根据得出，，分析，与，的关系即可.

【详解】解：，则，.

，包含，.

所以，是，的必要非充分条件.

故答案为必要非充分.

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查正切函数已知值求角，属于基础题.

8．某学校有学生1485人，教师132人，职工33人.为有效预防甲型H1N1流感，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取___________人.

【答案】

【分析】根据分层抽样的性质，先求出抽样比例，进而可求出结果.

【详解】由题意可知：分层抽样的抽样比为，

所以学生中应抽取，

故答案为：.

9．已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的数量投影为______．

【答案】3

【分析】求出以及，然后结合投影的概念即可直接求解.

【详解】因为向量与的夹角为60°，，，

所以

，

则在方向上的数量投影为.

故答案为：3.

10．定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是___________.

【答案】##0.15

【分析】根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概型计算公式，可得答案.

【详解】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数为，

其中“”型三位数的有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，

则概率为.

故答案为：.

11．已知复数，（为实数），并且，则实数_________．

【答案】

【分析】利用复数相等可得出，利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得实数的值.

【详解】已知复数，（为实数），并且，则，

所以，.

故答案为：.

【点睛】易错点点睛：已知，求关于、的齐次式的值，应注意以下两点：

（1）一定是关于、的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；

（2）因为，所以可除以，这样可将被求式化为关于的表达式，然后代入的值，从而完成被求式的求值.

12．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，若，则的最小值为___________

【答案】

【分析】先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次函数最值的求法即得结果.

【详解】依题意，由，知，即，

所以，得，则，即.

设，则，得，

，

，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函数的最值问题，突破难点.

二、单选题

13．方程有一个根为，求的值为（    ）

A．5 B．3 C．4 D．2

【答案】A

【分析】将代入方程，得出的值.

【详解】由可得，.

故选：A

14．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，

即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，

则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=

故选B.

15．已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．4

【答案】C

【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.

【详解】因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，

所以

当且仅当，即时等号成立．

故选：C

【点睛】（1）A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则有；

（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：

①“一正”就是各项必须为正数；

②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

16．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ）

A．(1，9] B．(3，9]

C．(5，9] D．(7，9]

【答案】D

【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.

【详解】因为，

由正弦定理可得，

则有，

由的内角为锐角，

可得，

，

由余弦定理可得

因此有

故选：D.

【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

三、解答题

17．设复数，其中i为虚数单位，．

（1）若是纯虚数，求实数a的值；

（2）若，求复数的模．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）计算出，再由复数的分类求解；

（2）计算出，然后由模的定义得结论．

【详解】（1）由题意，它为纯虚数，

则，解得；

（2）若，则，所以．

18．已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）在中，，，分别为内角的对边，若且，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）6.

【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后根据正弦型函数的性质进行求解即可；

（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.

【详解】解：（1）

.    

由，得，

可知函数的值域为.    

（2）由，得，因为，所以，

∴，故.    

∵，，的面积为，

∴，

故.    

又，即，即，

故，

∴的周长为.

19．某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出，测角仪测得角．

（1）求的长；

（2）因地理条件限制，不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形面积最大，求四边形面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）在中利用余弦定理即可求出；

（2）在中利用余弦定理结合基本不等式可得，即可求出，进而求出四边形面积的最大值.

【详解】（1）由题意可得，在中，由余弦定理可得：

，

，故的长为；

（2）在中，，

则由余弦定理可得，

则，

当且仅当等号成立，

，

则，

故四边形面积的最大值为.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确利用余弦定理结合基本不等式求解三角形.

20．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.

（1）设函数，试求的相伴特征向量；

（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；

（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点.

【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.

【详解】解：（1）

的相伴特征向量.

（2）向量的相伴函数为，

，.

，，.

.

（3）由为的相伴特征向量知：

.

所以.

设，，

，，

又，.

，

，，

.

又，

当且仅当时，和同时等于，这时式成立.

在图像上存在点，使得.

【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.

21．已知向量，，函数，，.

（1）当时，求的值；

（2）若的最小值为，求实数的值；

（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可；

（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；

（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.

【详解】解：（1），

当时，，

则；

（2）∵，

∴，

则，

令，则，

则，对称轴，

① 当，即时，

当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，

② 当，即时，

当时，函数取得最小值，此时最小值，得，

③ 当，即时，

当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，

综上若的最小值为，则实数；

（3）令，得或，

∴方程或在上有四个不同的实根，

则，得，则，

即实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.