2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期

期末数学试题

一、单选题

1．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】由公理2的推论即可得到答案.

【详解】由公理2的推论:

过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,

可得在同一平面,

故充分条件成立;

由公理2的推论：

过两条平行直线,有且只有一个平面,

可得,

当时,

在同一个平面上,

但中无三点共线,

故必要条件不成立;

故选:A

【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;

公理2的三个推论：

经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;

经过两条平行直线,有且只有一个平面;

经过两条相交直线,有且只有一个平面;

2．在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值， 则动点的轨迹是（       ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】B

【解析】把条件转化为与圆锥的轴重合，面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹后即可求解.

【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与所成角为定值，所以面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹.根据题意，不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆. 面不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算与平面所成角为，即时，轨迹为抛物线，时，轨迹为椭圆， ，所以轨迹为椭圆.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.

3．在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.

【详解】过点作于点，连接，

因为四棱柱为正方体，所以易得平面，

因此即为直线与平面所成的角，

设正方体棱长为，设，则，，

因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以，

因此，

所以，

因为，所以，则，

因此.

故选：C.

【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型.

4．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：为四叶玫瑰线.

①方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限；

②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2；

③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；

④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).

则上述结论中正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】对于①，由判断，对于②，利用基本不等式可判断，对于③，以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成的面积进行比较即可，对于④，将和联立，求解出两曲线的切点，从而可判断

【详解】对于①，由，得异号，方程(xy<0)关于原点及y=x对称，

所以方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限，所以①正确，

对于②，因为，所以，所以，所以，所以由曲线的对称性可知曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2，所以②正确，

对于③，由②可知曲线C上到原点的距离不超过2，而以为圆心，2为半径的圆的面积为，所以曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于4π，所以③错误，

对于④，将和联立，解得，所以可得圆与曲线C相切于点，，，，而点（1，1）不满足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它象限也不经过任何整数点，所以曲线C上只有1个整点（0，0），所以④错误，

故选：B

二、填空题

5．若直线与平行，则实数________.

【答案】

【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】因为，则，解得.

故答案为：.

6．若圆被直线平分，则的值为__________．

【答案】；

【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．

【详解】解：

的圆心．

圆被直线平分，可知直线经过圆的圆心，

可得

解得；

故答案为：1．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．

7．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________．

【答案】；

【分析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径,利用点到直线距离公式解出半径,即可得到圆的方程

【详解】由题,设圆心到直线的距离为,

所以,

因为圆与直线相切,则,

所以圆的方程为,

故答案为：

【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程,考查点到直线距离公式的应用

8．已知球的表面积为,则该球的体积为______.

【答案】

【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．

【详解】设球半径为，

∵球的表面积为，

∴，

∴，

∴该球的体积为．

故答案为．

【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．

9．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线与的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线与所成角的大小．

【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：

在长方体中，

，，

，，，，

，，

，

异面直线与所成角的大小是．

故答案为：．

10．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.

【答案】2

【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，

,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.

【详解】解：因为

，

又，

所以，，

则.

故答案为：2.

【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.

11．给出下列命题：

①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；

③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；

④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.

其中所有正确命题的序号为________.

【答案】②③

【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④．

【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；

②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；

③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确．

④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.

其中所有正确命题的序号为②③．

故答案为：②③．

12．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左右焦点，也是C2的左右焦点，并且六边形是正六边形.若椭圆C1的方程为，则双曲线方程为______.

【答案】

【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，然后根据为正六边形求得点的坐标，即点在双曲线上，然后解出方程即可

【详解】设双曲线的方程为：

根据椭圆的方程可得：

又为正六边形，则点的坐标为：

则点在双曲线上，可得：

又

解得：

故答案为：

13．类比教材中推导球的体积公式的方法，试计算椭圆T：绕y轴旋转一周后所形成的旋转体(我们称为橄榄球)的体积为________.

【答案】

【分析】类比球的体积公式的方法，将橄榄球细分为无数个小圆柱体叠加起来

【详解】设椭圆的方程为：，则令（根据对称性，我们只需算出轴上半部分的体积）

不妨设，按照平均分为等份，则每一等份都是相同高度的圆柱体，

第1个圆柱体的体积的半径为：

第2个圆柱体的体积的半径为：

第个圆柱体的体积的半径为：

则第个圆柱体的体积为：

化简可得：

则有：

根据

可得：

当时，则有：

故椭圆绕着轴旋转一周后的体积为：

而题意中，

则 椭圆绕着轴旋转一周后的体积为

故答案为：

14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则__________.

【答案】

【分析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值.

【详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示：

在双曲线中，，，则，即点、，

因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且，

因为，故、、三点共线，

所以，，故，

由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、，

联立，可得，

所以，，可得，

由韦达定理可得，，可得，

，

整理可得，即，解得或（舍），

所以，，解得.

故答案为：.

三、解答题

15．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为.

(1)求圆锥SO的侧面积；

(2)若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可

（2）利用三角形的中位线性质，先求出二面角，然后利用二面角与二面角的互补关系即可求得

(1)

根据母线SA与底面所成的角为，且底面圆的半径

可得：

则圆锥的侧面积为：

(2)

如图所示，过点作底面的垂线交于，连接，则为的中位线

则有：，，

易知，则，

又直径AB与直径CD垂直，则

则有：为二面角

可得：

又二面角与二面角互为补角，则二面角的余弦值为

故二面角大小为

16．已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图.

（1）求证：平面；

（2）求直线FH与平面所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析 （2）

【分析】（1）连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）建立空间直角坐标，求得的坐标，平面PBC一个法向量，代入公式求解.

【详解】（1）如图所示：

连接CH，延长交PD于点K，连接BK，

因为设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，

所以H为CK的中点，

所以，又平面平面，

所以平面；

（2）建立如图所示直角坐标系

则，

所以，

设平面PBC一个法向量为：，

则，有，

令，，

设直线FH与平面所成角为，

所以，

因为，

所以.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.

17．已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点.

(1)若直线l的方程为，求线段AB的长；

(2)若直线l经过点P(-1，0)，点A关于x轴的对称点为A'，求证：A'、F、B三点共线.

【答案】(1)8；

(2)证明见解析.

【分析】（1）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及弦长公式求线段AB的长；

（2）设为，联立抛物线由韦达定理可得，，应用两点式判断是否为0即可证结论.

(1)

由题设，联立直线与抛物线方程可得，则，，

∴，，

所以.

(2)

由题设，，又直线l经过点P(-1,0)，此时直线斜率必存在且不为0，可设为，

联立抛物线得：，则，，

又，故，而，

所以，

所以A'、F、B三点共线.

18．曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为､右交点为.

（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；

（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.

（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.

【答案】（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.

【分析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.

【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，

即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,

联立两个曲线，得，，即，

当焦点是右焦点时，

线段的方程

当焦点时左焦点时，

，，线段的方程

（2），

假设点在曲线上

单调递增

∴

所以点不可能在曲线上

所以点只可能在曲线上，根据得

可以得到

当左焦点，，同样这样的使得不存在

所以这样的点一共2个

（3）设直线方程，圆方程为

直线与圆相切，所以

，

，

根据得到

补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，

∵，

当，存在，否则不存在

这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时

存在不存在.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.