2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．观察下面数阵，

则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（  ）

A．545 B．547 C．549 D．551

【答案】C

【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据以上特征，即可求解.

【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，

所以前行共有个数，所以前8行共255个数.

因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，

从左往右数的第20个数是.

故选:C.

【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律是解题的关键，属于中档题.

2．在数列中，，，则的值为（    ）

A．52 B．51 C．50 D．49

【答案】A

【分析】由题判断出函数为等差数列，即可求出.

【详解】由题意，数列满足，即，

又由，所以数列为 首项为2，公差为的等差数列，

所以.

故选：A．

3．已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（    ）

A．398 B．388

C．189 D．199

【答案】C

【分析】数列是等差数列，，其中公差，由 是和的等比中项，可得，解得即可得出．

【详解】解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，

，

化为，．

所以，

则．

故选：C．

4．已知数列是等差数列，若，，则公差（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用等差数列的下标和性质即可求解.

【详解】∵，∴．

∵，∴，

∴公差．

故选：D

5．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.

【详解】是以为首项，为公比的等比数列，，

是以为首项，为公差的等差数列，，，

.

故选：A.

6．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用在点处的切线方程为可得然后利用导数的几何意义求切线斜率即可.

【详解】因为，所以．又曲线在点处的切线方程为，所以，所以，即曲线在点处的切线的斜率为4．

故选：A.

7．用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合题意直接代入当n=1时，即可得到结果.

【详解】由题意，当时，

左边

故选：C

8．求函数零点的个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】可根据函数求导，根据导函数求得函数的极大值与极小值，再根据函数特点判断零点个数

【详解】,

在上单调递增,在上单调递减,在上上单调递增,

所以当时,取到极大值,

所以当时,取到极小值,

所以函数零点的个数为3

所以C选项是正确的

【点睛】三次函数问题一般通过求导解决函数的增减性问题和零点问题．

9．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用导数求得函数的单调性与最值，求解，转化为

或，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.

【详解】设，可得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，

由方程可化为，

解得或，

画出函数的图象，如图所示，

要使得关于的方程有5个不同的实数根，

则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故选：A

【点睛】对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.

10．已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象与导函数图象之间的关系判断．

【详解】由图象知，递增，但函数值的变化量随着的增大而减少，即图象的切线斜率随着的增大而减小，导函数是递减的，

因此．

故选：A．

11．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的定义域，利用导数可求得函数的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，则，

由，可得，解得，

因此，函数的单调递减区间为.

故选：A.

12．函数 的大致图象是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．

【详解】函数y=的导数为，

令y′=0，得x=，

时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．

∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．

且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C，

故选A．

【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，

二、填空题

13．我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”则分钱问题中的人数为________．

【答案】195

【解析】根据题意列出关系式求解即可.

【详解】解：依题意得，初次分钱时，每人所得钱数依次构成首项为3，公差为1的等差数列，

设人数为，

则总钱数为，

平均分时每人得100，则总钱数为，可得，

解得：，

即分钱问题中的人数为195．

故答案为：195.

14．在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为______.

【答案】

【分析】设该等比数列的公比为，由等比数列的通项公式与等求和公式可得出关于、的方程组，即可解得的值，由此可得出结论.

【详解】设此等比数列的公比为，则，故此数列共有项.

故答案为：.

15．已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则 ________.

【答案】

【分析】由导数的几何意义可知，故先求出，然后利用求出的值.

【详解】由图可知，曲线在处切线的斜率等于，

∴.

∵，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的计算及导数的几何意义，较简单. 解答时牢记曲线在某点处的切线斜率等于.

16．已知函数，若正实数满足，则的最小值为______________.

【答案】1

【分析】由知为奇函数,求导分析为增函数,故利用

可以算得的关系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可.

【详解】,故为奇函数,又,所以为增函数.又,

故,所以

,当且仅当时取得最小值1.

故答案为1

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.

三、解答题

17．已知数列中，，数列满足.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列中的最大项和最小项.

【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为，最大项为.

【解析】（1）利用等差数列的定义，结合，把bn+1和bn用an+1和an表示后整理即可得到结论；

（2）求出数列{bn}的通项公式，则数列{an}的通项公式可求，然后利用数列的函数特性可求其最大项和最小项．

【详解】（1）因为，且，

所以，且，

又，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列.

（2）由（1）知，则.

设，则在区间和上为减函数，且，

所以当时，取得最小值为-1，当时，取得最大值为3.

故数列中的最小项为，最大项为.

18．已知数列中，其前项和为，且对任意，都有．等比数列中，，．

（1）求数列、的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）由已知条件可得，根据可得数列是等差数列，故可得其通项公式，根据等比数列的性质可求出公比继而可求出的通项公式；（2）根据等比数列前项和公式可得前项和，分为为奇数和为偶数，利用并项求和可求得的前项和，进而可得结果.

试题解析：（1）由得，……………①

当时，，………………②

由①－②得，，

即，整理得，

∵，∴，

由已知得，当时，，即，解得．

故数列是首项为1，公差为2的等差数列．

∴．

设等比数列的公比为，则，所以．

故，即，解得．

故．

（2）记数列的前项和为，数列的前项和为．

则．

当为偶数时，奇数项与偶数项各有项．

则

；

当为奇数时，奇数项为项，偶数项为项．

则

．

所以．

点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.

19．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，.

（1）求等比数列{an}的公比q；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）结合等比数列前n项和的性质以及已知条件，解方程即可求出结果；

（2）求出，即可判断数列{}是首项为1，公比为的等比数列，然后利用等比数列的求和公式即可求解.

【详解】（1）由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝，.

（2）由（1），得an＝(－1)×，所以，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故＝＝.

20．已知拋物线上一点，求：

(1)点P处的切线的斜率；

(2)点P处的切线方程．

【答案】(1)0

(2)

【分析】求出函数的导数代入该点坐标即可求出斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即可得该点切线方程.

【详解】（1）

将点的代入，

所以点P处的切线的斜率为0；

（2）由（1）可知，点P处的切线的斜率，

根据直线的点斜式方程，点P处的切线为，得.

21．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝．

又f′(x)＝a＋，

于是，解得

故f(x)＝x－．

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．

曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

22．设函数.

（I）讨论函数的单调性；

（II）当时，，求实数的取值范围.

【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.

（II）.

【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，.

试题解析： 解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex

令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+

当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0

所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增

(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex

当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，

故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当

综上，a的取值范围[1，+∞）

点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.