2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接由求解即可.

【详解】由可得.

故选：D.

2．已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．

【详解】由得

，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．

故选D．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）. 考虑以下结论：

①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；

②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；

③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；

④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（  ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【分析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可．

【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，

标准差为

由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，

标准差为

则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，

乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，

故正确的是①④，

故选：B．

4．菱形的边长为2，且，（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据向量数量积计算公式可得.

【详解】菱形的边长为2，且，的夹角为，.

故选：C.

5．已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得，求出，再由该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，可求出，由直线是该函数图象的一条对称轴，可得，从而线结合已知条件可求出，进而可求得函数的解析式

【详解】因为函数的最大值为4，最小值为0，

所以，解得，

因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，

所以，所以，

所以，得，

所以，

因为直线是该函数图象的一条对称轴，

所以，得，

因为，所以，

所以，

故选：B

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可.

【详解】设，

易知定义域为R,关于原点对称，因为，

所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C.

当时，，

当时，，因此排除选项D，

故选：A

7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论中正确的是  

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个相交平面内的直线也可以平行，所以B不正确；垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直，也可能平行或相交，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确.

【解析】空间直线、平面间的位置关系.

【详解】请在此输入详解！

8．袋子中有四个小球，分别写有“文､明､中､国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文､明､中､国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用古典概型的概率公式求解.

【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：

，

其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，

所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，

故选：A

二、多选题

9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（    ）

A．复数的模为 B．复数的共轭复数为

C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限

【答案】ABC

【分析】利用可将化简，求出复数，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几何意义求解即可.

【详解】，

，，z的虚部为，

故选ABC．

10．已知定义在R上的偶函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是（    ）

A．4是函数的一个周期

B．直线，是函数的一条对称轴

C．函数在区间上单调递增

D．函数在区间上有26个零点

【答案】ABD

【分析】根据函数的奇偶性和条件，得到，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．

【详解】偶函数，满足，令得，即，得，则，即函数是周期为4的周期函数，故A正确；

是偶函数，图像关于y轴即对称，函数的周期是4，，是函数图像的一条对称轴，故B正确；

在区间上是增函数，在区间上是减函数，结合周期性易知在区间上是减函数，故C错误；

，在区间上是减函数，在区间上是增函数，即函数在内只有-2,2这两个零点，

结合周期性可知函数在内有26个零点，故D正确.

故选：ABD.

11．如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（    ）

A．直线与直线是相交直线

B．直线与直线所成角不随着E点位置的变化而变化

C．三角形可能是钝角三角形

D．三棱锥的体积随着E点位置的变化而变化

【答案】AB

【分析】证明中点与EF中点重合判断A；证明平面判断B；设，计算，借助余弦定理判断C；过EF中点及AC的平面截三棱锥为两个等体积的三棱锥计算判断D作答.

【详解】在正四棱柱中，令，连，如图，

在矩形中，，而，分别是中点，则，

同理，即O是的中点，在矩形中，与互相平分，

即线段EF与的中点重合，所以直线与直线是相交直线，A正确；

因，，平面，则平面，

而平面，于是得，即直线与直线所成角为，B正确；

令，则，设，则，

因此，，

因，，

，即都不是钝角，C不正确；

连CO，由正四棱柱的结构特征知，点E，F到平面的距离恒为，

三棱锥的体积，而是确定的三角形，面积为定值，

所以三棱锥的体积是定值，D不正确.

故选：AB

【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；

若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形.

12．已知函数，则 （    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递减

D．可以改写成

【答案】BC

【分析】将函数解析式变形为，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；由余弦型函数的对称性可判断B选项；利用余弦型函数的单调性可判断C选项；利用诱导公式可判断D选项.

【详解】因为.

对于A选项，函数的最小正周期为，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，当时，，

所以，函数在区间上单调递减，C对；

对于D选项，，D错.

故选：BC.

三、填空题

13．已知函数为奇函数，，若当时，，则______．

【答案】

【分析】得到是以周期为的周期函数，再根据为奇函数且时，求解.

【详解】解：因为，

即是以周期为的周期函数．

为奇函数且当时，，

，

当时，，

所以，

故答案为：

14．命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据命题为真可转化为方程有2个不等实根，利用判别式求解即可.

【详解】因为命题“”为真命题，

所以方程有2不等实根，

故，解得或，

故答案为：

15．已知向量，，，若，则___________.

【答案】5

【分析】根据数量积的坐标运算，结合向量的夹角公式求解即可

【详解】，，即，所以，解得.

故答案为：5

16．如图，斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，，点分别是线段的中点，则异面直线和所成角的余弦值为___________；

【答案】

【分析】连接，证明，再在中利用余弦定理求解作答.

【详解】在斜三棱柱中，连接，如图，

因点分别是对边的中点，则，，

则有四边形是平行四边形，，是异面直线和所成的角或其补角，

因,且，则都是正三角形，

于是得，在正中，，

在中由余弦定理得：，

所以异面直线和所成角的余弦值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知的内角、、的对边分别为、、，设，且．

(1)求及；

(2)若，求边上的高．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，利用二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式可求得边上的高．

【详解】（1）解：由及正弦定理可得

，

因为，则，所以，，

因为，，所以，，则，

所以，.

（2）解：由（1）知，，．由余弦定理得

即，所以．

设边上的高为，所以，．

因为，即，解得，即边上的高为．

18．在平面直角坐标系中，已知点．

(1)若，求的值；

(2)若，设实数满足，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用共线向量定理的坐标形式即可求解（2）利用向量垂直的充要条件的坐标形式即可求解

【详解】（1）因为，，

所以，

（2）若，则，

19．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；

(2)与的长；

(3)此三棱柱的表面积．

【答案】(1)；

(2)；；

(3)

【分析】（1）先确定该三棱柱的侧面展开图的形状，再求其面积即可；

（2）利用平面内两点之间线段最短列方程即可求得的长，利用三角形相似比即可求得的长；

（3）利用棱柱全面积求法去求此三棱柱的表面积即可解决．

【详解】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，

其对角线长为．

（2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到

点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线．

设，即，

在Rt中，由勾股定理得，

解得，或（舍）

所以，又因为，

所以．

（3）此三棱柱的表面积．

20．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；

(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；

(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．

【答案】(1)人

(2)平均数为，中位数为

(3)

【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得a，再根据各层的人数比例抽取；

（2）利用平均数和中位数公式求解；

（3）法一，分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解；法二：利用对立事件的概率求解.

【详解】（1）解：由，

得，

因为（人），（人）．

所以不高于50分的抽（人）；

（2）平均数．

因为在内共有80人，则中位数位于内，

则中位数为；

（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，

则．

答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．

法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A

答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．

21．已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断的单调性，并证明；

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

(3)或

【分析】（1）由求出，再验证此时的为奇函数即可；

（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；

（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.

【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，

此时，，所以为奇函数，

故.

（2）由（1）知，为上的增函数，

证明：任取，且，

则，

因为，所以，即，又，

所以，即，

根据增函数的定义可得为上的增函数.

（3）由得，

因为为奇函数，所以，

因为为增函数，所以，即，

所以或.

22．如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形.，F为CD的中点.

(1)证明：平面BCE；

(2)证明：平面平面CDE；

(3)求直线AD和平面BCE所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）取CE中点M，连结MF，BM，先利用线面垂直的性质定理证得，从而证得四边形ABMF是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可证得结论.（2）先利用线面垂直的性质定理证得，然后利用面面垂直的判定定理即可证得结论.（3）取线段DE的中点P，连接BP，先证得直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，然后解三角形即可求解.

【详解】（1）取CE中点M，连结MF，BM，

MF是的中位线，∴，，

∵平面ACD，平面ACD，

∴，又，∴，，

∴四边形ABMF是平行四边形，

∴，∵平面BCE，平面BCE，

∴平面BCE；

（2）∵平面ACD，平面ACD，

∴，∴四边形ABMF是矩形，∴.

∵是正三角形，F是CD中点，∴.

∵，∴，

∵，平面CDE，平面CDE，

∴平面CDE，∵平面BCE，

∴平面平面CDE；

（3）取线段DE的中点P，连接BP，

∵且，

∴四边形ABPD是平行四边形，

∴，

则直线AD和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，

过点P作，垂足为N，连结BN，

由（2）知平面平面CDE，又平面平面，

∴平面BCE，∴为直线BP和平面BCE所成角的平面角.

设，则，

∵平面ACD，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵四边形ABPD为平行四边形，

∴，

∴，

故直线AD和平面BCE所成的角正弦值为.