2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．设集合，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得，然后求得.

【详解】.

故选：A

2．与-2022°终边相同的最小正角是（    ）

A．138° B．132° C．58° D．42°

【答案】A

【分析】根据任意角的周期性，将-2022°化为，即可确定最小正角.

【详解】由-2022°，

所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.

故选：A

3．命题“,”的否定是

A．, B．,

C．, D．,

【答案】D

【解析】直接利用特称命题的否定为全称命题的定义，即可得答案.

【详解】∵命题“,”，

∴命题的否定为：,.

故选：D.

【点睛】本题考查特称命题的否定，考查对概念的理解与应用，求解时注意将存在改成任意，同时对结论进行否定.

4．方程的解所在区间是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.

【详解】∵,

∴,,，,∴,

∵函数的图象是连续的,

∴函数的零点所在的区间是.

故选C

【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和正负性，运用排除法进行判断即可.

【详解】因为，

所以函数是偶函数，其图象关于纵轴对称，故排除C、D两个选项；

显然，故排除A，

故选：B

6．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：）

A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h

【答案】C

【分析】利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.

【详解】解：由题意得：

设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为

故，

故该新药对病人有疗效的时长大约为

故选：C

7．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.

【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.

而，，

所以的取值范围为.

【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.

8．已知函数，若（其中．），则的最小值为（    ）．

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.

【详解】,

由，

，

即，

，当且仅当，即时等号成立，

故选：B

二、多选题

9．下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】依次判断函数的周期和奇偶性得到答案.

【详解】A. ，函数周期为，非奇非偶函数，排除；

B. ，函数周期为，偶函数，满足；

C. ，函数周期为，偶函数，排除；

D. ，函数周期为，偶函数，满足；

故选：

【点睛】本题考查了三角函数的周期和奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质的综合运用.

10．对，成立的充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】首先求出满足，恒成立时的取值集合，然后只需求这个集合的真子集即可.

【详解】若，恒成立，只需，

又，所以，

所以对，成立的充分不必要条件可以是，或者是.

故选：AC.

11．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确.

【详解】，，

根据图形，在中，由射影定理得，所以，

由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确；

在中，同理得，所以，

又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确；

故选：AC.

12．已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则（    ）

A．

B．函数为周期函数

C．函数在区间上单调递减

D．函数的图像既有对称轴又有对称中心

【答案】BCD

【分析】由与的关系式及的周期性、奇偶性，即可求和判断的周期，进而判断A 和B；利用奇函数性质求在上的解析式，结合的周期性及求上的解析式判断C，利用对称性判断、是否成立判断D.

【详解】因为，所以，，又为奇函数，故，利用，可得

，故的周期为4；

因为周期为4，则的周期为4，又是奇函数，

所以，A错误，B正确；

当时，，因为为奇函数，故时，，因为恒成立，令，此时，，则，，故时，，

令，即，则，即；

令，即，则，即；

令，即，，

所以，

根据周期性在上的图像与在相同，

所以，当，即时，，故在上单调递减，C正确；

由是周期为4的奇函数，则且，

所以，故关于对称，

，所以关于对称，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点______．

【答案】3

【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．

【详解】设幂函数为常数，

幂函数的图象过点，，解得．

．

．

故答案为3．

【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．

14．已知函数若，则的值为______．

【答案】4

【解析】根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.

【详解】由题意可知，，解得，

故答案为：4．

15．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________．

【答案】(0,1)

【分析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.

【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m满足不等式组解得0<m<1.

故答案为(0,1)

【点睛】这个题目考查了二次函数根的分布的问题，结合二次函数的图像的性质即可得到结果,题型较为基础.

16．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2018个零点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，分别作函数与的图象，再观察交点即可得解

【详解】由，，

联立可得：，即，

所以函数是奇函数，图象关于点对称，周期为2，

又因为当时，，

又的周期为2，关于点对称，

令函数，

得，

所以函数，在区间上有2018个零点，

转化为两个函数在区间上有2018个零点，

在同一坐标系中作出两函数的图象如下：

由图象知：与在，上有4个交点，

且在上，，，，

因为函数，在区间上有2018个零点，

所以：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，属中档题．

四、解答题

17．已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据集合的运算法则计算；

（2）由得，然后分类和求解．

【详解】（1）当时，中不等式为，即，

∴或，则

（2）∵，∴，

①当时，，即，此时；

②当时，，即，此时.

综上的取值范围为.

18．（1）计算：

（2）已知，计算的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用对数的运算性质即可求解.

（2）利用诱导公式以及齐次式的运算即可求解.

【详解】（1）原式.

（2）原式

，

又，解得，

所以原式.

19．已知函数．

（1）求f（x）的定义域及单调区间；

（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；

（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）定义域为（﹣1，3）；f（x）的单调增区间为（﹣1，1]，f（x）的单调减区间为[1，3）；（2）当x＝1时，函数f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．

【分析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；

（2）根据函数的单调性即可求解；

（3）将f（x）≤g（x）转化为x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.

【详解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，

解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），

令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，

x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；

x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；

故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）

（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；

（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，

则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，

即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，

当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2．

20．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是20年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的﹐已知到今年为止，森林剩余面积为.

（1）求每年砍伐面积的百分比；

（2）该森林今后最多还能砍伐多少年？

【答案】（1）；（2）今后最多还能砍30年.

【解析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；

（2）根据题意，列出不等式，求解指数不等式即可容易求得结果.

【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为

则即，

解得：.     

（2）设从今年开始，最多可以砍年，

依题意得

即，

可得，，

解得

今后最多还能砍30年.

【点睛】本题考查指数型函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，属综合中档题.

21．已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.

(1)求函数与的解析式；

(2)设函数中，试判断在内的零点个数

【答案】(1)，

(2)2

【分析】（1）根据周期可得，根据对称中心可得，结合题意得，根据函数图像变换可得；（2）令可得或，结合题意求解．

【详解】（1）根据题意可得：，则

∵图象的一个对称中心为，则，即

又∵，则

∴

函数的图象向左平移个单位长度，得到

然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

∴，

（2）

令，则或

∵，则有：

若，则或；若，无解

∴在内有2个零点

22．定义在上的函数满足：对于任意实数都有恒成立，且当时，．

（Ⅰ）判定函数的单调性，并加以证明；

（Ⅱ）设，若函数有三个零点从小到大分别为，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）在上为增函数；见解析（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）根据函数的单调性的定义，结合抽象函数的关系公式进行证明即可；

（Ⅱ）根据抽象函数关系，由进行转化得到，由在上为增函数，得到 ，利用数形结合进行得到，，求解.

【详解】（Ⅰ）在上为增函数，

证明：设，则，

则，

∵，当时，．

∴，即，

即，

所以在上为增函数；

（Ⅱ）由得，

又∵，∴，即，

∴，由（1）知在上单调递增，

∴，

所以题意等价于与的图象有三个不同的交点（如下图），则，

且，，，

∴，

令，

设，

则

，

∵，

∴，，，

∴，

即在上单调递增，

∴，即，

综上：的取值范围是

【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合抽象函数的关系，证明函数单调性及其应用，还考查了数形结合，转化化归的思想方法，属于难题.