四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年春四川省叙州区第二中学高一期中考试

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据诱导公式一和三化为锐角的正弦值可得.

【详解】

。

故选：D

【点睛】本题考查了利用诱导公式一和三化简求值，属于基础题.

2.（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角函数的诱导公式，得到，再利用两角和的余弦公式，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，可得

，

故选B

【点睛】本题主要考查了两三家函数的诱导公式，以及两角和的余弦公式的应用，其中解答中年熟记两角和的余弦公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

3.若，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

已知,,根据不等式的基本性质,逐项检验,即可求得答案.

【详解】对于A,因为,,可取,,则.故A错误;

对于B, 因为,,可取,,则有,故B错误;

对于C,若,则,而,则,故,故C正确;

对于D，若,,故,,则有,故D错误;

故选C.

【点睛】本题考查不等式的性质,关键是熟悉不等式的性质,对于不成立的不等式,可以举出反例,进行判断.

4.设向量，，且，则(    )

A. －10 B. －6 C. 6 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】

已知向量共线得到，求出所求向量的模即可.

【详解】，

，，解得，

向量，则.

故选：A

【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量数量积的坐标表示及运算，属于基础题.

5.已知等比数列的前n项和为，若，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等比数列前项和公式的特点选出正确选项.

【详解】依题意，所以等比数列的前n项和为

，

所以，解得

故选：D.

【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式，属于基础题.

6.的内角、、的对边分别为、、，若，，成等比数列，且，则的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据,,成等比数列,再由正弦定理可得.结合,代入余弦定理,即可求得,再由同角三角函数关系式即可求得.

【详解】因为,,成等比数列

则

由正弦定理代入可得

又因为,代入余弦定理

代入化简可得

因为,所以

而由同角三角函数关系式,可知

故选:B

【点睛】本题考查了等比中项定义及应用,正弦定理与余弦定理解三角形,同角三角函数关系式应用,综合性强,但难度不大,属于中档题.

7.设f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)

A.  B. ＋ C. ＋ D. ＋＋

【答案】D

【解析】

由题意可得：

本题选择D选项.

8.若,且,,则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．

【详解】β＝α-(α﹣β)，

∵＜α，＜β，β＜，

∴α，

∵sin（）0，

∴＜0，则cos（），

∵sinα，

∴cosα，

则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），

故选B

【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题

9.若不等式在上有解，则实数的最小值为（    ）

A. 11 B. 5 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用降幂公式化简,再根据其在的范围,利用能成立的性质求解实数的最小值即可.

【详解】设.

因为,故.所以.

又有解,故实数的最小值为5.

故选：B

【点睛】本题主要考查了降幂公式与根据定义域求正弦函数的值域问题,同时也考查了能成立问题求最值的做法.属于中等题型.

10.若△的三个内角满足，则△（    ）

A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形

C. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

结合三角形大边对大角原则和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可

详解】由，可令

由大边对大角原则确定最大，由余弦定理

可判断钝角

故选A

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于基础题

11.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何?” 意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（   ）（注：3丈=5步，1里=300步）

A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步

【答案】A

【解析】

如图，由题意 步，设 步， ， ，同理 ，由题意， ，即 （步） 里 步，故选A.

12.已知函数，若函数y=f（x）–m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（   ）

A. [1，2] B. [1，2）

C. （1，2] D. （1，2）

【答案】D

【解析】

【分析】

画出函数y＝f（x）与y＝m的图象，由图象可得m的取值范围.

【详解】

画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）–m有三个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（1，2）.

故选:D．

【点睛】本题考查了利用函数图像判断函数的零点及分段函数的应用，属于基础题．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，则在方向上的投影等于__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量的数量积公式得到向量在方向上的投影为它们的数量积除以的模．

【详解】向量，则向量在方向上的投影为：；

故答案为．

【点睛】本题考查了向量的几何意义考查了向量的数量积公式，属于基础题．

14.设的内角，，的对边分别为，，，且，，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由正弦定理得，得到，再由余弦定理得，即可求出结果.

【详解】因为，，，由正弦定理可得，即，解得；

又由余弦定理得，

因此，解得.

故答案为

点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.

15.等比数列的各项均为正数,且则        .

【答案】2

【解析】

【分析】

利用对数的运算法则，结合等比数列的性质，将原式化为，从而可得结论.

【详解】因为等比数列的各项均为正数,且，

所以

，

故答案为2.

【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则

16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，，是的内角，，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得

【详解】因为，所以,因此,

因为，1，成等差数列，所以+=2,

因此，即面积的最大值为.

【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.

三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．

（1）若，求D点的坐标；

（2）设向量，，若k–与+3平行，求实数 的值．

【答案】（1）D（5，–4）；（2）k=–．

【解析】

【详解】（1）设D（x，y），

∵A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．如图，

∴由，得（2，–2）–（1，3）=（x，y）–（4，1），

即（1，–5）=（x–4，y–1），

∴，解得x=5，y=–4，∴D（5，–4）．

（2）∵=（1，–5），=（2，3），

∴k–=k（1，–5）–（2，3）=（k，–5k）–（2，3）=（k–2，–5k–3），

又+3=（1，–5）+3（2，3）=（1，–5）+（6，9）=（7，4），

且k–与+3平行，

∴7（–5k–3）–4（k–2）=0，解得k=–．

∴实数k的值为–．

18.（原创）在等差数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列是公比为2的等比数列，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】

分析：（1）等差数列中根据题意求出公差后可得通项公式．（2）根据题意求得数列通项公式，然后根据通项公式的特点选用分组求和的方法可得．

详解：（1）设等差数列的公差为，

∵

，

∴．

（2）由题意知，

∴，

∴，

∴

．

点睛：分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

(2)通项公式为的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

19.已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知得，其中n∈N*，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的其前n项和公式即可得出．

试题解析：

（1）由，得.

所以是以，为首项，为公比的等比数列.

，所以，其中

（2）由（1）知所以

相减得，，因此，

，

，

所以是最大项，，所以.

20.在中， ，，分别是角，，的对边，且满足．

（1）求角的大小；

（2）设函数，求函数在区间上的值域．

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角以及两角和正弦公式化简得，解得角的大小；（2）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据自变量范围以及正弦函数单调性确定函数值域

试题解析：（1）∵，∴，

∴，∴．

∵是的内角，∴，∴，∴．

（2）由（1）可知，

∴ ．

由，∴，∴，

∴函数的值域为．

21.已知数列的前项和=，数列为等差数列，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求证：数列的前项和.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由数列的前项和，利用和的关系，即可求解，利用，分别令，求得，得到；

（2）由（1）得，利用裂项求和，即可求得数列的前项和.

【详解】（1）

（2）

【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项法求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

22.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．

（1）求函数，的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）4；（3）或

【解析】

【分析】

（1）用替换再利用奇偶性得到，与已知条件联立即可得到函数，的解析式；

（2）将代入，换元思想，分离参数，构造函数，求函数最小值，即可得实数的最大值；

（3）根据题意，换元后转化为方程有且只有一个正根，再对讨论即可得出的取值范围．

【详解】解：（1），用代替得，

则，

解方程得：，.

（2）对任意恒成立，

令，，因为令在单调递增，故

则对恒成立

当时， 故，即

（3）由题：方程有且只有一个根

即有且只有一个根，

令，因为在上单调递增，且

故方程（*式）有且只有一个正根

①当时，方程有唯一根，合题

②当时，方程变形为，解得两根为，

因为（*式）有且只有一个正根，故或，解得或

综上：的取值范围为或

【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性与单调性的应用，考查不等式恒成立问题，方程在给定范围内由一解的解题方法，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.