2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集的定义求解即可.

【详解】因为集合，，

则.

故选：D.

2．下列幂函数中，定义域为R且为偶函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数解析式，判断函数的定义域，并根据偶函数定义，来判断函数是否满足，一一判断即可.

【详解】对于A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误；

对于B，函数为奇函数，不符合，故B错误；

对于C，函数为奇函数，不符合，故C错误；

对于D，函数的定义域为R，满足偶函数定义，故D正确.

故选：D.

3．设集合，那么“”是“”的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题可得，所以“”是“”的充分不必要条件.

【详解】由于，而，则，所以“”是“”的充分不必要条件．故选B．

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．

4．函数的单调增区间为（    ）

A． B． C．和 D．

【答案】C

【分析】由可得且，然后求出的减区间即可.

【详解】由可得且，

因为开口向下，其对称轴为，

所以的减区间为和

所以的单调增区间为和

故选：C

5．已知函数是幂函数，且时，f(x)是增函数，则m的值为（    ）

A．-1 B．2 C．-1或2 D．3

【答案】B

【分析】利用幂函数的定义及性质直接列式计算并判断作答.

【详解】因函数是幂函数，且f(x)是上的增函数，

于是得，解得，

所以m的值为2.

故选：B

6．已知函数在上是减函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．

【详解】若函数在上是减函数，

则，解得，

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数以及反比例函数的性质，考查分段函数的单调性问题，是一道基础题．

7．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（    ）（参考数据）

A．7分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．14分钟

【答案】C

【分析】首先代入，求，再令，即可求解的取值范围.

【详解】依题意可知时，，即，

所以，由，得，两边取以e为底的对数得，所以至少需要11分钟.

故选：C

8．已知定义在R上的函数是奇函数，且对任意的，且，都有，又，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数性质画出函数的图像，根据图像即可观察出不等式的解集.

【详解】由题可得函数是奇函数，在上单调递减，在上单调递减，过点，由此作出函数图像如下

所以即看哪些点在二四象限或坐标轴上

故不等式的解为.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题正确的有（    ）

A．函数有1个零点. B．的最大值为1

C．与是同一函数. D．是奇函数.

【答案】ABD

【分析】先判断函数的单调性，又因为，，结合零点的存在性定理，即可判断A选项；令，根据指数函数的图象和性质，可知在定义域内单调递增，从而可求出函数的最大值，即可判断B选项；分别求出对数型函数的定义域，并结合同一函数的定义，即可判断C选项；先求出函数的定义域，再利用定义法判断函数的奇偶性，即可判断D选项.

【详解】解：对于A，可知的定义域为，

因为在上为增函数，在定义域内为增函数，

在上为增函数，

又因为，，

所以有1个零点，故A正确；

对于B，令，则在定义域内单调递增，

，当且仅当时，即时取等号，

的最大值为1，故B正确；

对于C，的定义域为，的定义域为，

所以两个函数的定义域不同，故它们不是同一函数，故C不正确；

对于D，由可解得：或，

所以的定义域为，关于原点对称，

又

，

所以，故是奇函数，故D正确.

故选：ABD.

10．设正实数、满足，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误.

【详解】对于A选项，因为正实数、满足，则，

，故，A对；

对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；

对于C选项，由基本不等式可得，

因为，故，当且仅当时，等号成立，C错；

对于D选项，，

可得，当且仅当时，等号成立，D对.

故选：ABD.

11．已知函数，若，则的取值可能是（    ）

A．4 B． C．5 D．6

【答案】BC

【分析】由所给的函数画出大致图象，数形结合可得，进而求出的取值范围.

【详解】

如图所示：要使由 则

因为,

因为 所以 所以

所以，取值可能是，5.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：准确做出函数的图像是解决本题的关键，函数整体加绝对值，保留函数在轴上方的图像，把轴下方的图像关于轴对称即可.

12．当一个非空数集满足条件“若，，则，，，且当时，”时，称为一个数域，以下说法正确的是（    ）

A．是任何数域的元素

B．若数域有非零元素，则

C．集合为数域

D．有理数集为数域

【答案】ABD

【分析】根据新定义，依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A，若，则，故A正确；

对于B，若且，则，，，依此类推，可得，故B正确；

对于C，，，，但，故不是数域，C错误；

对于D，若，是两个有理数，则，，，都是有理数，所以有理数集是数域，D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．命题“，有”的否定为______．

【答案】，；

【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得.

【详解】根据全称命题的否定为特称命题，

命题“，有”的否定为“，”.

故答案为：，.

14．若函数的定义域为，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】根据题意只需，解不等式即可.

【详解】函数的定义域为，

则恒成立，

所以，

解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

15．已知函数，若，则________．

【答案】

【分析】根据题意得，再计算即可得答案.

【详解】解：根据题意，即，

所以

故答案为：

16．设函数，则使得成立的的取值范围__________．

【答案】(，1)

【分析】确定函数为偶函数，再确定函数在上是增函数，然后由奇偶性与单调性解不等式．

【详解】，所以是偶函数，

时，，此时，是增函数，是减函数，所以是增函数，

因此不等式化为，所以，，解得，

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合或，集合．

(1)若，求和；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解；

（2）由题意可得，列出不等式，解不等式即可求解.

【详解】（1）当时，集合或，，

可得，

因为，

所以；

（2）因为，所以，

因为

所以或，解得或．

所以实数a的取值范围为.

18．1.已知函数.

(1)求的值；

(2)在坐标系中画出的草图；

(3)写出函数的单调区间和值域.

【答案】(1)4

(2)图象见解析

(3)单调减区间为，单调增区间为，值域为

【分析】（1）先算出，进而再代入函数解析式解出即可；

（2）分三段作出图象即可；

（3）根据（2）中的图象即可得到单调区间和值域.

【详解】（1）由题意，，则.

（2）如图所示，

（3）根据（2）中的图象可得，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为.

19．已知函数在区间[1，2]上的最小值小于m，求实数m的取值范围．

【答案】

【分析】根据二次函数的性质，分对称轴在区间[1，2]的左边，中间，右边三种情况求解，最后取并集即可.

【详解】，

对称轴为，

（1）若，即，

，解得，

（2）若，即，

，

，解得，

而，即无解，

（3）若即，

，

，解得无解.

综上所述，实数m的取值范围是

20．设函数，其中，，．

(1)若当时，有最小值，求的最小值；

(2)若，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）由在处，有最小值，可知对称轴为，列出关系式，化简可得，利用基本不等式1的应用，代入求出最小值.（2）代入化简可得，两边平方，结合重要不等式可证明.

【详解】（1）解：因为当时，有最小值，所以且对称轴，即，（，）所以

，当且仅当时等号成立. 的最小值为.

（2）解：，化简得：，

所以，

所以.

21．某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元．

（1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）；

（2）该车若干年后有两种处理方案：

①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出；

②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．

问：哪一种方案较为合算？并说明理由．

【答案】（1）第3年开始赢利；（2）方案②合算．理由见解析.

【解析】（1）设该车年开始盈利，可构造不等关系，结合可求得解集，由此得到结果；

（2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算．

【详解】（1）客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元，若该车年开始赢利，则，

即，，，

该车营运第年开始赢利．

（2）方案①赢利总额，

时，赢利总额达到最大值为万元．

年后卖出客车，可获利润总额为万元．

方案②年平均赢利总额（当且仅当时取等号）．

时年平均赢利总额达到最大值万元．

年后卖出客车，可获利润总额为万元．

两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，方案②合算．

【点睛】关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值.

22．现有三个条件：

①对任意的都有；

②不等式的解集为；

③函数的图象过点

请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）：

已知二次函数，且满足     （填所选条件的序号）．

(1)求函数的解析式；

(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）先根据条件①②③求得对应的关系，再组合选取①②，①③，②③的情况求解即可得答案；

（2）根据题意并结合（1）得，进而得，再求函数的最值即可得答案.

【详解】（1）解：条件①：因为，

所以，

即对任意的恒成立，

所以，解得，

条件②：因为不等式的解集为，

即方程的两根为和，

所以，解得，且，

条件③：函数的图象过点，所以，

若选择条件①②：则，，，此时；

若选择条件①③：则，，，此时；

若选择条件②③：则，，，此时．

（2）解：由（1）知，

又

，

设，则在上是增函数，

∴实数的取值范围是