2022-2023学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．下列各角中，与角终边相同的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定与角终边相同的角为，，再依次判断每个选项即可.

【详解】与角终边相同的角为，，

对选项A：取，不是整数解，排除；

对选项B：取，，正确；

对选项C：取，不是整数解，排除；

对选项D：取，不是整数解，排除；

故选：B

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，所以，又，

所以.

故选：B

3．若，是第二象限的角，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得，然后求得.

【详解】由于，是第二象限的角，

所以，

所以.

故选：C

4．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.

【详解】因为，，，

所以.

故选：C.

5．函数的图象大致为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.

【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除；

当时，，当时，，所以，排除B．

故选A.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.

6．已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由单调性定义可知在上单调递减，由分段函数每一段上的单调性和分段处的函数值大小关系可构造不等式组求得结果.

【详解】对任意的都有成立，在上单调递减，

，解得：，即实数的取值范围为.

故选：B.

7．神舟十四号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期六个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（    ）（参考数据）

A．10 B．11 C．13 D．14

【答案】D

【分析】设过滤的次数为n，原来水中杂质为1，得到不等式，解出即可.

【详解】设过滤的次数为n，原来水中杂质为1，

则，即，所以，

所以，所以，

因为，所以n的最小值为14，则至少要过滤14次．

故选：D.

8．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数有一个零点可得，再将不等式的解集转化为方程的两根，最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解.

【详解】函数只有一个零点，则，

不等式的解集为，

即的解集为．

设方程的两根为，

则，且，

∴，则，

整理得，∴．

故选：.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．，使得

B．，都有

C．已知集合，，则对于，都有

D．，使得方程成立．

【答案】AB

【分析】根据全称和特称量词的含义，结合去绝对值的方法、交集的定义和一元二次方程根的个数的判断，依次确定各个选项的正误即可.

【详解】对于A，当时，，A正确；

对于B，当时，，B正确；

对于C，当时，，C错误；

对于D，，，方程都不成立，D错误.

故选：AB.

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.

【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，

∴，∴，故选项A正确；

对于B，当，，，时，有，，

但此时，，，故选项B错误；

对于C，当，，时，有，，

但此时，，，故选项C错误；

对于D，∵，∴，∴，

∴，∴，

由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.

故选：AD.

11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由题意可知，利用特殊值可以排除AD选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC即可.

【详解】是第一象限角，且，

当时，

此时，所以A错误；

易知，，所以，

又因为，即，所以，即C正确；

又因为，所以，

因此，即，故B正确；

取，则，所以D不成立.

故选：BC.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数有两个零点

B．若函数有四个零点，则

C．若关于的方程有四个不等实根，则

D．若关于的方程有8个不等实根，则

【答案】CD

【分析】A选项，画出的图象，在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，A错误；

B选项，数形结合得到，B错误；

C选项，可看出四个实根有两个根关于对称，另外两个根关于对称，从而得到，C正确；

D选项，令，则要有2个不相等的实数根，，

得到两根之和，两根之积，化简得到，结合，求出，结合，求出.

【详解】A选项，当时，单调递增，

当时，单调递减，

画出的图象，可以看出关于对称，

当时，取得最小值为1，

在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，

所以函数有3个零点，A错误；

数形结合可得：函数有四个零点，则，B错误；

由上图可知：若关于的方程有四个不等实根，

不妨设

其中关于对称，关于对称，则，

所以，C正确；

D选项，令，则要有2个不相等的实数根，，

且，，

，

因为，所以，

由，解得：，

综上：，

若关于的方程有8个不等实根，则，D正确.

三、填空题

13．已知幂函数的图象经过点，则___________．

【答案】4

【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．

【详解】设，则，，即，

所以．

故答案为：4

14．设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】解不等式得到，根据充分不必要条件得到且，解得答案.

【详解】命题，故，解得；命题

p是q的充分不必要条件，则且，解得.

故答案为：

15．设实数满足，函数的最小值为__________.

【答案】

【分析】利用拼凑法结合基本不等式即可求解.

【详解】由题意，

所以，

故，

当且仅当，即时等号成立，

所以函数的最小值为.

故答案为：.

四、双空题

16．设函数的定义域为R，且满足，当时，．则___________；当时，的取值范围为___________．

【答案】         

【分析】由题意可得，求出可得的值，由已知条件可得的图象关于直线对称，的周期为8，所以，则当时，，作出函数在的图象，结合图象可求出结果

【详解】令，则，

因为当时，，

所以，

所以，

因为，

所以的图象关于直线对称，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以的周期为8，

所以，即

当时，，

由函数图象可知当时，，

所以，即，

所以当时，的取值范围为，

故答案为：，

五、解答题

17．设集合，集合．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求即可；

（2）求，根据交集结果，讨论、求参数m的范围.

【详解】（1）对于集合A：，得，故；

当时，

所以.

（2）由或，而，

当时，，即满足题设；

当时，，可得；

综上，.

18．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；

（2）利用对数运算性质计算出答案.

【详解】（1）原式=；

（2）原式.

19．已知，且满足______.请从以下三个条件中选择一个条件补充在前面的横线中，①；②；③，然后作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)求的值；

(2)角与角均以x轴的非负半轴为始边，若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值.

【答案】(1)条件选择见解析，；

(2).

【分析】（1）选①，利用同角正余弦平方和为1求出计算作答；选②，利用与的关系计算作答；选③，由正切求出正余弦值即可作答.

（2）求出角与角的关系式，再利用诱导公式结合（1）的结论计算作答.

【详解】（1）选①，因为，，则，

所以.

选②，由，得，解得，

因为，则，必有，

所以.

选③，因为，，则，，，

由及，解得，，

所以.

（2）由（1）知，，，

因为角与角均以x轴的非负半轴为始边，若角的终边与角的终边关于x轴对称，

则有，即，，

所以.

20．已知函数是奇函数，且.

(1)求a，b的值；

(2)证明函数在上是增函数.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）由奇函数的性质可知，可求出b的值，再利用可求出a的值.

（2）利用定义法证明函数的单调性即可.

【详解】（1）∵函数是奇函数，∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，∴，

∴.

（2）由（1）得，

任取，，且，

∴，

∵，∴，，，

∴，即，

∴函数在上是增函数.

21．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．

(1)求x关于t的函数；

(2)将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；

(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

【答案】(1)

(2)

(3)当促销费投入7万元时，企业年利润最大

【分析】（1）利用待定系数法求解即可.

（2）利用销售收入减去成本即得利润.

（3）利用基本不等式处理该最值问题.

【详解】（1）由题意：与成反比例，

所以设，                           

将t＝0，x＝1代入，得k＝2，                    

所以.

（2）当年生产x(万件)时，年生产成本为：，        

当销售x(万件)时，年销售收入为：，       

由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，

所以

即：.

（3）由（2）有：      

  因为，所以，当且仅当，

即时，等号成立.所以，，即.

所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．

22．已知函数为偶函数．

(1)求实数的值；

(2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；

（2）由函数与图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围．

【详解】（1）解：函数的定义域为，

因为函数为偶函数．

所以，即，

所以，

所以；

（2）解：因为函数与图象有2个公共点，

所以，

即，，

设，则，即，

又在上单调递增，

所以方程有两个不等的正根；

所以，解得，

所以的取值范围为．