2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高二下学期开学收心考试数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高二下学期开学收心考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求函数的定义域可得集合，解不等式得，进而可得.

【详解】由，得，解得，

即；

，

所以，

故选：D.

2．函数零点所在的整区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用零点存在性定理求解即可.

【详解】因为函数为单调递增函数，

且，

所以零点所在的区间是，

故选：C．

3．下列说法正确的是（    ）

A．第二象限角比第一象限角大

B．角与角是终边相同角

C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为

【答案】D

【分析】举反例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角的范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．

【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误；

对于B，，与终边不同，故B错误；

对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C错误；

对于D，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转，

钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D正确．

故选:D．

4．已知，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.

【详解】因为，，，

所以，

故选：D．

5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且，则的值为（    ）

A． B． C．4 D．6

【答案】A

【分析】利用奇函数的性质由先求出，再求出.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，，所以.

因为当时，，所以，解得：.

所以当时，.

由，令，可得：，所以；

.

所以.

故选：A

6．“”是“幂函数在上单调递减”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．既不充分也不必要 D．充要

【答案】D

【分析】由题知，解得，再根据充要条件的概念判断即可.

【详解】解：因为幂函数在上单调递减，

所以，解得，

所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.

故选：D

7．已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（    )

A． B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】令便可得到函数图象恒过点，将点代入幂函数中，解得的解析式，然后计算的值.

【详解】函数中，令，解得，此时；

所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，

所以．

故选：C．

【点睛】本题考查根据函数解析式求函数值问题，解答本题的关键在于确定出函数（且）所过的定点坐标，一般地，确定对数型函数恒过哪个定点时，只需令真数部分为，然后解得自变量的值，并计算出此时对应的函数值，然后可得到图象所过的定点坐标.

8．已知函数若关于x的方程有6个解，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数的图象，令，则，然后结合函数图象判断关于x的方程有6个解时，二次方程的根的分布情况，再运用二次方程根的分布求解参数的取值范围.

【详解】令，则原方程可化为，

作出函数的图像如图，

由图像可知，关于x的方程有6个解，关于的方程在上有两个不等实根，由二次方程根的分布得：，解之得：.

故选：D．

【点睛】本题考查根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，解答本题的关键在于画出函数的图象，然后换元，根据函数的图象分析出方程的根的个数及根的分布情况，列出关于的不等式组解得答案.

二、多选题

9．已知集合，且，则实数m的值可以为（    ）

A．1 B． C．2 D．0

【答案】ABD

【分析】若，则，然后针对是否为空集进行讨论求解即可.

【详解】因为，所以，．

当时，，符合题意；

当时，，所以或，解得或．

所以m的值为1或或0．

故选：ABD．

10．下列命题中为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】利用特殊值判断AB；利用作差法判断C；利用单调性判断D.

【详解】A项，若时，成立，显然不成立，错误；

B项，满足，但 ，错误；

C项，若，则，

可得，所以，正确；

D项，为单调增函数，若，则，正确；

故选：CD．

11．下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为1

B．的最小值为1

C．，的最小值为3

D．的最小值为4

【答案】AD

【分析】利用基本不等式和指对数函数的单调性可判断每个选项

【详解】对于A，的定义域为，

所以，当且仅当即时，取等号，

因为在定义域内是单调递增函数，所以，

所以的最小值为1，故A正确；

对于B，因为，所以，所以没有最小值，故B不正确；

对于C，因为，所以，

所以，当且仅当即时，取等号，

故的最大值为3，故C不正确；

对于D，因为，所以，当且仅当即时，取等号；

所以，

当且仅当即，取等号，

的最小值为4，故D正确，

故选：AD

12．表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的有（    ）

A．的定义域为R B．的值域为

C．是周期函数 D．是的单调增区间

【答案】ACD

【分析】由函数的解析式可知原函数的定义域为；然后根据可知函数的周期为，再分析函数在上的值域，根据周期性可知原函数的值域为；又当时，为增函数，结合函数的周期性可知在递增.

【详解】因为函数，所以的定义域为R，故A正确；

因为，所以是周期为1的周期函数，故C正确；

当时，，当时，，所以当时，，根据周期为1可知，的值域为，故B不正确；

因为当时，函数为增函数，且函数的周期为1，所以函数的单调增区间为，故D正确．

故选：ACD．

【点睛】本题考查新定义函数及函数基本性质的判断，解答的本题的关键在于分析清楚函数在上的性质，分期清楚函数的周期，然后根据的周期性便可得到在整个定义域上的值域、单调性等问题.

三、填空题

13．已知扇形OAB的圆心角为6rad，其面积是，则该扇形的周长是___________cm.

【答案】

【分析】根据扇形面积公式求出半径，进而得到弧长和周长.

【详解】由得：，解得：cm，

故cm，则扇形周长为cm.

故答案为：.

14．若函数在区间[1，2]上的最小值为3，则的最小值为_______．

【答案】

【分析】先根据一次函数单调性及最小值求出，再变形后利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】单调递增，所以在区间[1，2]上，所以，因为，所以

，当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

15．若函数在单调递增，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0.

【详解】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.

故答案为：

16．已知，，则的值为_______.

【答案】

【分析】由化简计算可得，代入解析式计算并代入，从而可计算得答案.

【详解】，，

化简得，

则.

故答案为：

四、解答题

17．

(1)计算：

(2)解关于的不等式：

【答案】(1)985；

(2)

【分析】（1）直接运用指数及对数的运算法则计算即可；

（2）换元法，令，得到，求解后再计算的范围.

【详解】（1）

（2）令，

则，即，得，

即，

则，所以不等式的解集为.

18．在“①函数的定义域为R，②，使得成立，③方程在区间内有解”这三个条件中任选一个，将其序号填在下面横线上，并进行解答．

问题：已知条件p：________，条件q：函数在区间上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值．

【答案】任选①②③结果．

【分析】分别求得①②③中命题为真时的取值范围，再求出命题为真时的范围，再根据p是q的必要条件可得的范围．

【详解】解：选①时，函数的定义城为R，则，解得：，

故P为真时：，

选②时，，使得即恒成立，所以，

故P为真时：，

选③时，方程在区间内有解，故，故，

故P为真时：，

条件q：函数在区间上不单调，则，故，

故q为真时：，

若p是q的必要条件，即，则，解得：，

故a的最大值是．

【点睛】结论点睛：本题考查由必要条件求参数，一般可根据如下规则判断求解：

命题对应集合，命题对应的集合，则

（1）是的充分条件；

（2）是的必要条件；

（3）是的充分必要条件；

（4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系．

19．科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数．

(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．

【答案】(1)选，

(2)至少需4秒

【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；

(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.

【详解】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，

根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，

由题意可得：，解得：，

所以该模型的解析式为：，

（2）由（1）知：，

由题意知：，也即，则有，

∴，∴，

∴至少需要4秒．

20．函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定的解析式；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）解不等式．

【答案】（1），；（2）增函数，证明见解析；（3）.

【分析】（1）由解得，验证时，为奇函数，由解得，可得函数的解析式；

（2）在内任取且，推出可知在上为增函数；

（3）根据函数为奇函数将化为，结合单调性和定义域可解得结果.

【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数知，

所以解得，经检验，时，是上的奇函数，满足题意

又，解得，故，．

（2）在上为增函数．证明如下：

在内任取且，则，

因为，，，，

所以

即，所以在上为增函数．

（3）∵，∴，又∵是上的奇函数，

∴，结合在上为增函数，

得，解得：，即．

【点睛】关键点点睛：根据函数为奇函数将化为，结合单调性和定义域求解是解题关键.

21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求在上的解析式；

(2)若函数有零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数的定义得出在上的解析式；

（2）将问题转化为直线与的图象有公共点，求出的值域，进而得出实数的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义在上的奇函数，

所以，.

，当时，，

所以，

所以

（2）函数有零点等价于方程有根，

分离参数得，原问题等价于直线与的图象有公共点，

所以求的范围，即求函数的值域，

记，即，

①当时，显然在上单调递减，所以，

所以时，，

②当时，令，则，

记，

因为对称轴，所以在上单调递增，

所以，即，

所以时，，

综上所述，的值域为，

所以当时，函数有零点.

22．设函数.

(1)证明：函数在上是增函数；

(2)若是否存在常数，使函数在上的值域为，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)令，用定义法证明其单调性，再结合对数函数的底数判断即可；

(2)易得在上是递增，进一步分析可知，是方程的两根，而方程不存在两个大于1的不等实根，故不存在常数，满足条件.

【详解】（1）令，设，且，

，

∵，∴，∴，

∴，∴在上单调递增，

又∵在上单增，

∴在上是增函数；

（2）在上是增函数，

∴，∴，

即，是方程的两根，

∴，

当时，令，则，

若方程有两个大于零的不等实数根，

即方程存在两个大于1的不等实根，

∵，

方程是有一个大于0和一个小于0的实根，

∴方程不存在两个大于1的不等实根，

∴不存在常数，满足条件.

【点睛】方法点睛：对于复合函数的单调性判断，先判断由几个函数复合，再分别判断单调性，结合同增异减的原则判断复合函数单调性；结合值域范围判断参数是否存在问题，可结合单调性及值域列出方程组，进而转化为方程解得个数问题.