2022-2023学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，
所以，
故选D.
2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由函数的定义可知，两个函数要为同一函数则其三要素必须相同．选项A中的值域为，的值域为；选项B中的定义域为，的定义域为；选项C中的定义域为，的定义域为；故排除A,B,C，选项D中和的定义域都是，且.故选D.
【解析】函数的三要素
3．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.
【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.
4．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域与值域，从而得出答案．
【详解】 y＝，∴该函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}，
故选A．
【点睛】本题考查了函数的图象，主要从定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等方面判断，属于基础题．
5．设，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，当时，，因此，故选B.
6．已知函数 满足时恒有成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件可知，函数单调递增，列式求的取值范围.
【详解】由条件时恒有成立，可知，函数单调递增，
所以，解得：.
故选：D
7．已知为偶函数，它在上是减函数，若有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用偶函数的基本性质将所求不等式变形为，再由该函数的单调性得出，可得出，利用对数函数的单调性即可解出该不等式.
【详解】函数为偶函数，由，可得，
又函数在上是减函数，，则，解得.
因此，所求的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，涉及对数函数单调性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
8．已知，则函数的最大值为（ ）
A．3B．6C．13D．22
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，化简解析式，配方根据二次函数性质求最值.
【详解】由的定义域为，可得的定义域为，
又
∵，∴
∴当时，有最大值13.
【点睛】本题考查复合函数的值域.此题需先求的定义域再化简.
二、多选题
9．已知a，b，c为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由已知基本不等式的性质，可得，然后在分与两种情况讨论，即可求解.
【详解】因为为正数，且，
所以，则，所以，故A、D错误；
若，则，即，可得，则，
所以B正确；
若，因为，可得，所以D正确.
故选：BC.
10．下列各结论中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．函数的最小值为2
C．命题“，”的否定是“，”
D．若函数有负值，则实数a的取值范围是或
【答案】AD
【解析】根据不等式的性质，基本不等式是成立条件，含有一个量词的命题的否定，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为，可得同号，且，所以，故A正确；
对于B：由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，无解，故B错误；
对于C：命题“，”的否定是“，”，故C错误；
对于D：为开口向上的抛物线，有负值说明判别式，所以，解得或，故D正确.
故选：AD
11．定义域为R的函数满足，且当时，.以下结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为增函数D．为减函数
【答案】AC
【解析】由题意，令x=y=0，可求得，令y=-x，代入条件，可求得的奇偶性，任取，且，利用定义法，结合题意，即可证明的单调性
【详解】因为对于任意x，y都有，
令x=y=0，则，即，
令y=-x，则，所以，
所以为奇函数，故A正确，
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在R上为单调递增函数，故C正确，
故答案为：AC
12．设定义域为的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，且，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】画出的图像，由图像结合条件可得，然后可得，即可选出答案.
【详解】的图像如下：
若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，则
所以，由可解得：
所以，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是准确的画出的图像，结合图像得到.
三、填空题
13．计算：_______.
【答案】7
【分析】利用指数的运算法则和对数的运算法则进行化简计算即得结果.
【详解】原式.
故答案为：7.
【点睛】本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题.
14．幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的值为_________．
【答案】2
【解析】由幂函数的定义及性质即可得解.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数的图象不过原点，符合题意；
当时，函数的图象经过原点，不符合题意；
故.
故答案为：2.
15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济.
【答案】二
【解析】设第一次和第二次购物时价格分别为，每次购n，根据条件，求得按第一种策略购买的平均价格x，若按第二种策略，设每次花钱m元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格y，利用作差法，即可比较x，y的大小，进而可求得答案.
【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为，
按第一种策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，
若按第二种策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，
两次购物的平均价格，
比较两次购物的平均价格 ，
因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，
故答案为：二
【点睛】本题考查函数在生产中的实际应用，解题的关键是读懂题意，求得每种购物策略的平均价格，再利用作差法比较大小，需要较强的分析能力，属中档题.
16．给出下列命题：
①函数与互为反函数，其图象关于直线对称；
②已知函数，则；
③当且时，函数的图象必过定点（2，－2）；
④用二分法求函数在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；
⑤函数的零点有2个．
其中所有正确命题的序号是_________．
【答案】①③
【解析】由反函数的概念可判断①，代入运算可判断②，由指数函数的性质可判断③，由二分法的概念可判断④，由零点存在性定理可判断⑤.
【详解】对于①，由反函数的定义可得函数与互为反函数，其图象关于直线对称，故①正确；
对于②，由可得，故②错误；
对于③，因为，所以函数的图象必过定点，
故③正确；
对于④，用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过4次二分后精确度达到0.1，故④错误；
对于⑤，由，，所以函数在上存在零点，
且，，所以2，4也是函数的零点，故⑤错误.
故答案为：①③.
四、解答题
17．已知集合，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若，且，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由指数不等式可得，再由交集的概念即可得解；
（Ⅱ）由集合间的关系，按照、分类，运算即可得解.
【详解】（Ⅰ）由题意，，，
∴；
（Ⅱ）∵，且，
①当时，有，∴此时，
②当时，则有，解得，
综上可知，实数的取值范围为.
18．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；
（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）图象见解析，；（3）.
【解析】（1）先分析时，，即可求解出的解析式，然后由奇函数的性质运算即可得解；
（2）作出图象，数形结合即可得函数的单调递减区间；
（3）根据函数的单调性，数形结合即可得关于的不等式，由此可求解出的取值范围.
【详解】（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，
又当时，，
当时，
∵满足，；
（2）作出函数的图象如图所示：
由图象可知，函数的单调递减区间为；
（3）在区间上单调递增
由函数的图象可得，解得
的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析式）：
（1）先设，则，根据的解析式求解出；
（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式；
（3）结合（1）（2）可求解出的解析式.
19．已知函数．其中
（Ⅰ）求函数的定义域;
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（Ⅲ）利用复合函数的单调性，指出函数的单调性（不必证明）．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）奇函数，证明见解析；（Ⅲ）是上的减函数．
【解析】（Ⅰ）利用对数函数的性质求解定义域即可
（Ⅱ）利用函数的奇偶性定义进行求解即可
（Ⅲ）利用复合函数的单调性定义进行求解即可
【详解】解：（Ⅰ）要使原式有意义，需，即，
∴函数的定义域为．
（Ⅱ）∵，定义域关于原点对称
∴
∴函数是奇函数
（Ⅲ）∵
易知是上的增函数
又，∴是上的减函数
【点睛】关键点睛：解题关键在于理解函数的定义域和奇偶性、单调性定义，属于基础题
20．已知某零件在周内周销售价格（元）与时间（周）的函数关系近似如图所示（图象由两条线段组成），且周销售量近似满足函数（件）.
（1）根据图象求该零件在周内周销售价格（元）与时间（周）的函数关系式；
（2）试问这周内哪周的周销售额最大？并求出最大值.
（注：周销售额=周销售价格周销售量）
【答案】（1），；（2）第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元.
【解析】（1）根据图象，可得销售价格（元）与时间（周）的函数关系；
（2）结合周销售量与时间之间的关系，可得周销售额函数，分段求最值，即可得到结论．
【详解】解：（1）根据图象，销售价格（元）与时间（周）的函数关系为：
，；
（2）设周内周销售额函数为，则
，
若，时，，∴当时，；
若，时，，∴当时，，
因此，这种产品在第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元．
【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．已知函数
（Ⅰ）判断函数在定义域上的单调性，并利用定义加以证明；
（Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）是R上的增函数，证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）分离常数得，利用函数单调性的定义即可证明；
（Ⅱ）由函数的单调性可转化条件为，求得的最小值即可得解.
【详解】（Ⅰ）∵，其定义域为R，
∴是R上的增函数，证明如下：
任取且，
则
∵，∴，，，
∴，即，
故是R上的增函数；
(Ⅱ）因为函数是R上的增函数，
所以不等式恒成立对任意恒成立，
，
而当时，取最小值为，
故.
22．已知函数与，其中是偶函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的定义域；
（Ⅲ）若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）由偶函数的性质，运算即可得解；
（Ⅱ）转化条件为，按照、分类，即可得解；
（Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解.
【详解】（Ⅰ）∵是偶函数，∴，∴，
∴，∴，
即对一切恒成立，
∴；
（Ⅱ）要使函数有意义，需，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上可知，当时，的定义域为；
当时，的定义域为；
（Ⅲ）∵只有一个零点，
∴方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
亦即方程有且只有一个实根，
令（），则方程有且只有一个正根，
①当时，，不合题意；
②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，
由可得，解得或
若，则不合题意，舍去；
若，则满足条件；
若方程有两根异号，则，∴，
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.