2022-2023学年安徽省马鞍山市第二中学高二下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省马鞍山市第二中学高二下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可进一步求解.

【详解】根据题意，由，

设，

即

解得：，

则有，

由此得．

故选：B.

2．已知直线与直线平行，则m的值为（    ）

A．3 B． C．3或 D．3或4

【答案】B

【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合.

【详解】由题设，，可得或，

当时，、平行，符合题设；

当时，、重合，不合题设；

∴.

故选：B.

3．已知等差数列，其前项和是，若，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【分析】由已知可得，根据等差数列的性质即可得出结果.

【详解】由已知可得，，所以.

又，所以.

故选：C.

4．设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可

【详解】若，且，则，

所以，

反之，若，则，

所以，且或，且，

所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件.

故选：A

5．已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ）

A．-2 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.

【详解】设，，因为A，B都在椭圆上，

所以，两式相减，得，

得，

又因为线段AB中点坐标为，，，

所以，

故选：D.

6．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析曲线的形状，在同一坐标系内作出直线与曲线，利用数形结合方法求解作答.

【详解】方程是恒过定点，斜率为k的直线，

曲线，即，是圆心为，半径在直线及右侧的半圆，

半圆弧端点，在同一坐标系内作出直线与半圆C：，如图，

当直线与半圆C相切时，由得切线PT的斜率，

当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，

包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率，

所以直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是.

故选：A

7．已知双曲线（，）的离心率为，则C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由双曲线的离心率，得到，关系，从而得到，关系，从而得到双曲线的渐近线方程.

【详解】因为的离心率为，

所以，

所以，

解得，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

8．如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，，其中，，由求出的值，即可得解.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、，设点，，其中，，

，，

因为，则，解得，故.

故选：D.

二、多选题

9．等差数列的前项和为，若，公差，则（    ）

A．若，则 B．若，则是中最大的项

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】根据可推得，利用等差数列的性质以及前n项和公式，可判断A；由可推出，进而判断 ，则 ，即可判断B；由可得，，，无法判断的正负，可判断C；由推出，，则，由此判断D.

【详解】由，得 ，

所以，

则 ，A正确；

因为，

所以，即，

因为，，

所以 ，则 ，等差数列为递减数列，

则则是中最大的项，B正确；

若，则，即 ，

因为，，则，故，无法判断的正负，

故，不能判断，C错误；

因为，所以，

因为，，所以，则，

则，D正确，

故选：

10．下列结论正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．直线的倾斜角为120°

C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条

【答案】BC

【分析】求出直线过的定点，即可判断A；

根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B;

计算圆心到直线的距离，即可判断C的对错；

求出与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错.

【详解】可变形为 ，

令 ，得 ，

即直线过定点 ，故A错；

直线的斜率为 ，故其倾斜较为 ，故B正确；

圆的圆心到直线的距离为 ，

圆的半径为2，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，

故C正确；

设直线 与圆相切，则 ，

解得 或，则满足题意，

由此显可知与 圆相切，且在轴､轴上的截距相等，

故D错误，

故选：BC

11．已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.

【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以，

，

，，

，.

故选：ACD

12．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线准线上的射影分别为交准线于点M(O为坐标原点)，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．直线轴 D．的最小值是

【答案】BCD

【分析】选项A设直线方程代入抛物线方程中化简写出韦达定理，

再利用向量数量积的坐标表示运算即可；选项C利用

三点共线找出关系式来说明即可；选项B利用数量积即可说明；

选项D设直线的倾斜角为，则表示出利用函数的

性质求出最值即可.

【详解】由题意可知，抛物线的焦点F的坐标为，

准线方程为，易知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，

代入，得，

所以，

则，所以，

所以A不正确，

因为三点共线，

所以，所以，

又，所以

所以直线轴，所以C正确，

由题意可得的坐标分别为，

所以，

所以，所以B正确；

设直线的倾斜角为，则，

所以，

当且仅当轴时取等号，所以D正确，

故选：BCD.

三、填空题

13．若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.

【答案】或

【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.

【详解】抛物线的准线为，

则，解得或，

故抛物线的方程为或.

故答案为：或.

14．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为__________．

【答案】##

【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可．

【详解】由题意，，，故，所以点到平面的距离为．

故答案为：

15．在等比数列中，若，，则_____．

【答案】

【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；

【详解】解：．

∵在等比数列中，，

∴原式．

故答案为：

【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.

16．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为___________.

【答案】

【分析】由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．

【详解】双曲线C与直线有交点，则，，解得，

双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上，

设与轴交于点，由对称性，所以，

所以，

，

所以，由得，所以，

又中，，，

所以，即，

综上，．

故答案为：．

四、解答题

17．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点和点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求经过点且与圆C相切的直线方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为，进而待定系数法求解即可

（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可

【详解】（1）设圆的标准方程为，

由已知得，

解得，

所以圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由直线与圆相切，得，解得，

此时直线的方程为即；

当直线的斜率不存在时，直线为，显然与圆相切．

所以所求直线的方程为或

18．已知等比数列的前n项和，为常数.

(1)求的值与的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，求.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；

（2）利用错位相减法求数列的前项和为即可．

【详解】（1）解：当时，，

当时，，

是等比数列，

，即，所以，

数列的通项公式为；

（2）解：由（1）得

，

，

则．

．

19．如图，底面，底面，四边形是正方形，.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理作答.

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即可求解作答.

【详解】（1）因为底面，底面，则，平面，平面，

所以平面.

（2）依题意，两两垂直，

以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，

而平面DCE，即平面，

则平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，则，

则，，

所以直线与平面所成角的正切值为.

20．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长.

(1)求的方程；

(2)若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a，b即可求解.

（2）根据直线和双曲线的联立以及即可求解.

【详解】（1）根据题意，

，，

所以，

所以.

（2）双曲线C的半焦距，显然直线l不垂直于y轴，

设直线方程为，

联立直线方程和椭圆方程：

，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

解得.

所以直线的方程为：

.

即或.

21．已知数列满足，．

(1)设，证明：是等差数列；

(2)设数列的前n项和为，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过计算来证得是等差数列.

（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.

【详解】（1）因为，

所以数列是以1为公差的等差数列．

（2）因为，所以，

由得．

故，

所以，

，

，

．

22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆C的方程为．

（2）依题意，点，设，

因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．

所以直线斜率必不为0，设其方程为，

与椭圆C联立，整理得：，

所以，且

因为点是椭圆上一点，即，

则，

所以，即

因为

，

所以，此时，

故直线：恒过x轴上一定点．