河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考试理数试题解析

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（     ）

A．       B．         C．           D．

【答案】C

【解析】

试题分析：因为集合中至少有3个元素，所以，所以，故选C．

考点：1、集合的元素；2、对数的性质．

2.复数的共轭复数的虚部是（    ）

A．           B．             C．-1           D．1

【答案】C

【解析】

考点：复数的概念及运算．

3. 下列结论正确的是（    ）

A．若直线平面，直线平面，则

B．若直线平面，直线平面，则

C．若两直线与平面所成的角相等，则

D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则

【答案】A

【解析】

试题分析：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；B中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故B错；C中，若两直线与平面所成的角相等，则可能相交、平行或异面，故C错；D中，若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选A．

考点：空间直线与平面间的位置关系．

【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．

4.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（     ）

A．29            B．31              C．33              D．36

【答案】B

考点：等比数列通项公式及求前项和公式．

【一题多解】由，得．又，所以，所以，所以，所以，故选B．

5.已知实数满足，则的取值范围为（     ）

A．         B．        C．       D．

【答案】D

【解析】

试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，表示的几何意义为区域内的点到点的斜率加上2．因为、，所以，所以由图知或，所以或，即或，故选D．

考点：简单的线性规划问题．

6.若，则的最小值为（    ）

A．8             B．6               C．4             D．2

【答案】C

考点：1、对数的运算；2、基本不等式．

7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（     ）

A．计算数列前5项的和          B．计算数列前5项的和  [来源:ZXXK]

C．计算数列前6项的和         D．计算数列前6项的和

【答案】D

【解析】

试题分析：第一次循环，得；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；第六次循环：，，不满足循环条件，退出循环，输出，即计算数列前6项的和，故选D．

考点：循环结构流程图．

【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．

8.中，“角成等差数列”是“”的（     ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件      C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．

9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（    ）

A．1         B．            C．2           D．

【答案】D

【解析】

试题分析：因为二次三项式对于一切实数恒成立，所以；又，使成立，所以，故只有，即，所以＝，故选D．

考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．

10.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（    ）

A．         B．            C．           D．

【答案】A

考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式．

11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ）

A．         B．       C．         D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由条件知，方程，即在上有解．设，则．因为，所以在有唯一的极值点．因为＝，，，又，所以方程在上有解等价于，所以的取值范围为，故选B．

考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．

12.如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（    ）

A．          B．           C．         D．

【答案】C

【解析】

考点：向量的几何意义．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若实数，且满足，则的大小关系是_____________．

【答案】

【解析】

试题分析：因为，且满足，所以，又，所以，即．

考点：基本不等式．

14.若，则的值为___________．

【答案】0

【解析】

试题分析：由，得，所以或 ．因为，所以，所以＝＋＝＝＝＝．

考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角．

15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．

【答案】80

【解析】

考点：空间几何体的三视图及体积．

【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．

16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是______________．

【答案】

【解析】

考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．

【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）  [来源:ZXXK]

17.（本小题满分12分）已知，集合，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列．　

（1）求数列的通项公式；

（2）记，设数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出中的元素，从而得到，由此可求得数列的通项公式；（2）首先结合（1）求得的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．

考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．

18.（本小题满分12分）已知向量，记．　

（1）若，求的值；　

（2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角的范围，从而求出三角函数值的范围．

试题解析：（1），

由，得，所以．．．．．．．．．．．．．6分

（2）因为，由正弦定理得

，所以，

所以，因为，

所以，且，所以，又，所以，

则，又，则，得，

所以，又因为，

故函数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．

【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角的值是关键，结合三角形形状得到函数的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉，实在可惜．

19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．[来源:]

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（2）解法一：连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影，

∴即为直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角的正弦值为，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

在等腰直角中，，且点是中点，

∴且，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

过点作于点，连接，

由（1）知平面，则，且，

∴即为二面角的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

且直角中，，

又，∴，且二面角为锐二面角，

∴，即二面角的大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

设平面的一个法向量，

由得：

，令，得，则．．．．．．．．．．．．10分

考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．[来源:Zxxk.Com]

【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．

20.（本小题满分12分）已知函数．

（1）若曲线 上点处的切线过点，求函数的单调减区间；

（2）若函数在上无零点，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（2）因为在区间上恒成立不可能，

故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立，

即对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

令，

则．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．

21.（本小题满分12分）已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设．

（1）求的值；

（2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；

（3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．

【答案】（1）；（2）；（3）若时，，函数极小值点为；若时，当时，函数极小值点为，极大值点为（其中，）

【解析】[来源:学*科*网]

试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数的导数可为0，从而对函数求导后解得切点横坐标与的关系，根据不等式得到的范围，进而求得实数的范围；（3）当函数存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．

试题解析：（1）∵，

∴二次函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

关于的不等式的解集为，

也就是不等式的解集为，

∴和 是方程的两个根，

由韦达定理得：，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（3）的定义域为，

∴

方程 （*）的判别式

．

①若时，，方程（*）的两个实根为，或，

则时，；时，，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

此时函数存在极小值，极小值点为可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

综上所述，若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为；若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．

请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理．

23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．

（1）若直线与曲线交于两点，求的值；

（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．

【答案】（1）2；（2）16．

【解析】

考点：

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知使不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．

【答案】（1）；（2）6．

【解析】

试题分析：（1）由条件可知关于的不等式有解即可，因此只需，进而可求出实数的集合；（2）根据条件知道应有，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出的最小值．

试题解析：（1）令，则，

由于使不等式成立，有．．．．．．．．．．．．．．5分

考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．