河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考试文数试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，则（   ）

A．                 B．                    C．                   D．

【答案】C

【解析】

试题分析：，故.

考点：绝对值不等式，一元二次不等式，集合交并补．

2.设复数，则复数的共轭复数为（   ）

A．                   B．                  C．                   D．

【答案】B

【解析】

试题分析：，其共轭复数为.

考点：复数概念及运算．

3.函数的部分图象如图所示，則的值为

（   ）

A．                    B．                 C．                 D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由图可知，，，故，.

考点：三角函数图象与性质．

4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（   ）

A．                          B．                       C．                      D．

【答案】D

【解析】

考点：算法与程序框图．

5.已知数列为等差数列，满足，其中在一条直线上，为直

线外一点，记数列的前项和为，则的值为（   ）

A．                      B．                  C．                  D．

【答案】A

【解析】

试题分析：依题意有，故.

考点：数列求和，向量运算．

6.设、、为的三边长, 若，且，则的大小为

（   ）

A．                           B．                       C．                   D．

【答案】D

【解析】

考点：解三角形．

7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱

中，最长的棱的长度为（   ）

A．                         B．                        C．                 D．

【答案】C[来源:ZXXK]

【解析】

试题分析：由三视图可知，这是一个三棱锥，画出直观图如下图所示，故最长的棱长为.

考点：三视图．

8. 已知数列的前项和为，满足，则数列

的通项（   ）

A．                    B．                    C．                    D．

【答案】A

【解析】

试题分析：当时，，故A选项正确.

考点：数列求通项．

9.若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则

的最小值为（   ）

A．                       B．                       C．                      D．

【答案】D

【解析】

考点：函数图象与性质．

10.已知函数，若实数满足，，则实数的

取值范围是（   ）

A．                             B．

C．                                       D．

【答案】C

【解析】

试题分析：故函数为偶函数，，即，故，解得.

考点：函数奇偶性与单调性．

11.已知数列满足，且，若函数

，记，则数列的前项和为（   ）

A．                           B．                         C．                     D．

【答案】C

【解析】

考点：数列求和．

【思路点晴】由可知数列为等差数列，另外还知道，没有其它特殊的要求，故不妨设，也就是假设为常熟列，每一项都是，然后将代入也就可以求出每一项都是，故前项和为.在选择填空题中，小题小做不要小题大做，往往可以节约很多的时间.

12.已知函数是定义域为的偶函数，当，时，，

若关于的方程有且仅有个不同的实数根，则实数的取

值范围是（   ）

A．或                          B． 或

  C．或                          D． 或

【答案】C

【解析】

考点：分段函数，函数单调性与奇偶性．

【思路点晴】本题考查分段函数，函数单调性与奇偶性，首先我们按照奇偶性画出函数的图象，的图象分成两段，第一段是三角函数，第二段是指数函数.然后处理第二个已知条件，，这是一个可以因式分解的类似二次函数的表达式，我们将它因式分解，也就可以求出，接着我们就可以在的图象上画出这两条直线，两条直线和起来有六个交点.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.如图，正方形中，分别是的中点，若，则

         ．

【答案】

【解析】

试题分析：设正方形边长为，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，故，解得.

考点：向量运算．

14.如果直线与轴正半轴，轴正半轴围成的四边形封闭区

域（含边界）中的点，使函数的最大值为，则的最小值为         ．

【答案】

考点：两条直线的位置关系，基本不等式．

15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数,则不等式

的解集为         ．[来源:]

【答案】

【解析】

试题分析：构造函数，故函数单调递减，，即.

考点：函数导数与不等式．

【思路点晴】本题主要考查函数导数与不等式，构造函数法求解不等式.通过阅读题目，可以知道，这是一个定义在上的函数，有的时候题目还会增加奇偶性.另外给了一个含有导数的式子，像这样的题目我们一般考虑构造函数来做，即构造，利用导数可以知道它是单调递减的，这样我们就可以将要求解的不等式利用单调性求解出来.

16.函数,对任意,存

在,使得成立, 则实数的取值范围是         ．

【答案】[来源:]

【解析】

考点：三角恒等变换，恒成立问题．

【思路点晴】本题考查三角恒等变换，恒成立问题等知识点.题目的关键语句在于“对任意,存在,使得成立,”也就是说，的函数值，都有的函数值和它相对应，由此可知的值域是值域的子集.接下来利用三角函数求最值的方法，求出的值域，进而求得的取值范围.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）已知函数.

（1）求单调递增区间；

（2）求在的最大值和最小值.[来源:Zxxk.Com]

【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为.

【解析】

试题解析：

.

（1）由，解得的单调递增区间为.

（2）由得,因此, 在上的最大值和最小值分别为.

考点：三角恒等变换，三角函数图象与性质．

18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，向量,满足条

件.

（1）求数列的通项公式；

（2）设函数,数列满足条件.

①求数列的通项公式；

②设数列的前项和为.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

试题解析：

（1）因为.当时,. 当时,, 满足上式, 所以.

（2）①,,即,又是以为首项,公差的等差数列..

②,两边同乘得,

以上两式相减得.考点：数列的基本概念，数列求和．

19.（本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、,且

.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题解析：

（1）由正弦定理可得，,从而可得,又为三角形的内角, 所以,于是,又为三角形的内角, 因此.

（2）,由可知,

,从而,因此,故的取值范围为.考点：解三角形，三角恒等变换．

20.（本小题满分12分）已知曲线在点处的切线是.

（1）求实数的值；

（2）若恒成立, 求实数的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列方程组，解得；（2）对分离参数，得恒成立.利用导数求得右边函数的最小值为，故的最大值为.

试题解析：

考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．

21.（本小题满分12分）设函数.

（1）已知函数,求的极值；

（2）已知函数,若存在实数,使得当时,

函数的最大值为,求实数的取值范围.

【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.

【解析】

（1）由已知条件得, ,且函数定义域为,所以,令,得或,

随的变化如下表:

当时,函数取得极大值;当时,函数取得极小值.[来源:学,科,网]

（2）由条件, 得,且定义域为,,当时, 令有或.

①当时, 函数  在上单调递增, 显然符合题意.

②当, 即时, 函数在和上单调递增, 在上单调递减. 此时由题意, 知只需,解得,又,所以实数的取值范围是.

考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图, 过圆外—点作圆的切线,切点为,割线 、割线分别交圆于与、与

.已知的垂直平分线与圆相切.

（1）求证:；

（2）若,求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题解析：

（1）证明: 连接圆相切,, 又为的垂直平分线,

.

（2）由（1）知且为的中点,为的中点, 且为圆的切线,,.

考点：几何证明选讲．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合,若曲线的极坐标系方程为

,直线的参数方程为为参数).

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;

（2）设点直线与曲线交于两点, 求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

试题解析：

（1）由,得,即曲线的直角坐标方程为.由,消去参数,得直线的普通方程.

（2）由（1）知直线的参数方程为转化为,代入曲线的直角坐标方程为得,由韦达定理, 得,则.

考点：坐标系与参数方程．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若,解不等式；

（2）若存在实数 , 使得不等式成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1），，零用零点分段法去绝对值后可求得解集为；（2）先用分析法分析，等价于，即，由基本不等式知，解得.

试题解析：

（1）不等式化为,则或,或,解得,所以不等式的解集为.

考点：不等式选讲．