河北省衡水中学2016届高三上学期第三次调研考试理数试题解析

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题均只有一个正确选项）

1.设，则“”是“”的（  ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C.充要条件      D.非不充分不必要条件

【答案】A

考点：充分条件与必要条件.

【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．

2.若满足则下列不等式恒成立的是（  ）

A.           B.          C.        D.

【答案】D

【解析】

试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得的取值范围为，故不成立；在B处取得最小，故.

考点：线性规划.

3.一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为（  ）

A.      B.        C.        D.

【答案】A

【解析】

试题分析：记题中的等比数列的公比为  .依题意有 ，即 ，得 ，故选A.

考点：等比数列的性质.

4.已知，二次三项式对于一切实数恒成立.又，使成立，则的最小值为（  ）

A.       B.       C.       D. 

【答案】D 

【解析】

试题分析：因为二次三项式ax2 +2x +b≥0对于一切实数x恒成立，所以；又，使成立，所以，故只有，即，所以，故选D。

考点：1.二次函数恒成立问题;2.均值定理的应用3.存在性命题.

5.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是（  ）

A.    B.    C.    D. [来源:学科网ZXXK]

【答案】C

【解析】

试题分析：因为，是方程的两根，所以，所以数列的偶数项均为正值，因为，故．

考点：等比数列的性质.

6.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（  ）

A.         B.        C.           D.

【答案】B

【解析】

试题分析：因为点在圆上，所以，可设，

代入原函数化简为：

，故函数的最小正周期为，

函数的最小值．故应选B．

考点：1.二倍角公式；2.两角和的余弦公式；3.三角函数的周期与最值．

7.在数列中，，若，则等于（  ）

A.    B.    C.    D.

【答案】C

【解析】[来源:学#科#网Z#X#X#K]

试题分析：依题意得，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，当时，

，又，因此，故选C.

考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和公式.

8.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是，，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设,与的函数关系为，则的大致图象是（  ）

A.                        B.

C.                        D.

【答案】A

，∴函数的图象是曲线，且为单调递增，当时，∵，设与

的夹角为，与，∴，∴ ，∴函数的图象是曲线，且为单调递减．故选：A.

考点：1.函数的性质及应用；2.平面向量及应用．

9.设等比数列的前项和为，若，则=（  ）

A.27            B.81           C.243            D.729

【答案】C

【解析】

试题分析：利用等比数列的性质可得， 即，因为，所以时有，从而可得，所以，，故选C.

考点：等比数列的定义及性质.

10.已知函数的最大值和最小值分别是，则为（  ）

A.1          B.2           C.-1             D.-2

【答案】A

考点：三角函数的性质及应用．

11.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（  ）

A.   B.   C.    D.  

【答案】B

考点：1．函数与方程；2．不等式的性质.

【方法点点晴】本题主要考查了函数零点的概念、零点的求法以及数形结合思想；解决此类问题的灌浆时作出两函数图象在同一坐标系中的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再利用数形结合确定零点的取值范围；同是本题在作函数时，应该先作出的图象，然后再将轴下方的图象翻折到轴上方即可.

12.已知正实数，若，则的最大值为（  ）

A.1         B.      C.      D.

【答案】C

【解析】

考点：基本不等式.

【方法点睛】本题主要考查了基本不等式的用法，目的主要考查考生的综合分析能力；本题在解答的关键是对的恰当拆项，和拆项后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式成立的基本条件，即“一正、二定、三相等”；切记要注意“等号”成立的条件.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.已知正实数，且，则的最小值为       .

【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以，得．当且仅当，即时，有最小值．

考点：柯西不等式.

14.若函数在区间是减函数，则的取值范围是       .

【答案】．

【解析】

试题分析：

时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．

考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．

15. 如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设则的最大值等于      .

【答案】

考点：1.简单线性规划；2.平面向量的基本定理及其意义．

【思路点睛】因为本题四边形是边长为1的正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系，然后再利用向量的坐标表示来求解；选择以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，设，所以根据已知条件可得：，所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设，所以z表示直线在y轴上的截距，要求的最大值，只需求截距的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过点时截距最大，所以将点坐标带入直线方程，即可得到的最大值，即的最大值．

16. 若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则       .

【答案】45

考点：1.无穷数列；2.等差数列的前n项和.

【思路点睛】本题考查数列递推式，解答的关键是对题意的理解，由对任意的正整数k，该数列中恰有个，可知数列为：假设在第组中，由等差数列的求和公式求出前n组的和，解不等式，得到值后加1即可得答案．

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17. 如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，.

（1）求证：；

（2）当时，求的长.

【答案】（1）详见解析；（2）

（2）由条件知，设，

则，根据割线定理得,

即即，

解得或（舍去），则         10分

考点：与圆有关的比例线段.

18. 设函数

（1）当时，解不等式：；

（2）若不等式的解集为，求的值.

【答案】（1）; (2)

故，

当时，有，解得．[来源:学.科.网]

当时，则有，解得 ．

综上可得，当或时，f(x)≤2的解集为．

考点：1.带绝对值的函数；2.绝对值不等式的解法．

19. 如图，正三角形的边长为2，分别在三边和上，且为的中点，.

（1）当时，求的大小；

（2）求的面积的最小值及使得取最小值时的值.

【答案】（1）；（2）当时，取最小值.[来源:学科网ZXXK]

（2）＝

．

当时，取最小值．

考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.倍角公式.

【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．

20. 已知为锐角，且，函数，数列的首项.

（1）求函数的表达式；

（2）求数列的前项和.[来源:Zxxk.Com]

【答案】（1） ；（2）

是首项为 ,公比的等比数列, ，，错位相减法得.

考点：1三角函数的化简；2.数列的通项公式和前项和.

21. 已知函数.

（1）设.若函数在处的切线过点，求的值；

（2）设函数，且，当时，比较与1的大小关系.

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）①利用导数几何意义求切线斜率：，函数在处的切线斜率，又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得.（2）由题意，，要确定其最小值，需多次求导，反复确定求单调性，最后确定.

试题解析：（1）由题意，得，

所以函数在处的切线斜率，又，所以函数在处的切线方程，

将点代入，得.

（2）由题意，，

而等价于，

令，则，且，，

令，则，

因， 所以，

所以导数在上单调递增，于是，

从而函数在上单调递增，即.

所以

考点：1.导数几何意义；2.利用导数求函数单调性.

22. 已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围.

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）

试题解析：（Ⅰ）由于，

考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．