河北省衡水中学2017届高三上学期第六次调研考试理数试题解析

河北省衡水中学2017届高三上学期第六次调研考试

理数试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知,则复数（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】，故选A.

2. 已知命题，则是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】根据全称命题和特称命题互为否定的关系可知，是，故选B.

3. 已知是奇函数，且，当时，，则 （    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为是奇函数，且，所以，所以 ，又当时，，所以，所以，故选D.

4. 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 （    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】当时，圆心 到直线 的距离为，故当时，，求得 ，故选：D．

5. 如图，若时，则输出的结果为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】模拟执行程序，可得 ，满足条件; ，满足条件; ，满足条件 ; ，不满足条件 ，退出循环，输出 的值．由于 ．故选C.

6. 已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是 （    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为 ， ∴该几何体的高为 ，底面正六边形平行两边之间的距离为 ， ∴该几何体的侧视图可能是C， 故选C．

7. 已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为120°，则的离心率为 （    ）

A.     B. 2    C.     D.

【答案】A

【解析】设双曲线方程为

，

如图所示， ，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，在 中， ，即有，故点 的坐标为，代入双曲线方程得，即为 ，即 ，则，故选A．

点睛：本题主要考查双曲线的性质——离心率；首先根据题意画出图形，过点 作 轴，得到，通过求解直角三角形得到坐标，代入双曲线方程可得 与 的关系，结合的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．

8. 已知满足约束条件，则的最小值为（    ）

A. -6    B. -3    C. -4    D. -2

【答案】C

【解析】由约束条件得到可行域如图：变形为，当此直线经过图中 时，在 轴的截距最大，最小，所以 的最小值为；故选C.

点睛：一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数，首先，作直线，并将其在可行区域内进行平移；当时，直线在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当时，直线在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.

9. 已知向量满足，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】向量满足，可得，即，解得 ．，所以．故选：B．

10. 若数列满足，且对于任意的都有，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

点睛：裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和.

11. 如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由函数 的部分图象得，即有，从而，而在定义域内单调递增，，由函数 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：，解得，∴，∴函数 的零点所在的区间是；故选B．

12. 已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为 （    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】化简可得 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，故当 时，函数 有极大值 ；当 时，为减函数，作出函数 对应的图象如图：∴函数在 上有一个最大值为 ；

设 ，当时，方程 有 个解，当 时，方程 有 个解，当 时，方程有3个解，当 时，方程有1个解，当 时，方程 有0个解，则方程 等价为 ，等价为方程 有两个不同的根 ，或 ，当 时，方程有1个解，要使关于 的方程 恰好有4个不相等的实数根，则，即，解得，则 的取值范围是 ，故选C.[来源:Zxxk.Com]

点睛：确定函数的零点如果通过解方程较困难得到零点时，通常将的零点转化为求方程的根，再转化为两个新函数的交点问题，此时只要作出它们的图象，借助相关的知识建立与参数相关的不等式或等式即可使问题得到解决．

第Ⅱ卷

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13. 如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线及所围成的阴影部分的面积

①先产生两组的增均匀随机数，；

②产生个点，并统计满足条件的点的个数，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当时，，则据此可估计的值为__________．（保留小数点后三位）

【答案】1.328

【解析】根据题意：满足条件 的点 的概率是矩形的面积为 ，设阴影部分的面积为，则有 ，∴ 故答案为：1.328

14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________．（实际面积-弧田面积）

【答案】

15. 已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得__________．

【答案】

【解析】由  ①；得  ②；①+②得：．所以．

点睛：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．等比数列前n项和公式的推导主要利用错位相减法，其关键点是在前项和的等式两边同时乘以公比，然后利用错位相减求出结果.（错位相减法：针对数列（其中数列分别是等差数列和等比数列（公比）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.…①；2.等式两边同时乘以等比数列的公比，得到…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.）

16. 已知三棱锥平面，其中，，四点均在球的表面上，则球的表面积为__________．

【答案】

【解析】∵ 平面 ，∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，∴球的直径是，∴球的半径；∴球的表面积是，故答案为：.

点睛：本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成；本题在解答时，首先根据且平面，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．

三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，在中，是边上一点．

（1）求中，是边上一点；

（2）若的面积为4，为锐角，求的长．

【答案】（1）；（2）4．

【解析】试题分析：

（1）由余弦定理得，由此能求出 的面积的最大值．（2）设 ，由三角形面积得到，，由余弦定理，得 ，由正弦定理，得 ，由此能求出 的长．

试题解析：

(1)∵在中，，

∴由余弦定理，得

，

∴，

当且仅当时，取等号，

∴,

∴的面积的最大值为；

18. 四棱锥中，底面为直角梯形，，，

，且平面平面．

（1）求证：；

（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）过作，交于，连接，则 ，由勾股定理得出 ，故而 平面 ，于是 ；（2）由于平面平面，平面平面， ∴平面．因此以 为原点建立坐标系，设，求出平面 的平面 的法向量 ，令 解出 ，从而得出的值．

(2)∵平面平面，平面平面， ∴平面．

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，假设存在点，使得二面角的大小为，

则．

设平面的一个法向量为，则，

∴，令，得，

∵平面，

∴为平面的一个法向量．

∴，

解得，∴．

点睛：利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或 （图2）其中.

图1                       图2

19. 某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：

（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；

（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在中的学生数为，

求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中的概率；

②的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）

【答案】（1）；（2）．

试题解析：

(1)本次月考数学学科的平均分为

；

(2)由表，知成绩落在中的概率为，

①设表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中”．

则，

所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中的概率为；

②的可能取值为0，1，2，3

，，

的分布列为

，或，则．

20. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时，．

（1）判断的形状，并求抛物线的方程；

（2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）．

试题解析：(1)设，

则切线的方程为，且，

所以，

，所以，

所以为等腰三角形，且为的中点，

所以，因为，

所以，所以，得，

所以抛物线方程为；

(2)由已知，得的坐标分别为，设，

的中垂线方程为，①[来源:ZXXK]

的中垂线方程为，②

联立①②，解得圆心坐标为 ：，

由，得，[来源:]

因为，所以，

所以点坐标为．

21. 设函数．

（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；

（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；

（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）;（2）；（3）．

【解析】试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，，可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与在处的切线互相垂直，得，即可求出结果．

(2)易知函数的定义域为，可得，由题意，在内有至少一个实根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，进而得到，由此即可求出结果. (3)令，可得，令，则，所以在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，可得，(*)，则在区间内单调递增，在区间内单调递减，

∴，，将(*)式代入上式，得．使得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．

试题解析：

(1)当时，，

∴在处的切线斜率，

由，得，∴，∴．

(2)易知函数的定义域为，

又，

由题意，得的最小值为负，

∴．(注：结合函数图象同样可以得到)，

∴

∴，∴；

(3)令，其中，

则，

则，

则，

∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，

即，可得，(*)

则在区间内单调递增，在区间内单调递减，

∴，，

将(*)式代入上式，得．

根据题意恒成立，

又∵，当且仅当时，取等号，

∴，

∴，代入(*)式，得，

即，又，

∴，∴存在满足条件的实数，且．

点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点）三点．

（1）求证：；

（2）当时，两点在曲线上，求与的值．

【答案】（1）见解析;（2）．

【解析】试题分析：(1)依题意，，利用三角恒等变换，可得，由此即可求出结果；(2)当时，两点的极坐标分别为，再把它们化为直角坐标，，根据曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，由此即可求出结果.

试题解析：

(1)依题意，，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

则

；

(2)当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，

曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，

所以．

23. 选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）若，解不等式；

（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）通过讨论 的范围，得到关于 的不等式组，解出取并集即可； （2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值；若存在实数，使得不等式成立，则，由此即可解出实数 的取值范围．

试题解析：

(1)不等式，化为，

则或或，

解得，

∴不等式的解集为；

(2)不等式等价于，

即，又，

若存在实数，使得不等式成立，

则，解得，

∴实数的取值范围是．