河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考理数试题

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（     ）

A．    B．   C．   D．

2.复数的共轭复数的虚部是（    ）

A．   B．    C．-1    D．1

3.下列结论正确的是（    ）

A．若直线平面，直线平面，则

B．若直线平面，直线平面，则

C．若两直线与平面所成的角相等，则

D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则

4.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（     ）

A．29   B．31    C．33    D．36

5.已知实数满足，则的取值范围为（     ）

A．    B．    C．   D．

6.若，则的最小值为（    ）

A．8    B．6     C．4    D．2

7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（     ）

A．计算数列前5项的和     B．计算数列前5项的和 

C．计算数列前6项的和    D．计算数列前6项的和

8. 中，“角成等差数列”是“”的（     ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（    ）

A．1    B．     C．2    D．

10.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（    ）

A．    B．   C．    D．

11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．   C．  D．

12.如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若实数，且满足，则的大小关系是_____________．

14.若，则的值为___________．

15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．

16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是______________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知，集合，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列．　

（1）求数列的通项公式；

（2）记，设数列的前项和为，求证：．

18.（本小题满分12分）

已知向量，记．　

（1）若，求的值；　

（2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．

19.（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．

20.（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若曲线 上点处的切线过点，求函数的单调减区间；

（2）若函数在上无零点，求的最小值．

21.（本小题满分12分）

已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设．

（1）求的值；

（2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；

（3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，求证：．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．

（1）若直线与曲线交于两点，求的值；

（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知使不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．

参考答案

一、选择题

二、填空题

13.   14．0  15．80  16．

三、解答题

17．解：（1）∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

∴

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18．（1），

由，得，所以．．．．．．．．．．．．．6分

（2）因为，由正弦定理得

，所以，

所以，因为，

所以，且，所以，又，所以，

则，又，则，得，

所以，又因为，

故函数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．（1）证明：

如图，取的中点，连接．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

因，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由平面侧面，且平面，．．．．．．．．．．．．．．3分

得平面，又平面，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

因为三棱柱是直三棱柱，

则底面，所以．

又，从而侧面，

又侧面，故．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）解法一：连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影，

∴即为直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角的正弦值为，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

在等腰直角中，，且点是中点，

∴且，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

过点作于点，连接，

由（1）知平面，则，且，

∴即为二面角的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

且直角中，，

又，∴，且二面角为锐二面角，

∴，即二面角的大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

解法二（向量法）：

由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

设平面的一个法向量，

由得：

，令，得，则．．．．．．．．．．．．10分

设直线与平面所成的角为，则，

得，解得，即，

又设平面的一个法向量为，同理可得，

设锐二面角的大小为，则

，且，得，

∴锐二面角的大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：（1）∵，∴，∴，．．．．．．．．2分

又，∴，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

由，得，

∴函数单调减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）因为在区间上恒成立不可能，

故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立，

即对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

令，

则．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

再令，

则，

故在上为减函数，于是，

从而，，于是在上为增函数，所以，

故要使恒成立，只要，

综上，若函数在上无零点，则的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21．解：（1）∵，

∴二次函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

关于的不等式的解集为，

也就是不等式的解集为，

∴和 是方程的两个根，

由韦达定理得：，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（2）由（1）得，

∴，

∵存在一条与轴垂直的直线和的图象相切，且切点的横坐标为，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

令，则，

当时，，

∴在上为增函数，

从而，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（3）的定义域为，

∴

方程 （*）的判别式

．

①若时，，方程（*）的两个实根为，或，

则时，；时，，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

此时函数存在极小值，极小值点为可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

②若时，当，即时，恒成立，在上为增函数，

此时在上没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

下面只需考虑的情况，由，得或，

当，则，

故时，，

∴函数在上单调递增，

∴函数没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

当时，，

则时，时，时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数存在极大值和极小值，极小值点，有极大值点．

综上所述，若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为；若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22．解：（1）由可知，，

在中，则，因此；．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由，可知，又由（1）可知，

则，由题意，可得，

则，又，即，

又为圆的切线，则，

因此，即．．．．．．．．．．．．．．．10分

23．解：（1）已知曲线 的标准方程为，则其左焦点为．

则，将直线的参数方程与曲线联立，

得，则．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由曲线的方程为，可设曲线上的定点，

则以为顶点的内接矩形周长为，

因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

24．解：（1）令，则，

由于使不等式成立，有．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）知，，

根据基本不等式，

从而，当且仅当时取等号，

再根据基本不等式当且仅当时取等号，

所以的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分