高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程学案

第三节　圆的方程

考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

一、教材概念·结论·性质重现

1．圆的定义及方程

2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　√　)

(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆． (　×　)

(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是． (　×　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0．                            (　　)

2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,1)   B．(－，)

C．(－，)   D．

C　解析：因为原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，

所以(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜．故选C．

3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)

A．(2,3)，3   B．(－2,3)，

C．(－2，－3)，13   D．(2，－3)，

D　解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝．故选D．

4．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋y2＝1 

B．(x－1)2＋(y－1)2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1 

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

B　解析：由得

即所求圆的圆心坐标为(1,1)．

又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，

故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．故选B．

5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是_________．

(－2，－4)　5　解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1．

当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．

当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．

考点1　圆的方程——基础性

1．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＋10y＝0　　 B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0   D．x2＋y2－10x＝0

B　解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则圆的方程为x2＋(g－r)2＝r2．又圆过(3,1)，故32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0．故选B．

2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m的取值范围为(　　)

A． B．

C． D．∪[1，＋∞)

A　解析：根据题意，方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0，变形得[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1．

当且仅当－7m2＋6m＋1＞0，即7m2－6m－1＜0时方程表示圆，

解得－＜m＜1，即m的取值范围为．故选A．

3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．

x2＋y2＋2x＋4y－5＝0　解析：法一：几何法

设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．

又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，

即

＝，解得a＝－2，

所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．

法二：待定系数法

设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意得

解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．

法三：待定系数法

设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心坐标为．

由题意得

解得D＝2，E＝4，F＝－5．

故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．

考点2　与圆有关的轨迹问题——综合性

(2021·衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

解：(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．

因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．

又kAC＝，kBC＝，

所以·＝－1，

化简得x2＋y2－2x－3＝0．

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

(2)设M(x，y)，C(x0，y0)．因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．

由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．

因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

将本例的条件变为：点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为，试求点M的轨迹方程．

解：设点M(x，y)，由题意得＝，

整理得x2＋y2＋2x－3＝0．

1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

A　解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．故选A．

2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．

解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，

则线段OP的中点坐标为，

线段MN的中点坐标为．

因为平行四边形的对角线互相平分，

所以＝，＝，

整理得

又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，

所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4．

所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与点P的轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和．

考点3　与圆有关的最值问题——应用性

考向1　斜率型、截距型、距离型最值问题

已知点M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．

(1)求m＋2n的最大值；

(2)求的最大值和最小值．

解：(1)依题意，圆心C(2,7)，半径r＝2．

设m＋2n＝t，则点M(m，n)为直线x＋2y＝t与圆C的公共点，

所以圆心C到该直线的距离d＝≤2，

解得16－2≤t≤16＋2．

所以m＋2n的最大值为16＋2．

(2)设点Q(－2,3)．

则直线MQ的斜率k＝．

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0．

由直线MQ与圆C有公共点，

得≤2，

解得2－≤k≤2＋，

即2－≤≤2＋．所以的最大值为2＋，最小值为2－．

本例的条件不变，试求的最大值．

解：易知(0,0)在圆外，所以＝，所以所求的最大值为圆上的点到原点距离的最大值．

因为圆心C(2,7)，半径r＝2，

所以圆上的点到原点距离的最大值d＝＋2＝＋2．

考向2　利用对称性求最值

已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5－4   B．－1

C．6－2   D．

A　解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4．作圆心C1(2,3)关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4．故选A．

1．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．

　解析：x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示圆的一半，如图．设P(x，y)是此曲线上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝．又kBQ＝3，所以所求范围是．

2．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为__________．

12　解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4．

因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，

所以x2＋(y－3)2＝1,2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，

所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．

因为2≤y≤4，

所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12．