高考数学一轮复习第8章第2节两直线的位置关系、距离公式学案

第二节　两直线的位置关系、距离公式

考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．

2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．

一、教材概念·结论·性质重现

1．两条直线的位置关系

(1)利用斜率关系判断

对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．

特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；

当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．

(2)利用方程判断

l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，

特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．

(3)两直线相交

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解．

2．三种距离

(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．                             (　×　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．

  (　×　)

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为． (　×　)

(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．

  (　×　)

2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为(　　)

A．0　　　B．－8　　　C．2　　　D．10

B　解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．

3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　)

A．x－y＋1＝0   B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0   D．x＋y－1＝0

A　解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．

4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．

C　解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．

5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为________．

　解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．

考点1　两直线平行与垂直判定及应用——基础性

1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．

2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为(　　)

A．   B．3 

C．5   D．

C　解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，

所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，

所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，

所以a2＋b2的最小值为5．

3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．

0或－2　解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，

即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．

1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．

2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．

考点2　两直线的交点、距离问题——综合性

(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)

A．4   B． 

C．   D．

B　解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．

(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　)

A．－24   B．24  C．6   D．±6

A　解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．

本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．

解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．

由解得所以交点坐标为．

1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)

A．(1,2)  　 B．(2,1)

C．(1,2)或(2，－1)  　 D．(2,1)或(－1,2)

C　解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．

2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

C　解析：由得即直线l过点Q(1,2)．

因为|PQ|＝＝>2，

所以满足条件的直线l有2条．故选C．

考点3　对称问题——应用性

考向1　点关于点对称

过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．

x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．

考向2　点关于直线的对称点

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．

　解析：设A′(x，y)，

由已知得

解得故A′．

考向3　直线关于直线的对称

已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)

A．x－2y＋1＝0   B．x－2y－1＝0

C．x＋y－1＝0   D．x＋2y－1＝0

B　解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．

1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)

A．2x＋3y＋5＝0  　　 B．3x－2y＋5＝0

C．3x＋2y＋5＝0  　　 D．2x－3y＋5＝0

B　解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0．故选B．

2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝(　　)

A．   B．－ 

C．2   D．－2

C　解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．