高考数学一轮复习第8章第6节双曲线学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第6节双曲线学案，共17页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第六节　双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．了解双曲线的简单几何性质．

一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．
(1)当a (2)当a＝c时，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；
虚轴|B1B2|＝2b；
实半轴长a，虚半轴长b
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径)．
过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为；与两支相交所得弦长的最小值为2a．
(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝．
(6)双曲线－＝1(a>0，b>0)的形状与e的关系：|k|＝＝＝，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔．
(7)－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a＞0，b＞0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1．
(8)已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，与其渐近线相同的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　×　)
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　×　)
(3)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0． (　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于． (　√　)
2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　　)
A．28
B．14－8
C．14＋8
D．8
C　解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝8，所以|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋8＝14＋8．故选C．
3．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
C　解析：双曲线－＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x．
4．焦点是(0，±2)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是(　　)
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
D　解析：由已知，得双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线．故选D．
5．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
－＝1　解析：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1，
把A(3，－1)代入方程得－＝1，a2＝8，所以双曲线的标准方程为－＝1．
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1，
把A(3，－1)代入方程得－＝1，a2＝－8(舍)．
故所求双曲线方程为－＝1．


考点1　双曲线的定义——基础性

1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A．x＝0 B．－＝1(x≥)
C．－＝1 D．－＝1或x＝0
D　解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．
在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；
在③的情况下，设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－．
故得|MC1|－|MC2|＝2；
在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2．
由③④得|MC1|－|MC2|＝±2．已知|C1C2|＝8，
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为－＝1．故选D．
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)
A．19 B．26
C．43 D．50
B　解析：如图所示，由双曲线的定义

可得
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，
所以△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|
＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26．

1．定义理解：①距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支．
②2a<|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在．
2．方程理解：
①求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则x2与y2的系数会错．
②注意a，b，c的关系易错易混．大小关系c>a>0，c>b>0；数量关系c2＝a2＋b2．这两个关系与椭圆中的均不同，不能混淆．

考点2　双曲线的标准方程——综合性

(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　解析：椭圆＋＝1的焦点坐标为(±3,0)，则双曲线的焦点坐标为(±3,0)，可得c＝3，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，即＝，可得＝，解得a＝2，b＝，所求的双曲线C的方程为－＝1．故选B．
(2)(多选题)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
ACD　解析：对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．
对于C，当m＞0，n＜0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x；当m＜0，n＞0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝ ，b＝，渐近线方程为y＝± x，故C正确．
对于D，当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± ，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．

将本例(2)的方程变为(m－1)x2＋my2＝m(m－1)(m∈R)，则该方程可以表示哪些曲线？
解：对于方程(m－1)x2＋my2＝m(m－1)，
①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴．
②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴．
③当m≠1，且 m≠0时，方程即＋＝1，
若m＝m－1，即m∈∅时，方程不可能是圆；
若m(m－1)＜0，方程表示双曲线；
若m(m－1)＞0且m≠m－1，方程表示椭圆．

求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值；与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；也可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

1．若双曲线－y2＝1的焦距为8，则实数m的值是(　　)
A． B．
C．15 D．17
C　解析：由题意知：2c＝8，c＝4，a2＝m，b2＝1，
因为c2＝a2＋b2，所以16＝m＋1，解得m＝15．故选C．
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
A　解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，
所以＝2，且左焦点为(－5,0)．所以a2＋b2＝c2＝25．解得a2＝5，b2＝20．
故双曲线方程为－＝1．故选A．

考点3　双曲线的几何性质——应用性

考向1　双曲线的渐近线
已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点．若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
B　解析：设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，四边形AFBF′是矩形，所以
S△ABF＝S△AFF′，即bc＝8，由得y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，C的渐近线方程为y＝±x．故选B．

求双曲线的渐近线的方法
(1)由条件求出a，b的值，根据双曲线焦点的位置写出渐近线方程．
(2)由条件c2＝a2＋b2得到关于a，b的方程，构造关于的方程，通过解方程求，进而写出渐近线方程．
考向2　双曲线的离心率
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．3
C　解析：取AB的中点D，连接DF2，设AF2＝m，则AF1＝m－2a，BF1＝AF1＋BA＝2m－2a．因为BF1－BF2＝2m－2a－m＝m－2a＝2a，
所以m＝4a，DF1＝4a，DF2＝2a，
从而F1F2＝2c＝＝2a，e＝＝．故选C．


求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
考向3　与双曲线有关的最值和范围问题
(2021·洛阳模拟)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
B　解析：由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9．

与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决．

1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋y－4＝0垂直，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．4
C　解析：由题意可知·＝－1，所以＝，
所以e＝＝＝2．故选C．
2．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1＋，＋∞) 　　 B．(1,1＋)
C．(2，＋∞) 　　 D．(2,1＋)
C　解析：因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
所以∠AEF＝∠BEF．
因为∠AEB是钝角，所以AF＞EF．
因为F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
所以AF＝．
因为EF＝a＋c，所以＞a＋c，即c2－ac－2a2＞0．
解得＞2或<－1．
双曲线的离心率的范围是(2，＋∞)．故选C．

拓展考点　焦点三角形
椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边．
(1)在椭圆中，
①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c．
②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ．
③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得)．
④S＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc．
(2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S＝＝c·|yP|．

已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝，
即cos 60°＝＝－1≥－1＝－1＝1－＝1－2e2，当且仅当m＝n时取“＝”，所以e2≥．
又e∈(0,1)，所以e∈．
(2)证明：由(1)，知cos 60°＝＝－1，所以mn＝b2，
所以S＝mnsin 60°＝b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积．

解：在△MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ．①
因为|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
所以①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，
所以|MF1|·|MF2|＝，
所以S＝|MF1|·|MF2|·sin θ＝＝＝．


已知A，F，P分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．1＋
[四字程序]
读
想
算
思
A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上的动点
1．双曲线的离心率的表达式是什么？
2．如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式子
设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系
数形结合
∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率
1．e＝＝．
2．转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系
tan∠PFA＝tan 2α＝

利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题


思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．
C　解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，
不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°．

在双曲线－＝1中，令x＝c，易得P．
因为tan∠PAF＝1，所以＝a＋c，
所以c2－ac－2a2＝0，
所以(c＋a)(c－2a)＝0，
解得c＝2a，即e＝2．

思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．
C　解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝＝．
设点P(x0，y0)，故－＝1．①
因为k2＝，k1＝，
所以＝．②
联立①②消去y0得：
x＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)
当且仅当时，(*)式恒成立，
此时e＝＝2．

思路参考：构造相似三角形，结合平面几何知识求解．
C　解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，
△ACD∽△BAD，故＝，
所以c2－b2＝ab，反之亦然．

图1
在双曲线中，设点P(x0，y0)，
过点P作PM⊥AF，如图2．

图2
因为∠PFA＝2∠PAF，
同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|．
又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，
所以|PF|＝2x0＋a－c．
由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，
所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝＝2．

思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．
C　解析：如图，作PM⊥AF于点M，

设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．
在Rt△PAM中，tan α＝，
在Rt△PFM中，tan 2α＝．
因为tan 2α＝，
所以＝，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－b2，
所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝m2＋2am＋c2恒成立．
所以所以e＝＝2．

1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．
2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．

已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A． B．2
C． D．2
D　解析：(方法一)由离心率e＝＝，得c＝a．又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2．
(方法二)离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2．