新高考数学一轮复习学案第9章第3讲 圆的方程（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第9章第3讲 圆的方程（含解析），共13页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．圆的方程
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．
二、教材衍化
1．圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标________，半径________．
答案：(1，－2) eq \r(11)
2．若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为________．
答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝18
3．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
答案：x2＋y2－2x＝0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0；
(2)错用点与圆的位置关系判定．
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A．eq \f(1,4)＜m＜1 B．m＜eq \f(1,4)或m＞1
C．m＜eq \f(1,4) D．m＞1
解析：选B．由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜eq \f(1,4)或m＞1.
2．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，
所以－1＜a＜1.
答案：(－1，1)
考点一 求圆的方程(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
核心素养：数学运算
(1)圆心在x轴上，半径长为2，且过点A(2，1)的圆的方程是( )
A．(x－2－eq \r(3))2＋y2＝4 B．(x－2＋eq \r(3))2＋y2＝4
C．(x－2±eq \r(3))2＋y2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝4
(2)(一题多解)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
【解析】 (1)根据题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为圆过点A(2，1)，所以(2－a)2＋12＝4，解得a＝2±eq \r(3)，所以所求圆的方程为(x－2±eq \r(3))2＋y2＝4.
(2)法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即eq \r((2a＋3－2)2＋(a＋3)2)
＝eq \r((2a＋3＋2)2＋(a＋5)2)，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝eq \r(10)，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((2－a)2＋(－3－b)2＝r2，,(－2－a)2＋(－5－b)2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
【答案】 (1)C (2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
eq \a\vs4\al()
求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
1．(2020·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆方程是________．
解析：设三角形OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,4＋16＋2D＋4E＋F＝0，,36＋4＋6D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－6，,E＝－2，))故三角形的外接圆方程为x2＋y2－6x－2y＝0.
答案：x2＋y2－6x－2y＝0
2．若圆C经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，设圆心为(2，m)，又因为圆与直线y＝1相切，
所以eq \r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq \f(3,2)，
所以圆C的方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4).
答案：(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4)
考点二 与圆有关的最值问题(综合型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想．
角度一 借助几何性质求最值
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【解】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．
(1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)(如图1)．
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为eq \r((2－0)2＋(0－0)2)＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
eq \a\vs4\al()
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
角度二 建立函数关系求最值
设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
【解析】 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.
【答案】 10
eq \a\vs4\al()
建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．
1．(2020·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
解析：由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
答案：12
2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq \f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________．
解析：由题意，得eq \f(y＋1,x)表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点P(x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4±\r(7),3)，所以zmax＝eq \f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq \f(4－\r(7),3).
答案：eq \f(4＋\r(7),3) eq \f(4－\r(7),3)
考点三 与圆有关的轨迹问题(综合型)
已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解】 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
eq \a\vs4\al()
与圆有关的轨迹问题的四种求法

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)法一：设C(x，y)，
因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[基础题组练]
1．已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
解析：选C．根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2．(2020·河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2－y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：选C．由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m＞0)，则eq \f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq \f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选C．
3．方程|x|－1＝eq \r(1－(y－1)2)所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((|x|－1)2＋(y－1)2＝1，,|x|－1≥0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((x－1)2＋(y－1)2＝1，,x≥1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((x＋1)2＋(y－1)2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示两个半圆．
4．(2020·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )
A．1＋eq \r(2) B．2
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．2＋2eq \r(2)
解析：选A．将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq \r(2)＋1，选A．
5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A．设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．
答案：(－2，－4) 5
7．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________．
解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((1－a)2＋16＝r2，,(3－a)2＋4＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,r2＝20.))所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
答案：(x＋1)2＋y2＝20
8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是________．
解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1，0)，由点A，C关于x＋y－1＝0对称得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a＋1)×(－1)＝－1，,\f(a－1,2)＋\f(b,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))又因为圆的半径是1，
所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，
即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
答案：x2＋y2－2x－4y＋4＝0
9．求适合下列条件的圆的方程．
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4a，,(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))
解得a＝1，b＝－4，r＝2eq \r(2).
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r＝eq \r((1－3)2＋(－4＋2)2)＝2eq \r(2)，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，
则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
[综合题组练]
1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D．由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D．
2．设点P是函数y＝－eq \r(4－(x－1)2)的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )
A．eq \f(8\r(5),5)－2 B．eq \r(5)
C．eq \r(5)－2 D．eq \f(7\r(5),5)－2
解析：选C．如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝eq \r(5)，|PQ|min＝|CA|－2＝eq \r(5)－2.故选C．
3．(应用型)已知平面区域eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥0，,x＋2y－4≤0))恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
因为△OPQ为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝eq \f(|PQ|,2)＝eq \r(5)，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
4．(应用型)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)
5．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,(x0＋1)2＝\f((y0－x0＋1)2,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
6．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则eq \r(a2＋(2a－4)2)＝2，
解得a＝2或a＝eq \f(6,5)，
所以点P的坐标为(2，4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(12,5))).
(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，
整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))
所以该圆必经过定点(0，4)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5))).标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)
半径为r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件：D2＋E2－4F＞0
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)