2023年广东省深圳市龙岗区坪地中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市龙岗区坪地中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列互为倒数的是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.  式子与的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即亿，用科学记数法表示亿是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的直径，点、在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  由个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，都在格点上，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，若的面积为，则函数的图象为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在矩形中，，，点从点出发，按的方向在边和上移动，记，点到直线的距离为，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知，则______．

12.  在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线顶点坐标是        ．

13.  拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是，坝高，则坡面的长度是______

14.  如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是______．

15.  如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，点坐标为，且，反比例函数经过点，则的值为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算．

17.  本小题分
为了培养学生的创新精神和实践能力，某校组织学生到技师学院开展了为期一周的社会实践活动每位同学可以在“机器人，面塑，电烙画，摄影”四门课程中选择一门为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，学生转动转盘一次，指针指到的课程即自己参加的实践课程．
乐乐是该校的一名学生，乐乐参加“摄影”实践课程的概率是        ；
果果和贝贝是好朋友，他们想参加相同的实践课程，请你用画树状图或列表的方法求他们参加相同实践课程的概率四门课程用所对应的字母表示

18.  本小题分
为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
求的度数；
已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？参考数据：，

19.  本小题分
海安宾馆有个房间供游客居住当每个房间的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加元时，就会有一个房间空着设房价为元．
求宾馆每天的营业额与房价的函数关系式；
若有游客居住时，宾馆需要对每个房间支出元的各种费用房价定为多少时，宾馆利润最大？利润营业额支出

20.  本小题分
如图，在中，以为直径的交于点，点在上，连接，，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．
 

22.  本小题分
综合与探究
在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处．

如图，若，求的度数；
如图，当，且时，求的长；
如图，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
和互为倒数，符合题意；
B、，
和不互为倒数，不符合题意；
C、，
和不互为倒数，不符合题意；
D、，
和不互为倒数，不符合题意．
故选：．
根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两个数叫互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
与的公因式是．
故选：．
把式子与分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
本题考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是确定公因式的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
没有实数根，故选项不符合题意；
B.，
有两个相等实数根，故选项符合题意；
C.，
有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
D.，
有两个不相等实数根，故选项不符合题意．
故选：．
分别计算的值，并判断结果与的关系，即可得到答案．
此题考查了一元二次方程根的判别式，准确计算并作出判断是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【解答】
解：数据亿用科学记数法表示为，
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
设袋子中红球有个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于的方程，求出的值，从而得出答案．
【解答】
解：设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
袋子中红球的个数最有可能是个，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
是的直径，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理求出和，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
【解答】
解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

设菱形的边长为，由题意得，，
，，
，
，
，
、、共线，
在中，．
故选：．
如图，连接、，先证明，、、共线，再根据，求出、即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，
点在第一象限且在函数的图象上，
，即．
一次函数的解析式为：，
一次函数的图象是经过点，的直线．
故选：．
先根据反比例函数系数的几何意义，求出的值等于，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点，即可确定选项．
考查了反比例函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象，解答此题的关键是根据反比例函数系数的几何意义求出的值，再根据一次函数解析式确定一次函数的图象与坐标轴的交点．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在上运动时，的值恒为，
当点在上时，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，，，
，
，
当时，取得最小值，
故选：．
根据题意和图形可知，当点在段时，的值是定值，当点在段时，随的变化而变化，然后根据相似三角形的判定和性质，可以得到和的关系，再根据题意，可以得到的取值范围，从而可以得到的最小值．
本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案是：．
由得到，代入所求的解析式，进行化简即可求解．
本题考查了代数式的求值，以及完全平方公式，正确理解公式是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后所得抛物线的解析式为，
得到的抛物线顶点坐标是．
故答案为：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：迎水坡的坡比是：，坝高，
，
解得，
则．
故答案为：．
利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
正方形的面积是，
的面积是，
阴影部分的面积是，
故答案是：．
根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，作于，

，
，
是斜边上的中点，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函数经过点，
，
故答案为：．
连接，作于，易证得，，解直角三角形求得，然后根据三角形相似证得，即可得到，利用勾股定理求得的坐标，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】 

【解析】解：共有四门课程，分别是机器人、面塑、电烙画、摄影，
乐乐参加“摄影”实践课程的概率是，
故答案为：；
根据题意列表如下：

共有种等可能的结果，其中他们参加相同实践课程的有种，
则他们参加相同实践课程的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意先列出图表得出所有等可能的情况数和他们参加相同实践课程的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得，，，
．
作于，如图．
则是等腰直角三角形，
．
设海里，
由题意得：海里，
在中，，
即，
解得：，且符合题意，
海监船继续向正东方向航行安全． 

【解析】由题意得，，，由三角形内角和定理即可得出答案；
作于，则是等腰直角三角形，，设海里，求出海里，在中，由三角函数定义得出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得：，
宾馆每天的营业额与房价的函数关系式为；
由题意得：


，
，
当时，最大，最大值为，
答：房价定为元时，宾馆利润最大． 

【解析】根据营业额房价房间数列出函数解析式即可；
根据利润营业额支出列出函数解析式，再由函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数的应用、一元一次不等式等知识，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：是的直径，
。
，，
，
．
是的半径，且，
是的切线．
解：，，
．
设，则，
，
，解得，
．
，
，
．
，
，
或不符合题意，舍去，
的长是． 

【解析】由是的直径，得，由，得，即可证明是的切线．
由，，得，设，则，，所以，则，所以，由，得，则，即可求得．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
 

21.【答案】解：把代入得：，
．
把代入得：，
，
将，代入得：
，解得：，
抛物线的表达式为；

过点作轴于点，

设，则，，，
则，

，
当时，有最大值，最大值为．

存在，理由：
，
．
又，，
，，，
，
．
如图所示：连接．

，，
，．
，
又，
∽．
当的坐标为时，∽．
过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，
解得：．
．
过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，
解得：．
，
综上所述：当的坐标为或或时，以，，为顶点的三角形与相似． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，即可求解；
分∽、∽、∽三种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；

将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
，
；

过点作于点，

，
，
，
，
，，
∽，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得

． 

【解析】由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，可求出，求出，由勾股定理求出，则可求出，即可求出的长；
过点作于点，证明∽，，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．