2023年广东省深圳市坪山区中考数学二模试卷(含解析)

2023年广东省深圳市坪山区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列数学曲线中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  爱好运动的小颖同学利用“微信运动”这一公众号，连续记录了天每天的步数单位：万步分别为：，，，，，，，，则这组数据的中位数(    )

A.  B.  C.  D.

6.  政府工作报告中指出：年国内生产总值预期增长目标左右，城镇新增就业万人左右，将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点到的距离(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：，，，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，根据图象可知，下列说法不正确的是(    )

A. 与的函数关系式是
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，的变化范围是

10.  如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  是关于的一元二次方程的一个根，则 ______ ．

13.  如图，在中，，根据尺规作图痕迹，作射线，与相交于点当时，的长是______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，菱形在第二象限内，边与轴平行，、两点纵坐标分别为、，反比例函数的图象经过、两点，若菱形的面积为，则的值为______ ．

15.  如图，在中，，，是边上一点，且是延长线上一点，连接交于，若，则的长度为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
国家航天局消息：北京时间年月日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：

此次调查中接受调查的人数为______ 人；
补全图条形统计图；
该校共有人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共______ 人；
该校九年一班非常关注的学生有、、、四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，则恰好抽到、两位同学的概率为______ ．

19.  本小题分
某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：

已知花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等．
求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元？
若该文具店准备购进这两种水笔共支，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不少于乙种水笔数量的倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元？

20.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且该抛物线的顶点在直线上．
填空： ______ ， ______ ；
将抛物线沿直线平移，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．

21.  本小题分
课本呈现：如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角有关当球员在，处射门时，则有张角某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角．
问题探究：如图，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有．
小明证明过程如下：
设直线交圆于点，连接，则
______
______

如图，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由．
问题应用：如图，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为______ 米
问题迁移：如图，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数参考数据：，，，，
 

22.  本小题分
在正方形中，点是对角线上的一点，且，将线段绕着点顺时针旋转至，记旋转角为，连接、，并以为斜边在其上方作∽，连接．
特例探究：如图，当，时，线段与的数量关系为______ ；
问题探究：如图所示，在旋转的过程中，
中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；
当，时，若，求的长度；
拓展提升：若正方形改为矩形，且，其它条件不变，在旋转的过程中，当、、三点共线时，如图所示，若，，直接写出的长度用含的式子表示

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在实数，，，中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，是一列两个全等的矩形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：把天每天的步数从小到大排列为：、、、、、、、，
则排在中间的两个数的平均数为，
所以中位数是．
故选：．
把这组数从小到大排列，求出中间的两个数的平均数即可．
本题考查了计算一组数据的中位数的知识，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
点到的距离为，
故选：．
过点作，垂足为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长交于点，

，
，
，
，
，
．
故选：．
直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，
把代入上式得，，
，
，
故选项A正确，不符合题意，
当时，，
故选项B正确，不符合题意，
由图象可得，当时，，
故选项C不正确，符合题意，
当时，，时，，
时，，
故选项D正确，不符合题意，
故选：．
设，把代入求出，即可判断；令，求出，即可判断；结合图象即可判断；当或时，求出的对应值，即可判断．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，求出函数解析式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形为矩形，
，
，，是的中点，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
．
故选：．
根据题意可得，在根据勾股定理求出，由折叠可知，，于是，根据等腰三角形的三线合一性质得，，因此，根据同角的余角相等得，以此可证明∽，根据相似三角形的性质可求出的长，据此即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，利用折叠的性质和等腰三角形的性质推理论证出是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：
．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入原方程得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
由作图得：，
，
，
故答案为：．
先根据勾股定理求出，再根据等角对等边及线段的和差求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
、两点的纵坐标分别是、，反比例函数经过、两点，
，，即，，
，
，
又菱形的面积为，
，
即，
整理得，
解得，
函数图象在第二象限，
，即，
故答案为：．
根据函数解析式和、点的纵坐标，分别写出、点的坐标，根据菱形的面积，得出关于的方程，解方程得出正确取值即可．
本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
，，
∽，
，即，
，
．
故答案为：．
作于，根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出，，利用勾股定理求得，通过证得∽，求得，通过证得∽，求得，从而求得．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定理是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，将的值代入可得答案．
本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】    

【解析】此次调查中接受调查的人数为：人，
故答案为：；

“非常关注”的人数为：人，
补全条形统计图如下：

由题意得：人，
故答案为：；

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到、两位同学的结果有种，
恰好抽到、两位同学的概率．
故答案为：．
由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；
求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有人数乘以该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到、两位同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为元、元；
设利润为元，甲种水笔购进支，则乙种水笔购进支．
利润，

随的增大而减小，
购进甲种水笔的数量不少于乙种水笔数量的倍，

解得，，
为整数，
当时，取得最大值，最大值，
此时，，
答：该文具店购进甲种水笔支，乙种水笔支时，能使利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
设利润为元，甲种水笔购进支，则乙种水笔购进支．列出方程求得利润的解析式再分析即可．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

20.【答案】   

【解析】解：抛物线经过点，
，
，
抛物线的顶点为，顶点在直线上．
，
；
故答案为：，；
设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为；
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴交点的纵坐标为，
，

时平移后的抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为．
利用抛物线的解析式求得顶点的坐标，把点的坐标代入即可求得的值，把点的坐标代入即可求得的值；
设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，由顶点在直线上得到，从而得到，利用二次函数的性质即可求得平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：问题探究：设直线交圆于点，连接，则，
，
，
，
故答案为：、；
同意，
证明如下：设直线交圆于点，连接，则，
，
，
；
问题应用：过点，作与相切于，由可知，此时射门最好，，
与相切，
，
，
米，
米，
故答案为：；
问题迁移：如图，作线段的垂直平分线交于点，点满足题意．

过、两点，作使其与直线相切，切点为，设交于点，设，则，
，
四边形是矩形，
，，
，，
在中，，
，
，
，
：，
，
，
，
，
最大视角是．
问题探究：由三角形外角的性质可得出答案；
设直线交圆于点，连接，则，由三角形外角的性质及圆周角定理可得出结论；
问题应用：过点，作与相切于，由可知，此时射门最好，，由切线的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案；
问题迁移：作线段的垂直平分线交于点，过、两点，作使其与直线相切，切点为，设交于点，设，则，由勾股定理及直角三角形的性质可得出答案．
本题主要考查作图应用与设计作图，了解直角三角形、直线和圆相切等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序求解是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：当时，则点在上，
∽，
，
，
，
，
故答案为：；
依然成立，理由如下：
正方形，
，
∽，

，，
，
∽，
，
；
，
，
，
，
，，
，
，
过作于，

，，，
，
，
由可知，，
；
过作于，则，，
∽，
，
，
，
、、三点共线，

，
设，
则，
解得：，
，
由同理得，∽，
，
．
根据∽，得，即可得出；
由∽得，，，从而证明∽，得；
过作于，通过解，得出的长，再根据中和的关系可得答案；
过作于，则，，由∽，得，则，设，则，可得，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，三角函数等知识，熟练掌握旋转相似必成双是解题的关键．