2022年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

2. 一元二次方程的根的情况是   

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

3. 若与都是反比例函数图象上的点，则的值是

A.  B.  C.  D.

4. 解一元二次方程，配方后正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是

A.
B.
C.
D.

8. 下列命题：
   有一个角等于的两个等腰三角形相似；
   对角线互相垂直的四边形是菱形；
   一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形；
   对角线相等的平行四边形是矩形．
   其中真命题的个数是

A.  B.  C.  D.

9. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是

A.
B.
C.
D.
 

10. 如图，中，，，，于，若将绕点逆时针方向旋转得到，当点恰好落在上，连接则的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 方程的解为______．
12. 如图，在中，，，，则的值是______．
     

13. 一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球，从布袋里摸出个球，则摸到的球是红球的概率是______．
14. 如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点和边的一点，且，若点的坐标为，则的值为______．

15. 如图，在正方形中，，为对角线上任意一点不与、重合，连接，过点作，交线段于点连接交于点若：：，则的值为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）

16. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
    绘制函数图象，
    列表：下表是与的几组对应值，其中______．

描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：______；填写代号
函数值随的增大而增大；关于轴对称；关于原点对称；
在上图中，若直线交函数的图象于，两点在左边，连接过点作交轴于则______．

18. 如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高米的小聪在地面处时开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为，当他在地面处时，此时在额头处测得的仰角为，如果测温箱顶部处距地面的高度为米，求、两点的距离．结果保留一位小数，，，
    
     

19. 如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与交于点，连接并延长交的延长线于点，且．
    求证：为的切线；
    若，，求的半径．
     

20. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件元，每月销售量件与销售单价元之间的函数关系如图所示．
    求出每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；
    设每月获得的利润为元这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？

21. 已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点．
    问题发现：
    如图，若四边形是正方形，且于，则______；
    如图，当四边形是矩形时，且于，，，则______；
    拓展研究：
    如图，若四边形是平行四边形，且时，求证：；
    解决问题：
    如图，若，，，于，请直接写出的值．

22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点，其中，．
    求该抛物线的解析式；
    如图，点，是线段上的两点在的右侧，，过点作轴，交直线上方抛物线于点，过点作轴于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
    如图，在取得面积最大的条件下，连接，将线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，为轴上的动点，是否存在以为直角边的等腰？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：从左边看是一个正方形被水平的分成部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
方程有两个不相等的两个实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

3.【答案】
 

【解析】解：与都是反比例函数图象上的点，
，
，
故选：．
反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，据此可得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于定值是解答此题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，即，
故选：．
两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

5.【答案】
 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是．
故选：．
根据图象的平移规律，可得答案．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
，
，，，
，
，
故选：．
直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
而，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，由于，所以，然后解方程即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】
 

【解析】解：有一个角等于的两个等腰三角形相似，是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法是假命题；
一个角为且邻边相等的四边形是正方形，故原说法是假命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，
故真命题有，共个，
故选：．
根据相似三角形判定定理，菱形、正方形、矩形的判定定理逐项判断即可．
本题考查命题与定理，掌握相似三角形判定，菱形、正方形、矩形的判定是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，
，
二次函数的图象的对称轴在轴的左侧，且交轴的负半轴，
，，
反比例函数的图象必在一、三象限，一次函数的图象必经过一三四象限，故D正确．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，

，，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
设，，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点，由锐角三角函数的定义求出，，由勾股定理求出的长，由旋转的性质得出，，，证出，设，，由勾股定理得出，求出可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

11.【答案】，
 

【解析】解：，
，
或，
或．
故答案为：，．
把方程的左边分解因式得，得到或，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
故答案为：．
首先利用勾股定理计算出，再根据正弦定义进行计算．
此题主要考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角的对边与斜边的比叫做的正弦．
 

13.【答案】
 

【解析】解：布袋装有个只有颜色不同的球，个红球，
从布袋里摸出个球，摸到红球的概率．
故答案为：．
直接根据概率公式求解即可．
本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：作轴于，轴于，
四边形是菱形，点的坐标为，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，，
设，，则，，
点、在反比例函数的图象上，
，
，
，
，，
在中，，
，解得，
，
，
故答案为：．
作轴于，轴于，易证得∽，得出，设，，则，，利用反比例函数系数得出，求得，即可利用勾股定理求得的值，从而得出的坐标，进一步得出．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，表示出、的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，

≌，，
，，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
≌，
，
：：，
设，则，
在中，，则，
正方形的边长为，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
．
故答案为：．
把绕点逆时针旋转得到，连接，先证≌得，由：：可设，则，继而知，，由可求出，最后通过∽可得出答案．
本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
 

16.【答案】解：


．
 

【解析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

17.【答案】   
 

【解析】解：将代入得，
故答案为：．

由中的图象可知，在第一象限内，随的增大而减小；在第二象限内，随的增大而增大；函数图象关于轴对称，
故正确；
故答案为：．
将代入得或，
，
在直线上，在轴上，
，
又，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：．
将代入求解，根据表格所给点作图．
观察图象即可得出函数的性质．
求出，交点，证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形面积底高作答．
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数及反比例函数的性质．
 

18.【答案】解：如图，延长交于点，
米，且，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
同理，四边形是矩形，
米，
米，
在中，，，
，
米，
在中，，，
，
米，
米，
答：、两点的距离约为米．
 

【解析】延长交于点，构造直角和矩形，矩形，通过解直角三角形分别求出、的长度，再根据即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
为的切线；
解：如图，连接，

，
，
，
，
，
是直径，
，
，
又，，
∽，
，
，
，
的半径．
 

【解析】连接，利用等腰三角形两底角相等，可证明，则，从而证明结论；
连接，根据，，可得，再利用∽，得，代入即可解决问题．
本题主要考查了圆的切线的判定，平行线的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据等角的三角函数值相等进行转化是解题的关键．
 

20.【答案】解：设与之间的函数关系式为：，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：，
配方得：，
，
当时，有最大值为，
答：这种文化衫销售单价定为元时，每月的销售利润最大，最大利润是元．
 

【解析】根据题意用待定系数法求出每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；
根据利润单件利润销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式和掌握二次函数的性质．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
故答案为：；
解：四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故答案为：；
证明：如图所示，，，
，
在的延长线上取点，使，则，

，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即；
解：过作于，交延长线于，连接，设，

，即，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
解得：舍去，，
，
，
，
，
，
，
∽，
．
由“”可证≌，可得，可求解；
通过证明∽，可得；
通过证明∽，可得，可得结论；
设，≌，推出，证∽，求出，在中，由勾股定理得出，代入得出方程，求出，证出∽，即可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

22.【答案】解：将，代入，得
，解得：，
抛物线的解析式为：．
过点作于点，
令，得，
解得：，，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
解得：，
设直线的解析式为：，则
，解得：，
直线的解析式为：，
设，，则，
，
配方得：，
，
时，有最大值为，
点的坐标为时，的面积最大值为．
设，，
，，线段沿射线方向平移，
，
如图，当点在轴右侧，时，，
过点作轴于点，过点作于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，舍去；
如图，当点在轴右侧，时，，
过点作轴于点，过点作的延长线于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，
，，舍去；
如图，当点在轴左侧，时，，
过点作轴于点，过点作于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，
，，
点的坐标为；
如图，当点在轴左侧，时，，
过点作轴于点，过点作的延长线于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，
，，
点的坐标为；
综上所述，是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为或
 

【解析】将点和点分别代入求得和的值，得到抛物线的解析式；
过点作直线于点，由轴得到，然后由等角的余弦值相等得到的长，再求得直线的解析式，然后设点的坐标，得到点的坐标，进而得到的长，即可求得的面积，进而利用二次函数的性质求得的面积最大值和点的坐标；
分情况讨论：当点在轴的右侧和左侧时，分别讨论点为直角顶点和点为直角顶点几种情况，然后作出辅助线构造型全等，然后设点、点和点的坐标，根据全等三角形的性质列出方程求得点的坐标．
本题考查了二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．