2021-2022学年湖南省长沙市宁乡市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省长沙市宁乡市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知一组数据，，，，，的平均数是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 下列运算中，结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，那么这棵树折断之前的高度是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

6. 在战“疫”诗歌创作大赛中，有名同学进入了决赛，他们的最终成绩均不同．小雅同学想知道自己能否进入前名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这名同学成绩的(    )

A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差

7. 如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知是正比例函数，且随的增大而减小，那么这个函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用、分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在中，，：：，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是(    )

1. 定值 B. 定值 C. 不确定 D. 定值

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 甲、乙两位同学在次定点投篮训练中每次训练投个，各次训练成绩投中个数的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为与，则______填“”、“”、““中的一个

13. 已知等腰三角形的一条腰长是，底边长是，则它底边上的高为______．
14. 如图，直线是常数，与直线交于点，则关于的不等式的解集为______．

15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点若，，则______．

16. 如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______．

三、解答题（本大题共9小题，共70分）

17. 计算：．
18. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

19. 如图，四边形是正方形，为上一点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为，求证：．
     

20. 如图所示，将一个长宽分别为，的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
    用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
    当，，，求剩余部分的面积．

21. 如图，已知点，．
    求直线所对应的函数解析式；
    若为直线上一点，当的面积为时，求点的坐标．

22. 月日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛竞赛成绩为百分制，并随机抽取了名学生的竞赛成绩本次竞赛没有满分，整理数据后得到以下信息：
    信息一：名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组每组数据含前端点值，不含后端点值；
    信息二：第三组的成绩单位：分为
    根据信息解答下列问题：
    补全第二组频数分布直方图直接在图中补全；
    分别求出第三组竞赛成绩的众数和抽取的名学生竞赛成绩的中位数；
    若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于分的约为多少人？

23. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求的长．

24. 为了更好地落实蔬菜惠农政策，强化蔬菜产业链，一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购，两种蔬菜共吨，预计种蔬菜销售后每吨获利元，种蔬菜销售后每吨获利元．其中种蔬菜的、种蔬菜的须运往市场销售，但市场的销售总量不超过吨．设销售利润为元不计损耗，设购进种蔬菜吨．
    求与之间的函数关系式；
    求自变量的取值范围；
    将这吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点．
    分别求出点、、的坐标；
    若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
    在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
解得，
故选：．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不合题意；
B.由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不合题意；
C.由，，能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D.由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不合题意；
故选：．
依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：树的顶端落在离树杆底部米处，大树在离地面米处折断，
折断的部分长为，
折断前高度为米．
故选：．
此题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边，从而得出这棵树折断前的高度．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第和第的成绩平均数是中位数，要判断是否进入前名，故应知道中位数的多少．
故选：．
人成绩的中位数是第名的成绩和第名成绩的平均数．参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
本题主要考查统计量的选择，熟悉平均数、中位数、众数、方差的意义是此类问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出的度数．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【解答】
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意知且，
解得，且，
．
．
故选：．
根据正比例函数的定义和性质列出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是正比例函数的定义和性质，熟记形如的函数叫正比例函数是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：此函数图象中，先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B.此函数图象中，第段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C.此函数图象中，、同时到达终点，符合题意；
D.此函数图象中，先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：．
乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑停急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同．
本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，
设，则，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
舍去或，
，
连接，过点作于，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，，




，
，
故选：．
设，则，进而得出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理建立方程求出，最后用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案．
此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，
所以．
故答案为：．
利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小．
本题考查了折线统计图，也考查了方差的意义．
 

13.【答案】 

【解析】解：等腰中，，为边上的高，故AD为边上的中线，即，
在直角中，，
，
故答案为．
等腰中，，，为边上的高，根据等腰三角形的性质即可得为中点，即，在直角中，已知，即可求得，即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等腰三角形三线合一的性质，本题中正确的运用勾股定理求是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图象可得．
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
根据题意，可知当时，然后再观察函数图象，即可写出不等式的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：．
在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
由翻折可得，
，
，
当，，三点共线时，最小，
．
故答案为：．
连接，，易得，，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而可得出答案．
本题考查翻折变换折叠问题、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
在中，，，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是． 

【解析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

19.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】根据证明≌，可得结论．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
 

20.【答案】解：剩余部分的面积为：；
当，，时，



． 

【解析】用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
把相应的值代入进行运算即可．
本题考查了二次根式的应用，把剩余部分的面积看成长方形的面积减去四周四个小正方形的面积是解题的关键．
 

21.【答案】解：设直线所对应的函数表达式为．
由题意得：，
解得，，，
直线所对应的函数表达式为．
由题意得．
又的面积为，
中边上的高为．
当时，；
当时，．
点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数即可确定函数关系式；
求出的长，根据三角形的面积，确定底上的高，再根据高转化为点的横坐标，确定点的坐标．
考查待定系数法求函数关系式的方法，将坐标与线段的长进行转化是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：人，
补全频数分布直方图如图所示：

第组数据出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
抽取的人的成绩从小到大排列处在第、位的两个数的平均数为分，因此中位数是，
故答案为：，；
人，
故答案为：． 

【解析】计算出第组组的人数，即可补全频数分布直方图；
根据中位数、众数的意义，分别求出第组的众数，样本中位数；
样本估计总体，样本中成绩不低于分的占，因此估计总体人的是成绩不低于分以上的人数．
本题考查了频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：在菱形中，有且，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
设，则，
则，
在直角三角形中，有，
，
解得：，
． 

【解析】利用矩形的判定来证明；
根据军饷的性质及勾股定理求解．
本题考查了菱形的性质及矩形的判定和性质，掌握它们之间的区别是解题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意得：，
答：与之间的函数关系式为；
种蔬菜的、种蔬菜的须运往市场销售，但市场的销售总量不超过吨，
，
解得：，
，
即自变量的取值范围是；
在中，
，
随的增大而增大，
而，
时，取最大值，最大值为元，
答：将这吨蔬菜全部销售完，最多可获得元利润． 

【解析】根据种蔬菜销售后每吨获利元，种蔬菜销售后每吨获利元，即可得与之间的函数关系式；
根据种蔬菜的、种蔬菜的须运往市场销售，但市场的销售总量不超过吨，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围；
根据和中的结果，利用一次函数的性质，可以得到最大利润．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，能熟练应用一次函数的性质．
 

25.【答案】解：分别与轴、轴交于点、，
点坐标为，点坐标为，
直线：与直线：交于点．
，
，
点坐标为；
设点坐标为，
的面积为，
，
，
是线段上的点，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：；
点的坐标为或或 

【解析】解：
见答案；
见答案；
若以为边，设点，
如图，

当四边形是菱形，
，，，
，
，舍去，
点，
点；
当四边形是菱形，
，，，
，
舍去，，
点，
点；
若为对角线，
以、、、为顶点的四边形是菱形，
与互相垂直平分，
点的纵坐标为，
点，
点坐标为；
综上所述：点的坐标为或或
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
对于直线解析式，分别令与为求出与的值，确定出与的坐标，联立两直线解析式求出的坐标即可；
由三角形的面积公式可求点坐标，由待定系数法可求解析式；
分为边和为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解，