2023年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷（含解析）

2023年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，主视图为矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  贵州是国内唯一兼具高海拔、低纬度、寡日照、多云雾，适宜种茶制茶条件的茶区，是国内业界公认的高品质绿茶重要产地年贵州省茶叶总产量达到吨将这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  要使分式有意义，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上若线段，则线段的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某初三学生次立定跳远的成绩单位：如下：，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则在中，边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列四个命题，正确的是(    )
经过三点一定可以画一个圆；
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
三角形的外心一定在三角形的外部；
三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．

A.  B.  C.  D.

11.  “绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图的“七巧板”，设计拼成了图的水杉树树冠如果已知图中正方形纸片的边长为，则图中的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，如图为淘宝某商家从年月开始共周的“围炉”周销量个随时间周变化的图象，则下列说法错误的是(    )
 

A. 第周销量最低，是个
B. 在这周中，周销量增长速度最快的是第周到第周和第周到第周
C. 第周和第周的销量一样
D. 第周到第周，周销量个随时间周的增大而增大

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共名学生报名参加演讲比赛若从报名的名学生中随机选名参加比赛，则这名学生是女生的概率是______ ．

15.  如图，点是反比例函数图象上的一个点，过点作轴，轴，垂足分别为，，矩形的面积为，则 ______ ．

16.  如图，在中，，，，点为的中点，点为平面内任意一点，且，连接，当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程组：．

18.  本小题分
年月日是第个全国中小学生安全教育日，某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于分将全部测试成绩单位：分进行整理后分为五组，并绘制成频数分布直方图如图．
请根据所给信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______ 名学生；
若测试成绩达到分及以上为优秀，请你估计全校名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．

19.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求一次函数的表达式；
直接写出不等式的解集．

20.  本小题分
中国古代在公元前世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的淮南万毕术中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”如图所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
在图中，呈水平状态，若入射角，入射角等于反射角，，为法线，则 ______ 度；
在的条件下，若米，求点到的距离．
 

21.  本小题分
某超市用元购进一批商品，很快销售完毕，接着又用元购进第二批商品，已知两批商品的数量相等，且第一批商品每件的进货价比第二批商品每件进货价少元．
这两批商品进货价每件各是多少元？
第一批商品以每件元全部售出后，若想两批商品所得的利润率不低于，则第二批商品每件的售价最少为多少元？

22.  本小题分
如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

23.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
根据条件，写出一对相等的线段或相等的角；
若，，求的半径；
若的半径是中求得的半径，且，求的长．

24.  本小题分
使得函数值为的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数，令可得，我们说是函数的零点，此时，就称为该零点所对应的点．
已知二次函数，求该二次函数的零点；
已知二次函数为常数，小兰算出该二次函数只有一个零点，你觉得对吗？请说明理由；
已知是二次函数的一个零点在轴的下方是否存在一个点，与该函数的顶点、两个零点所对应的点组成一个平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
如图，在矩形中，已知，．
如图，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，与相交于点，则与的数量关系是______ ；
如图，点，分别是，边上的点，将折叠，使得点正好落在边上的点，过作，交于点若，求的长．
如图，点，分别是，边上的点，将折叠，使得点正好落在边上的点，当点，分别在，上移动时，点也在边上随之移动，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是负数，
，
．
故选：．
根据负数都小于，正数都大于解答即可．
本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、四棱锥的主视图是三角形，不合题意；
B、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
D、圆台的主视图是等腰梯形，不符合题意．
故选：．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，
，
，
，
，
故选：．
如图，由知，继而得，再根据可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：要使分式有意义，
则，
解得：．
故选：．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，

则，即，
解得：，
．
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据按照从小到大排列是：，，，，，，
这组数据的中位数是．
故选：．
根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确题意，利用中位数的知识解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于点，如图，
由作法得平分，
而，，
，
即在中，边上的高为．
故选：．
作于点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，从而得到边上的高．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，故A不正确；
B、，，，故B正确；
C、在的右边，，故C不正确；
D、，故D不正确．
故选：．
利用数轴比较数的大小逐个判断即可．
本题考查了实数的比较，数轴的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：经过不在同一直线上的三点一定可以画一个圆，故本小题说法错误；
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，说法正确；
钝角三角形的外心一定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形的内部，故本小题说法错误；
三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等，说法正确；
故选：．
根据确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念判断．
本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
，
，，，
，，

故选：．
过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质和勾股定理的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可知：
第周销量最低，是个，故选项A不合题意；
在这周中，周销量增长速度最快的是第周到第周和第周到第周，均增长个，故选项B不合题意；
第周和第周的销量一样，故选项C不合题意；
第周到第周，周销量个随时间周的增大而增大，第周到第周，周销量个随时间周的增大而减少，故选项D符合题意．
故选：．
根据图象逐项分析即可．
本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出销量，观察函数图象的横坐标得出第几周，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
 

14.【答案】 

【解析】解：该校九年级有五男三女共名学生报名参加演讲比赛，
这名学生是女生的概率是．
故答案为：．
根据概率公式直接求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
双曲线位于第二、四象限，
，
故答案为：．
由于点是反比例函数上一点，矩形的面积，则的值即可求出．
本题主要考查了反比例函数图中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点．
 

16.【答案】或 

【解析】解：在中，，
，，
，，
点为的中点，
，
如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
，，，
点为的中点，
，
设，
，
，
，，，，
根据勾股定理得：，
，
整理得：，
将代入整理得，
，
解得，，
，，
或，
或，
或．
故答案为：或．
根据题意以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得，，，，设，根据勾股定理和，得到方程求出，的值，再利用两点间距离公式即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，含度角的直角三角形，两点间距离公式，有一定难度，关键是建立平面直角坐标系解决问题．
 

17.【答案】解：；

；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是． 

【解析】先根据有理数的乘方，绝对值和立方根的定义进行计算，再算加减即可；
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：名，
故答案为：；
名，
故优秀的学生人数约为名；
加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活动，提高避险能力．
把各组频数相加即可；
利用样本估计总体即可；
根据的结论解答．
本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及样本估计总体思想的运用．
 

19.【答案】解：点、在反比例函数的图象上，，，
，
，，
，，
点、在一次函数图象上，
分别把，，代入，得，
解得，
一次函数的解析式是：；
画出图象如图所示：

由图象可知：不等式的解集是或． 

【解析】把、两点代入反比例函数解析式，求出、的值，再把两点坐标值代入一次函数解析式，求出、的值；
画出两函数图象，按图象写出不等式的解集．
本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
；
故答案为：；

如图，过点作于点，

入射角，入射角等于反射角，
，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
在中，米，米．
点到的距离为米．
由题意可知，，直接写出的度数即可；
过点作于点，根据题意可得，进而求得，根据三角形内角和定理可得，以此可证明为等腰直角三角形，则，即可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意正确构造出直角三角形，由三角形内角和定理求出是解题关键．
 

21.【答案】解：设第一批拖鞋进货价每双是元，则第二批拖鞋进货价每双是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：第一批拖鞋进货价每双是元，第二批拖鞋进货价每双是元．
第一批及第二批购进拖鞋的数量为双．
设第二批拖鞋的售价为元双，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：第二批拖鞋的售价最少为元双． 

【解析】设第一批拖鞋进货价每双是元，则第二批拖鞋进货价每双是元，利用数量总价单价，结合购进两批拖鞋的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出第一批拖鞋进货单价，再将其代入中，可求出第二批拖鞋进货单价；
利用数量总价单价，可求出第一批及第二批购进拖鞋的数量，设第二批拖鞋的售价为元双，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合两批所得的利润不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】证明：，
，
菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由得：四边形是矩形，
四边形的面积． 

【解析】先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论；
根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据梯形的面积公式即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：是的直径，弦于点，
；
设的半径为，
，
，
在中，，，
，
，解得，
的半径为；
如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
弧的长为． 

【解析】根据垂径定理可得相等的线段；
设的半径为，根据垂径定理，由得到，在中，利用勾股定理得，解得，所以的半径为；
由得到，根据三角形外角性质得，则，加上，所以，然后解方程即可得的度数，即可得出的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长的计算等，运用方程思想是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，则，
即函数的零点为：和；

小兰计算错误，应该有两个零点，理由：
令，
则，
则方程有两个不相等的实数根，即二次函数有个零点，
故小兰计算错误；

存在，理由：
当时，，
则，
则抛物线的表达式为：，
令，则或，
则这两个零点对应的点的坐标为：、，
设这两个零点对应的点为点、点；
设抛物线的顶点为点，由抛物线的表达式知，点，
设点的坐标为：，，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：，
即点的坐标为：舍去；
当或为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或 

【解析】令，则，即可求解；
由，即可求解；
求出这两个零点对应的点的坐标为：、，当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，可解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、新定义等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

25.【答案】 

【解析】解：由折叠知，，
，
，
，
即是等腰三角形，
，
故答案为：；
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠知，，，
，
，
设，
则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
；
由题意知，当点和点重合时得出的最小值，
此时，
当点与点重合时求出的最大值，
此时，
的取值范围为．
根据平行线的性质和折叠的性质得出的等腰三角形即可得出结论；
设，由翻折知，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出，，，由勾股定理求出，然后计算即可；
当点和点重合时得出的最小值，当点与点重合时求出的最大值即可．
本题主要考查矩形的综合题，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．