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2023年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷
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这是一份2023年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．6
2．下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．贵州是国内唯一兼具高海拔、低纬度、寡日照、多云雾，适宜种茶制茶条件的茶区，是国内业界公认的高品质绿茶重要产地．2022年贵州省茶叶总产量达到454000吨．将454000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．454×103 B．4.54×105 C．4.54×104 D．0.454×106
4．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝55°时，∠1的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．要使分式有意义，则（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣2 C．a≠2 D．a≠1
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
7．某初三学生6次立定跳远的成绩（单位：cm）如下：180，190，195，175，180，200．则这组数据的中位数是（ ）
A．175 B．180 C．185 D．195
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若 DC＝4，则在△ABD中，AB边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＜﹣2 B．﹣a＜b C．a﹣b＜0 D．a＜2
10．下列四个命题，正确的是（ ）
①经过三点一定可以画一个圆；
②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
③三角形的外心一定在三角形的外部；
④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
11．“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图①的“七巧板”，设计拼成了图②的水杉树树冠．如果已知图①中正方形纸片的边长为4，则图②中BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．
12．近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，如图为淘宝某商家从2023年2月开始共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．第1周销量最低，是500个
B．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周
C．第3周和第5周的销量一样
D．第1周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大
二、填空题：每题4分，共16分。
13．分解因式：x2﹣1＝ ．
14．为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛．若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是 ．
15．如图，点A是反比例函数图象上的一个点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为6，则 k＝ ．
16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D为AB的中点，点E为平面内任意一点，且，连接AE，DE．当∠ADE＝90°时，AE的长为 ．
三、解答题：本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．2023年3月28日是第28个全国中小学生安全教育日，某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
19．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），B（n，﹣1）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
20．中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
（1）在图②中，AB呈水平状态，若入射角∠BOC＝30°，∠OAD＝15°（入射角等于反射角，OC，AD为法线），则∠BAD＝ 度；
（2）在（1）的条件下，若米，求点A到OB的距离．
21．某超市用1000元购进一批商品，很快销售完毕，接着又用1100元购进第二批商品，已知两批商品的数量相等，且第一批商品每件的进货价比第二批商品每件进货价少1元．
（1）这两批商品进货价每件各是多少元？
（2）第一批商品以每件16元全部售出后，若想两批商品所得的利润率不低于50%，则第二批商品每件的售价最少为多少元？
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，DE∥AC，DE＝OC．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求四边形ACDE的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）根据条件，写出一对相等的线段或相等的角；
（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长．
24．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x+3，令y＝0 可得 x＝﹣3，我们说﹣3是函数y＝x+3的零点，此时，（﹣3，0）就称为该零点所对应的点．
（1）已知二次函数y＝x2﹣5，求该二次函数的零点；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）（a为常数），小兰算出该二次函数只有一个零点，你觉得对吗？请说明理由；
（3）已知﹣2是二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）的一个零点．在x轴的下方是否存在一个点M，与该函数的顶点、两个零点所对应的点组成一个平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4．
（1）如图①，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得点C落在点C处，AD与BC相交于点E，则BE与DE的数量关系是 ；
（2）如图②，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF 折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，过B′作B′H⊥BC，交EF于点G．若AB'＝2，求GH的长．
（3）如图③，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，当点E，F分别在AB，BC上移动时，点B也在边AD上随之移动，请直接写出DB′的取值范围．
参考答案
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．6
【分析】根据负数都小于0，正数都大于0解答即可．
解：∵﹣3是负数，
∴﹣3＜0，
∴﹣3＜0＜3＜6．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则是解题的关键．
2．下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
解：A、四棱锥的主视图是三角形，不合题意；
B、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
D、圆台的主视图是等腰梯形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3．贵州是国内唯一兼具高海拔、低纬度、寡日照、多云雾，适宜种茶制茶条件的茶区，是国内业界公认的高品质绿茶重要产地．2022年贵州省茶叶总产量达到454000吨．将454000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．454×103 B．4.54×105 C．4.54×104 D．0.454×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：454000＝4.54×105．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
4．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝55°时，∠1的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】如图，由AB∥CD知∠2＝∠3＝55°，继而得∠4＝180°﹣90°﹣∠3＝35°，再根据∠1＝∠4可得答案．
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝55°，
∴∠4＝180°﹣90°﹣∠3＝35°，
∴∠1＝∠4＝35°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等的性质．
5．要使分式有意义，则（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣2 C．a≠2 D．a≠1
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
解：要使分式有意义，
则a+2≠0，
解得：a≠﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+4＝6（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．某初三学生6次立定跳远的成绩（单位：cm）如下：180，190，195，175，180，200．则这组数据的中位数是（ ）
A．175 B．180 C．185 D．195
【分析】根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数．
解：∵这组数据按照从小到大排列是：175，180，180，190，195，200，
∴这组数据的中位数是＝185（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确题意，利用中位数的知识解答．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若 DC＝4，则在△ABD中，AB边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作DH⊥AB于H点，如图，利用基本作图得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝4，从而得到AB边上的高．
解：作DH⊥AB于H点，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
而DC⊥BC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
即在△ABD中，AB边上的高为4．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＜﹣2 B．﹣a＜b C．a﹣b＜0 D．a＜2
【分析】利用数轴比较数的大小逐个判断即可．
解：A、∵﹣2＜b＜﹣1，故A不正确；
B、∵2＜a＜3，∴﹣3＜﹣a＜﹣2，∴﹣a＜b，故B正确；
C、∵a在b的右边，∴a＞b，故C不正确；
D、∵2＜a＜3，故D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的比较，数轴的性质是解题关键．
10．下列四个命题，正确的是（ ）
①经过三点一定可以画一个圆；
②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
③三角形的外心一定在三角形的外部；
④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
【分析】根据确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念判断．
解：①经过不在同一直线上的三点一定可以画一个圆，故本小题说法错误；
②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，说法正确；
③钝角三角形的外心一定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形的内部，故本小题说法错误；
④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等，说法正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念是解题的关键．
11．“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图①的“七巧板”，设计拼成了图②的水杉树树冠．如果已知图①中正方形纸片的边长为4，则图②中BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】过A作AE⊥MN于E，根据等腰直角三角形的性质得到AE＝MN＝2（cm），HF＝BF＝BE＝2（cm），于是得到结论．
解：如图，过A作AE⊥MN于E，
∵MN＝BH＝4cm，
∴AE＝MN＝2（cm），HF＝BF＝BE＝2（cm），FG+FG＝4cm，
∴FG＝2cm，CF＝2cm，
∴BC＝BF+CF＝4cm
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的应用，正确的识别图形是解题的关键．
12．近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，如图为淘宝某商家从2023年2月开始共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．第1周销量最低，是500个
B．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周
C．第3周和第5周的销量一样
D．第1周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大
【分析】根据图象逐项分析即可．
解：由图象可知：
第1周销量最低，是500个，故选项A不合题意；
在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，均增长1000个，故选项B不合题意；
第3周和第5周的销量一样，故选项C不合题意；
第1周到第4周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大，第4周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而减少，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出销量，观察函数图象的横坐标得出第几周，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
二、填空题：每题4分，共16分。
13．分解因式：x2﹣1＝ （x+1）（x﹣1） ．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
14．为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛．若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是 ．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
解：∵该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛，
∴这名学生是女生的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，点A是反比例函数图象上的一个点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为6，则 k＝ ﹣6 ．
【分析】由于点A是反比例函数y＝上一点，矩形ABOC的面积S＝|k|＝6，则k的值即可求出．
解：由题意得：S矩形ABOC＝|k|＝6，
∵双曲线位于第二、四象限，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝图中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D为AB的中点，点E为平面内任意一点，且，连接AE，DE．当∠ADE＝90°时，AE的长为 或 ．
【分析】根据题意以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，得C（0，0），A（0，2），B（2，0），D（，1），设E（x，y），根据勾股定理和，得到方程求出x，y的值，再利用两点间距离公式即可解决问题．
解：在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD＝2，
如图，以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
∴C（0，0），A（0，2），B（2，0），
∵点D为AB的中点，
∴D（，1），
设E（x，y），
∵，
∴CE2＝x2+y2＝，
∵AE2＝（x﹣0）2+（y﹣2）2，DE2＝（x﹣）2+（1﹣y）2，AD2＝4，∠ADE＝90°，
根据勾股定理得：AE2＝DE2+AD2，
（x﹣0）2+（y﹣2）2＝（x﹣）2+（1﹣y）2+4，
整理得：y＝x﹣2，
将y＝x﹣2代入x2+y2＝整理得，
x2﹣x+＝0，
解得x1＝，x2＝，
∴y1＝0，y2＝﹣1，
∴E（，0）或（，﹣1），
∴AE2＝（）2+22＝或AE2＝（）2+（2+1）2＝，
∴AE＝或AE＝．
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形，两点间距离公式，有一定难度，关键是建立平面直角坐标系解决问题．
三、解答题：本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先根据有理数的乘方，绝对值和立方根的定义进行计算，再算加减即可；
（2）②×2﹣①得出﹣7y＝14，求出y，再把y＝﹣2代入②求出x即可．
解：（1）；
＝4+2﹣﹣2
＝4﹣；
（2），
②×2﹣①，得﹣7y＝14，
解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入②，得x+4＝4，
解得：x＝0，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．2023年3月28日是第28个全国中小学生安全教育日，某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 40 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
【分析】（1）把各组频数相加即可；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据（2）的结论解答．
解：（1）4+6+10+12+8＝40（名），
故答案为：40；
（2）960×＝480（名），
故优秀的学生人数约为480名；
（3）加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活动，提高避险能力．
【点评】本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及样本估计总体思想的运用．
19．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），B（n，﹣1）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
【分析】（1）把A、B两点代入反比例函数解析式，求出m、n的值，再把两点坐标值代入一次函数解析式，求出k、b的值；
（2）画出两函数图象，按图象写出不等式的解集．
解：（1）∵点A、B在反比例函数的图象上，A（2，m），B（n，﹣1），
∴2m＝﹣n＝4，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴A（2，2），B（﹣4，﹣1），
∵点A、B在一次函数图象上，
∴分别把A（2，2），B（﹣4，﹣1），代入y＝kx+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式是：y＝x+1；
（2）画出图象如图所示：
由图象可知：不等式的解集是x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，数形结合是解题的关键．
20．中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
（1）在图②中，AB呈水平状态，若入射角∠BOC＝30°，∠OAD＝15°（入射角等于反射角，OC，AD为法线），则∠BAD＝ 90 度；
（2）在（1）的条件下，若米，求点A到OB的距离．
【分析】（1）由题意可知，AD⊥AB，直接写出∠BAD的度数即可；
（2）过点A作AE⊥OB于点E，根据题意可得∠AOB＝60°，进而求得∠OAB＝75°，根据三角形内角和定理可得∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝45°，以此可证明△AEB为等腰直角三角形，则AE＝AB•sin∠B，即可求解．
解：（1）∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°；
故答案为：90；
（2）如图，过点A作AE⊥OB于点E，
∵入射角∠BOC＝30°，入射角等于反射角，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°，
∵AD⊥AB，∠OAD＝15°，
∴∠OAB＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝45°，
∵AE⊥OB，
∴△AEB为等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB＝10米，AE＝AB•sin∠B＝＝（米）．
∴点A到OB的距离为米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意正确构造出直角三角形，由三角形内角和定理求出∠B＝45°是解题关键．
21．某超市用1000元购进一批商品，很快销售完毕，接着又用1100元购进第二批商品，已知两批商品的数量相等，且第一批商品每件的进货价比第二批商品每件进货价少1元．
（1）这两批商品进货价每件各是多少元？
（2）第一批商品以每件16元全部售出后，若想两批商品所得的利润率不低于50%，则第二批商品每件的售价最少为多少元？
【分析】（1）设第一批拖鞋进货价每双是x元，则第二批拖鞋进货价每双是（x+1）元，利用数量＝总价÷单价，结合购进两批拖鞋的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第一批拖鞋进货单价，再将其代入（x+1）中，可求出第二批拖鞋进货单价；
（2）利用数量＝总价÷单价，可求出第一批及第二批购进拖鞋的数量，设第二批拖鞋的售价为y元/双，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合两批所得的利润不低于50%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设第一批拖鞋进货价每双是x元，则第二批拖鞋进货价每双是（x+1）元，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴x+1＝10+1＝11．
答：第一批拖鞋进货价每双是10元，第二批拖鞋进货价每双是11元．
（2）第一批及第二批购进拖鞋的数量为1000÷10＝100（双）．
设第二批拖鞋的售价为y元/双，
根据题意得：16×100﹣1000+100y﹣1100≥（1000+1100）×50%，
解得：y≥15.5，
∴y的最小值为15.5．
答：第二批拖鞋的售价最少为15.5元/双．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，DE∥AC，DE＝OC．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求四边形ACDE的面积．
【分析】（1）先证四边形AODE为平行四边形，再由ABCD是菱形的性质得∠AOD＝90°，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质求出AD，OA，由勾股定理得出OD的长，再根据梯形的面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵菱形ABCD，
∴DE＝OC，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
在△EAD和△AOD中，
，
∴△EAD≌△AOD（ASA），
∴AE＝OD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝8，OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，
∴OA＝AC＝4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
由（1）得：四边形AODE是矩形，
∴四边形ACDE的面积＝（DE+AC）×AE×＝（4+8）×4×＝24．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）根据条件，写出一对相等的线段或相等的角；
（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长．
【分析】（1）根据垂径定理可得相等的线段；
（2）设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由AB⊥CD得到DE＝CD＝8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，所以⊙O的半径为10；
（3）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，则2∠B+∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D+∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数，即可得出∠COD的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，
∴CE＝DE；
（2）设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×16＝8，
在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝r﹣4，OD＝r，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，
∴⊙O的半径为10；
（3）如图，连接OC，
∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，
∵∠DOE+∠D＝90°，
∴2∠B+∠D＝90°，
∵∠B＝∠D，
∴2∠D+∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CAD的长为＝．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长的计算等，运用方程思想是解题的关键．
24．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x+3，令y＝0 可得 x＝﹣3，我们说﹣3是函数y＝x+3的零点，此时，（﹣3，0）就称为该零点所对应的点．
（1）已知二次函数y＝x2﹣5，求该二次函数的零点；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）（a为常数），小兰算出该二次函数只有一个零点，你觉得对吗？请说明理由；
（3）已知﹣2是二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）的一个零点．在x轴的下方是否存在一个点M，与该函数的顶点、两个零点所对应的点组成一个平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝x2﹣5＝0，则x＝，即可求解；
（2）由Δ＝（﹣4a）2+8（a+1）＝4（a+1）2+12a2+4＞0，即可求解；
（3）求出这两个零点对应的点的坐标为：（﹣2，0）、（，0），当PQ为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当PM或PN为对角线时，可解．
解：（1）令y＝x2﹣5＝0，则x＝，
即函数的零点为：和﹣；
（2）小兰计算错误，应该有两个零点，理由：
令y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）＝0，
则Δ＝（﹣4a）2+8（a+1）＝4（a+1）2+12a2+4＞0，
则方程有两个不相等的实数根，即二次函数有2个零点，
故小兰计算错误；
（3）存在，理由：
当x＝﹣2时，y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）＝6a+2＝0，
则a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，
令y＝x2+x﹣＝0，则x＝﹣2或，
则这两个零点对应的点的坐标为：（﹣2，0）、（，0），
设这两个零点对应的点为点P、点Q；
设抛物线的顶点为点N，由抛物线的表达式知，点N（﹣，﹣），
设点M的坐标为：（m，n），n＜0，
当PQ为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：，
即点M的坐标为：（﹣，）（舍去）；
当PM或PN为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
即点M的坐标为：（2，﹣）或（﹣，﹣）；
综上，点M的坐标为：（2，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、新定义等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4．
（1）如图①，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得点C落在点C处，AD与BC相交于点E，则BE与DE的数量关系是 BE＝DE ；
（2）如图②，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF 折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，过B′作B′H⊥BC，交EF于点G．若AB'＝2，求GH的长．
（3）如图③，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，当点E，F分别在AB，BC上移动时，点B也在边AD上随之移动，请直接写出DB′的取值范围．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得出△BDE的等腰三角形即可得出结论；
（2）设B'G＝x，由翻折知BE＝B'E，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出，B'G＝BE＝B'E＝x，AE＝3﹣x，由勾股定理求出x，然后计算GH即可；
（3）当点E和点A重合时得出DB'的最小值，当点F与点C重合时求出DB'的最大值即可．
解：（1）由折叠知，∠EBD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
即△EBD是等腰三角形，
∴BE＝DE，
故答案为：BE＝DE；
（2）∵B'H⊥BF，
∴B'H∥AB，
∴四边形ABHB'是矩形，
∴B'H＝AB＝3，
由折叠知，∠BEG＝∠B'EG，BE＝B'E，
∵∠BEG＝∠EGB'，
∴B'E＝B'G，
设BE＝B'E＝B'G＝x，
则AE＝3﹣x，
由勾股定理得，AE2+AB'2＝B'E2，
即（3﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴GH＝B'H﹣B'G＝3﹣＝；
（3）由题意知，当点E和点A重合时得出DB'的最小值，
此时DB'＝AD﹣AB'＝4﹣3＝1，
当点F与点C重合时求出DB'的最大值，
此时DB'＝＝，
∴DB′的取值范围为1≤DB'≤．
【点评】本题主要考查矩形的综合题，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
2023年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．6
2．下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．贵州是国内唯一兼具高海拔、低纬度、寡日照、多云雾，适宜种茶制茶条件的茶区，是国内业界公认的高品质绿茶重要产地．2022年贵州省茶叶总产量达到454000吨．将454000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．454×103 B．4.54×105 C．4.54×104 D．0.454×106
4．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝55°时，∠1的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．要使分式有意义，则（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣2 C．a≠2 D．a≠1
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
7．某初三学生6次立定跳远的成绩（单位：cm）如下：180，190，195，175，180，200．则这组数据的中位数是（ ）
A．175 B．180 C．185 D．195
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若 DC＝4，则在△ABD中，AB边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＜﹣2 B．﹣a＜b C．a﹣b＜0 D．a＜2
10．下列四个命题，正确的是（ ）
①经过三点一定可以画一个圆；
②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
③三角形的外心一定在三角形的外部；
④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
11．“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图①的“七巧板”，设计拼成了图②的水杉树树冠．如果已知图①中正方形纸片的边长为4，则图②中BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．
12．近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，如图为淘宝某商家从2023年2月开始共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．第1周销量最低，是500个
B．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周
C．第3周和第5周的销量一样
D．第1周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大
二、填空题：每题4分，共16分。
13．分解因式：x2﹣1＝ ．
14．为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛．若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是 ．
15．如图，点A是反比例函数图象上的一个点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为6，则 k＝ ．
16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D为AB的中点，点E为平面内任意一点，且，连接AE，DE．当∠ADE＝90°时，AE的长为 ．
三、解答题：本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．2023年3月28日是第28个全国中小学生安全教育日，某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
19．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），B（n，﹣1）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
20．中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
（1）在图②中，AB呈水平状态，若入射角∠BOC＝30°，∠OAD＝15°（入射角等于反射角，OC，AD为法线），则∠BAD＝ 度；
（2）在（1）的条件下，若米，求点A到OB的距离．
21．某超市用1000元购进一批商品，很快销售完毕，接着又用1100元购进第二批商品，已知两批商品的数量相等，且第一批商品每件的进货价比第二批商品每件进货价少1元．
（1）这两批商品进货价每件各是多少元？
（2）第一批商品以每件16元全部售出后，若想两批商品所得的利润率不低于50%，则第二批商品每件的售价最少为多少元？
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，DE∥AC，DE＝OC．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求四边形ACDE的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）根据条件，写出一对相等的线段或相等的角；
（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长．
24．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x+3，令y＝0 可得 x＝﹣3，我们说﹣3是函数y＝x+3的零点，此时，（﹣3，0）就称为该零点所对应的点．
（1）已知二次函数y＝x2﹣5，求该二次函数的零点；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）（a为常数），小兰算出该二次函数只有一个零点，你觉得对吗？请说明理由；
（3）已知﹣2是二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）的一个零点．在x轴的下方是否存在一个点M，与该函数的顶点、两个零点所对应的点组成一个平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4．
（1）如图①，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得点C落在点C处，AD与BC相交于点E，则BE与DE的数量关系是 ；
（2）如图②，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF 折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，过B′作B′H⊥BC，交EF于点G．若AB'＝2，求GH的长．
（3）如图③，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，当点E，F分别在AB，BC上移动时，点B也在边AD上随之移动，请直接写出DB′的取值范围．
参考答案
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．6
【分析】根据负数都小于0，正数都大于0解答即可．
解：∵﹣3是负数，
∴﹣3＜0，
∴﹣3＜0＜3＜6．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则是解题的关键．
2．下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
解：A、四棱锥的主视图是三角形，不合题意；
B、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
D、圆台的主视图是等腰梯形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3．贵州是国内唯一兼具高海拔、低纬度、寡日照、多云雾，适宜种茶制茶条件的茶区，是国内业界公认的高品质绿茶重要产地．2022年贵州省茶叶总产量达到454000吨．将454000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．454×103 B．4.54×105 C．4.54×104 D．0.454×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：454000＝4.54×105．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
4．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝55°时，∠1的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】如图，由AB∥CD知∠2＝∠3＝55°，继而得∠4＝180°﹣90°﹣∠3＝35°，再根据∠1＝∠4可得答案．
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝55°，
∴∠4＝180°﹣90°﹣∠3＝35°，
∴∠1＝∠4＝35°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等的性质．
5．要使分式有意义，则（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣2 C．a≠2 D．a≠1
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
解：要使分式有意义，
则a+2≠0，
解得：a≠﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+4＝6（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．某初三学生6次立定跳远的成绩（单位：cm）如下：180，190，195，175，180，200．则这组数据的中位数是（ ）
A．175 B．180 C．185 D．195
【分析】根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数．
解：∵这组数据按照从小到大排列是：175，180，180，190，195，200，
∴这组数据的中位数是＝185（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确题意，利用中位数的知识解答．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若 DC＝4，则在△ABD中，AB边上的高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作DH⊥AB于H点，如图，利用基本作图得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝4，从而得到AB边上的高．
解：作DH⊥AB于H点，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
而DC⊥BC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝4，
即在△ABD中，AB边上的高为4．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＜﹣2 B．﹣a＜b C．a﹣b＜0 D．a＜2
【分析】利用数轴比较数的大小逐个判断即可．
解：A、∵﹣2＜b＜﹣1，故A不正确；
B、∵2＜a＜3，∴﹣3＜﹣a＜﹣2，∴﹣a＜b，故B正确；
C、∵a在b的右边，∴a＞b，故C不正确；
D、∵2＜a＜3，故D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的比较，数轴的性质是解题关键．
10．下列四个命题，正确的是（ ）
①经过三点一定可以画一个圆；
②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；
③三角形的外心一定在三角形的外部；
④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
【分析】根据确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念判断．
解：①经过不在同一直线上的三点一定可以画一个圆，故本小题说法错误；
②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，说法正确；
③钝角三角形的外心一定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形的内部，故本小题说法错误；
④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等，说法正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念是解题的关键．
11．“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图①的“七巧板”，设计拼成了图②的水杉树树冠．如果已知图①中正方形纸片的边长为4，则图②中BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】过A作AE⊥MN于E，根据等腰直角三角形的性质得到AE＝MN＝2（cm），HF＝BF＝BE＝2（cm），于是得到结论．
解：如图，过A作AE⊥MN于E，
∵MN＝BH＝4cm，
∴AE＝MN＝2（cm），HF＝BF＝BE＝2（cm），FG+FG＝4cm，
∴FG＝2cm，CF＝2cm，
∴BC＝BF+CF＝4cm
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的应用，正确的识别图形是解题的关键．
12．近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，如图为淘宝某商家从2023年2月开始共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．第1周销量最低，是500个
B．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周
C．第3周和第5周的销量一样
D．第1周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大
【分析】根据图象逐项分析即可．
解：由图象可知：
第1周销量最低，是500个，故选项A不合题意；
在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，均增长1000个，故选项B不合题意；
第3周和第5周的销量一样，故选项C不合题意；
第1周到第4周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大，第4周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而减少，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出销量，观察函数图象的横坐标得出第几周，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
二、填空题：每题4分，共16分。
13．分解因式：x2﹣1＝ （x+1）（x﹣1） ．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
14．为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛．若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是 ．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
解：∵该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛，
∴这名学生是女生的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，点A是反比例函数图象上的一个点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为6，则 k＝ ﹣6 ．
【分析】由于点A是反比例函数y＝上一点，矩形ABOC的面积S＝|k|＝6，则k的值即可求出．
解：由题意得：S矩形ABOC＝|k|＝6，
∵双曲线位于第二、四象限，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝图中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D为AB的中点，点E为平面内任意一点，且，连接AE，DE．当∠ADE＝90°时，AE的长为 或 ．
【分析】根据题意以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，得C（0，0），A（0，2），B（2，0），D（，1），设E（x，y），根据勾股定理和，得到方程求出x，y的值，再利用两点间距离公式即可解决问题．
解：在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD＝2，
如图，以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
∴C（0，0），A（0，2），B（2，0），
∵点D为AB的中点，
∴D（，1），
设E（x，y），
∵，
∴CE2＝x2+y2＝，
∵AE2＝（x﹣0）2+（y﹣2）2，DE2＝（x﹣）2+（1﹣y）2，AD2＝4，∠ADE＝90°，
根据勾股定理得：AE2＝DE2+AD2，
（x﹣0）2+（y﹣2）2＝（x﹣）2+（1﹣y）2+4，
整理得：y＝x﹣2，
将y＝x﹣2代入x2+y2＝整理得，
x2﹣x+＝0，
解得x1＝，x2＝，
∴y1＝0，y2＝﹣1，
∴E（，0）或（，﹣1），
∴AE2＝（）2+22＝或AE2＝（）2+（2+1）2＝，
∴AE＝或AE＝．
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形，两点间距离公式，有一定难度，关键是建立平面直角坐标系解决问题．
三、解答题：本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先根据有理数的乘方，绝对值和立方根的定义进行计算，再算加减即可；
（2）②×2﹣①得出﹣7y＝14，求出y，再把y＝﹣2代入②求出x即可．
解：（1）；
＝4+2﹣﹣2
＝4﹣；
（2），
②×2﹣①，得﹣7y＝14，
解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入②，得x+4＝4，
解得：x＝0，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．2023年3月28日是第28个全国中小学生安全教育日，某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 40 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
【分析】（1）把各组频数相加即可；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据（2）的结论解答．
解：（1）4+6+10+12+8＝40（名），
故答案为：40；
（2）960×＝480（名），
故优秀的学生人数约为480名；
（3）加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活动，提高避险能力．
【点评】本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及样本估计总体思想的运用．
19．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），B（n，﹣1）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
【分析】（1）把A、B两点代入反比例函数解析式，求出m、n的值，再把两点坐标值代入一次函数解析式，求出k、b的值；
（2）画出两函数图象，按图象写出不等式的解集．
解：（1）∵点A、B在反比例函数的图象上，A（2，m），B（n，﹣1），
∴2m＝﹣n＝4，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴A（2，2），B（﹣4，﹣1），
∵点A、B在一次函数图象上，
∴分别把A（2，2），B（﹣4，﹣1），代入y＝kx+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式是：y＝x+1；
（2）画出图象如图所示：
由图象可知：不等式的解集是x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，数形结合是解题的关键．
20．中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣”．如图①所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．
（1）在图②中，AB呈水平状态，若入射角∠BOC＝30°，∠OAD＝15°（入射角等于反射角，OC，AD为法线），则∠BAD＝ 90 度；
（2）在（1）的条件下，若米，求点A到OB的距离．
【分析】（1）由题意可知，AD⊥AB，直接写出∠BAD的度数即可；
（2）过点A作AE⊥OB于点E，根据题意可得∠AOB＝60°，进而求得∠OAB＝75°，根据三角形内角和定理可得∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝45°，以此可证明△AEB为等腰直角三角形，则AE＝AB•sin∠B，即可求解．
解：（1）∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°；
故答案为：90；
（2）如图，过点A作AE⊥OB于点E，
∵入射角∠BOC＝30°，入射角等于反射角，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°，
∵AD⊥AB，∠OAD＝15°，
∴∠OAB＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝45°，
∵AE⊥OB，
∴△AEB为等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB＝10米，AE＝AB•sin∠B＝＝（米）．
∴点A到OB的距离为米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意正确构造出直角三角形，由三角形内角和定理求出∠B＝45°是解题关键．
21．某超市用1000元购进一批商品，很快销售完毕，接着又用1100元购进第二批商品，已知两批商品的数量相等，且第一批商品每件的进货价比第二批商品每件进货价少1元．
（1）这两批商品进货价每件各是多少元？
（2）第一批商品以每件16元全部售出后，若想两批商品所得的利润率不低于50%，则第二批商品每件的售价最少为多少元？
【分析】（1）设第一批拖鞋进货价每双是x元，则第二批拖鞋进货价每双是（x+1）元，利用数量＝总价÷单价，结合购进两批拖鞋的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第一批拖鞋进货单价，再将其代入（x+1）中，可求出第二批拖鞋进货单价；
（2）利用数量＝总价÷单价，可求出第一批及第二批购进拖鞋的数量，设第二批拖鞋的售价为y元/双，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合两批所得的利润不低于50%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设第一批拖鞋进货价每双是x元，则第二批拖鞋进货价每双是（x+1）元，
根据题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴x+1＝10+1＝11．
答：第一批拖鞋进货价每双是10元，第二批拖鞋进货价每双是11元．
（2）第一批及第二批购进拖鞋的数量为1000÷10＝100（双）．
设第二批拖鞋的售价为y元/双，
根据题意得：16×100﹣1000+100y﹣1100≥（1000+1100）×50%，
解得：y≥15.5，
∴y的最小值为15.5．
答：第二批拖鞋的售价最少为15.5元/双．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，DE∥AC，DE＝OC．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求四边形ACDE的面积．
【分析】（1）先证四边形AODE为平行四边形，再由ABCD是菱形的性质得∠AOD＝90°，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质求出AD，OA，由勾股定理得出OD的长，再根据梯形的面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵菱形ABCD，
∴DE＝OC，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
在△EAD和△AOD中，
，
∴△EAD≌△AOD（ASA），
∴AE＝OD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝8，OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，
∴OA＝AC＝4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
由（1）得：四边形AODE是矩形，
∴四边形ACDE的面积＝（DE+AC）×AE×＝（4+8）×4×＝24．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）根据条件，写出一对相等的线段或相等的角；
（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长．
【分析】（1）根据垂径定理可得相等的线段；
（2）设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由AB⊥CD得到DE＝CD＝8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，所以⊙O的半径为10；
（3）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，则2∠B+∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D+∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数，即可得出∠COD的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，
∴CE＝DE；
（2）设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×16＝8，
在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝r﹣4，OD＝r，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，
∴⊙O的半径为10；
（3）如图，连接OC，
∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，
∵∠DOE+∠D＝90°，
∴2∠B+∠D＝90°，
∵∠B＝∠D，
∴2∠D+∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CAD的长为＝．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长的计算等，运用方程思想是解题的关键．
24．使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x+3，令y＝0 可得 x＝﹣3，我们说﹣3是函数y＝x+3的零点，此时，（﹣3，0）就称为该零点所对应的点．
（1）已知二次函数y＝x2﹣5，求该二次函数的零点；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）（a为常数），小兰算出该二次函数只有一个零点，你觉得对吗？请说明理由；
（3）已知﹣2是二次函数y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）的一个零点．在x轴的下方是否存在一个点M，与该函数的顶点、两个零点所对应的点组成一个平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝x2﹣5＝0，则x＝，即可求解；
（2）由Δ＝（﹣4a）2+8（a+1）＝4（a+1）2+12a2+4＞0，即可求解；
（3）求出这两个零点对应的点的坐标为：（﹣2，0）、（，0），当PQ为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当PM或PN为对角线时，可解．
解：（1）令y＝x2﹣5＝0，则x＝，
即函数的零点为：和﹣；
（2）小兰计算错误，应该有两个零点，理由：
令y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）＝0，
则Δ＝（﹣4a）2+8（a+1）＝4（a+1）2+12a2+4＞0，
则方程有两个不相等的实数根，即二次函数有2个零点，
故小兰计算错误；
（3）存在，理由：
当x＝﹣2时，y＝x2﹣4ax﹣2（a+1）＝6a+2＝0，
则a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，
令y＝x2+x﹣＝0，则x＝﹣2或，
则这两个零点对应的点的坐标为：（﹣2，0）、（，0），
设这两个零点对应的点为点P、点Q；
设抛物线的顶点为点N，由抛物线的表达式知，点N（﹣，﹣），
设点M的坐标为：（m，n），n＜0，
当PQ为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：，
即点M的坐标为：（﹣，）（舍去）；
当PM或PN为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
即点M的坐标为：（2，﹣）或（﹣，﹣）；
综上，点M的坐标为：（2，﹣）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、新定义等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4．
（1）如图①，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得点C落在点C处，AD与BC相交于点E，则BE与DE的数量关系是 BE＝DE ；
（2）如图②，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF 折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，过B′作B′H⊥BC，交EF于点G．若AB'＝2，求GH的长．
（3）如图③，点E，F分别是AB，BC边上的点，将△BEF折叠，使得点B正好落在AD边上的B′点，当点E，F分别在AB，BC上移动时，点B也在边AD上随之移动，请直接写出DB′的取值范围．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得出△BDE的等腰三角形即可得出结论；
（2）设B'G＝x，由翻折知BE＝B'E，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出，B'G＝BE＝B'E＝x，AE＝3﹣x，由勾股定理求出x，然后计算GH即可；
（3）当点E和点A重合时得出DB'的最小值，当点F与点C重合时求出DB'的最大值即可．
解：（1）由折叠知，∠EBD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
即△EBD是等腰三角形，
∴BE＝DE，
故答案为：BE＝DE；
（2）∵B'H⊥BF，
∴B'H∥AB，
∴四边形ABHB'是矩形，
∴B'H＝AB＝3，
由折叠知，∠BEG＝∠B'EG，BE＝B'E，
∵∠BEG＝∠EGB'，
∴B'E＝B'G，
设BE＝B'E＝B'G＝x，
则AE＝3﹣x，
由勾股定理得，AE2+AB'2＝B'E2，
即（3﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴GH＝B'H﹣B'G＝3﹣＝；
（3）由题意知，当点E和点A重合时得出DB'的最小值，
此时DB'＝AD﹣AB'＝4﹣3＝1，
当点F与点C重合时求出DB'的最大值，
此时DB'＝＝，
∴DB′的取值范围为1≤DB'≤．
【点评】本题主要考查矩形的综合题，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
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