2023年贵州省贵阳市南明第一实验中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年贵州省贵阳市南明第一实验中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共15小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  接种疫苗是防控新冠疫情最有效的手段之一，截至年月日，我国个省区市累计接种新冠疫苗已突破亿剂次将数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，，若，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

8.  中国传统数学重要著作九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三人出七，不足四，问人数、物价各几何据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出元，则多了元如果每人出元，则少了元，问组团人数和物价各是多少若设人参与组团，物价为元，则以下列出的方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为，则自动扶梯的长约为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

11.  下列说法正确的是(    )

A. “清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 一组数据，，，，，的众数、中位数和平均数都是
D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙组队员的身高比较整齐

12.  一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是(    )
 

A.
B.
C.
D.

13.  如图，在宽为、长为的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要，则修建的路宽应为(    )

A.  
B.  
C.  
D.  

14.  如图，矩形纸片，：：，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为(    )
 

A.
B.
C.
D.

15.  二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(    )

A.  B. 函数的最大值为
C. 当时， D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

16.  将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______．

17.  如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为______
 

18.  如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为______ ．

19.  如图放置的，，都是边长为的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是______．

20.  如图，反比例函数的图象上有两点、，连接、、，并延长，交轴正半轴于点，若点坐标为，，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求值：其中．

22.  本小题分
解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
 

23.  本小题分
某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查每人只能选一项：动物园；七星湖；鄂尔多斯大草原；康镇；蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．

求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
扇形统计图中 ______ ，表示的扇形的圆心角是______ 度；
九年级准备在最喜欢景区的名学生中随机选择名进行实地考察，这名学生中有名男生和名女生，请用树状图或列表法求选出的名学生都是女生的概率．

24.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
求证：平分；
若，，求：边及的长．

25.  本小题分
了抗击新冠肺炎，我市面向社会开展新冠疫苗免费接种工作，现有支疫苗从仓库运送到某接种点，准备租用、两种型号的专车进行运送若租用型专车辆、型专车辆，需要费用元；租用型专车辆、型专车辆，需要费用元．
租用每辆、型号的专车分别需要多少元？
若型专车每辆可装载支疫苗，型专车每辆可装载支疫苗，现租用、两种型号的专车共辆来一次性运输这批疫苗，且型专车的数量不少于型专车的数量，则有哪儿种租车方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？

26.  本小题分
如图，四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到．

请求出旋转角的度数；
请判断与的位置关系，并说明理由；
若，，试求出四边形的对角线的长．

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
求抛物线的解析式和直线的解析式；
请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
先根据求出的度数，再由即可求出的度数．
本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项正确；
C、，所以选项错误；
D、与不能合并，所以选项错误．
故选：．
根据合并同类项法则可判断选项A；根据完全平方公式可判断选项B；根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算可判断选项C；根据二次根式的加法法则计算可判断选项D．
此题考查的是合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、二次根式的加法运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这个八边形的内角和为：
；
这个八边形的每个内角的度数为：
；
这个八边形的每个外角的度数为：
；
这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
．
故选：．
此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的．
此题考查多边形的内角与外角的关系．解题的关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
，
，
故选：．
在中，利用正弦函数列式即可求出的长．
本题考查解直角三角形的简单应用，熟悉直角三角形中边角关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：


，
，
，即，
方程总有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算判别式，再配方得到，然后根据非负数的性质得到，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：、“清明时节雨纷纷”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
B、为了了解一批灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式进行，本选项说法错误，不符合题意；
C、一组数据，，，，，的众数、中位数都是，平均数，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，
，
乙组队员的身高比较整齐，本选项说法正确，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了弧长公式和切线的性质，解题时，熟记弧长公式和切线的性质即可解答．
首先利用切线的性质得到，然后根据求得，从而利用弧长公式求解即可．
【解答】
解：由题意得：和分别与相切于点和点，
，，
，
，
，
，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去面积．
【解答】
解：设修建的路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：不合题意，舍去，．
故选A．  

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于点，设与交于点，

由折叠可知，点与点对应，则，
，，
，即，
又，
∽，
．
故选A．
过点作于点，设与交于点，利用两角对应相等求证∽，即可求出的值．
本题考查翻折变换，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可知，抛物线图象开口向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
．
抛物线与轴的交点坐标在轴上方，
，
，故A选项不符合题意；
当时，函数的最大值为：，故B选项不符合题意；
由图可知，抛物线与轴的另一交点为，
当时，，故C选项不符合题意；
当时，，
，
即，故D选项符合题意．
故选：．
利用抛物线图象开口方向得到，根据抛物线的对称轴得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，则可对选项进行判断；利用二次函数的最值问题可对选项进行判断；利用抛物线与轴的交点与图象可对选项进行判断；利用，可对选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的图象开口方向，当时，抛物线图象开口向上，当时，抛物线图象开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点的个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

16.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位，得到的直线的解析式为．
故答案为．
根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
本题考查了一次函数图象与几何变换：对于一次函数，若函数图象向上平移个单位，则平移的直线解析式为．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据，得到∽，∽，根据相似三角形的性质可知，，即可得到结论．
【解答】
解：如图，

，
∽，∽，
，，
即，，
解得：，．
故答案为．  

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是菱形，对角线，相交于点，，，
，，，
，
，即是等边三角形，
又是的中点，
，
，
，
，
，
的最小值为的长，
即的最小值为，
故答案为：．
连接，依据菱形的性质即可计算得到的长，再根据线段的性质，即可得到的最小值为的长．
此题考查了轴对称最短路线问题，关键是掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题意知，
设，
则，
解得，
，
，
故答案为．
先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标．
本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要能根据图象计算出的值，然后才能根据勾股定理算出的坐标，而的坐标和的坐标只有纵坐标差了一个，加上即可．
 

20.【答案】 

【解析】解：过作轴，过作轴，
，
，
∽，
，
：：，
：：，
：：：，
，，
，
，
设，，可得，即，
，且，
，
，即，
整理得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
，
把坐标代入得：．
故答案为：．
过作轴，过作轴，可得一对直角相等，再由公共角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形与三角形相似，由相似得比例，根据三角形面积与坐标求出的长，进而求出的长，设出与坐标，分别代入反比例解析式得到与的关系式，再根据四边形面积三角形面积三角形三角形面积梯形面积，且三角形面积三角形面积，得到梯形面积三角形面积，根据题意求出面积，即为梯形面积，利用梯形面积公式表示出与的关系式，两式联立求出与的值，确定出与的坐标，即可求出的值．
此题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：对应的圆心角为，的人数是，
此次抽取的九年级学生共人，
对应的人数是：，
补全条形统计图如图所示：












，
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中选出的名学生都是女生的结果数为，
选出的名学生都是女生的概率为． 

【解析】见答案；
所占的百分比为，
，
表示的扇形的圆心角是；
故答案为：，；
见答案．

用项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数分别减去其它项目的人数得到项目的人数，即可补全条形图；
用项目人数除以总人数得到项目的百分比的值，用乘以项目人数所占比例可得其圆心角度数；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出名学生都是女生的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了统计图．
 

24.【答案】证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，如图，
，
，
在中，，
，
，
为直径，
，
，
，
． 

【解析】连接，如图，根据切线的性质得，然后证明，从而得到结论；
连接，如图，利用正切的定义可求出，再利用勾股定理计算出，接着根据圆周角定理得到，则利用正切的定义求出，然后利用勾股定理计算出．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 

25.【答案】解：设租用每辆型号的专车需要元，每辆型号的专车需要元，
根据题意，得，
解得，
答：每辆型号的专车需要元，每辆型号的专车需要元；
设型号的专车有辆，则型号的专车有辆，
根据题意，得，
解得，
解得，
不等式组的解集为，
为整数，
，，，
有如下三种方案：
型车辆，型车辆，运费为：元；
型车辆，型车辆，运费为：元；
型车辆，型车辆，运费为：元；
答：型车辆，型车辆时费用最低，最低费用是元． 

【解析】设租用每辆型号的专车需要元，每辆型号的专车需要元，根据“租用型专车辆、型专车辆，需要费用元；租用型专车辆、型专车辆，需要费用元”列方程组解答即可；
设型号的专车有辆，则型号的专车有辆，根据“型专车每辆可装载支疫苗，型专车每辆可装载支疫苗；型专车的数量不少于型专车的数量”列不等式组可得的取值范围，再根据车辆数是正整数写出设计方案；然后分别求出各种方案费用即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系和不等量关系是解题的关键，利用一次函数的增减性和自变量的取值范围求最值是常用的方法．
 

26.【答案】解：将绕点顺时针旋转得到
≌
，
又，


故旋转角的度数为
．

理由如下：
在中，

≌

即
又



如图，连接，

由旋转图形的性质可知
，，旋转角

，

在中，



在中，

 

【解析】由旋转的性质可得≌，可得，即可求旋转角的度数；
由全等三角形的性质可得，可求，即可得；
由勾股定理可求的长，进而得到的长度，根据全等三角形的性质可推出，即可得出答案．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明是解本题的关键．
 

27.【答案】解：设抛物线解析式为，
即，
，解得，
抛物线解析式为；
当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
，
顶点的坐标为，
作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则，
，
，此时的值最小，
而的值不变，
此时的周长最小，
易得直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
存在．
过点作的垂线交抛物线于另一点，如图，
直线的解析式为，
直线的解析式可设为，
把代入得，
直线的解析式为，
解方程组，解得或，则此时点坐标为；
过点作的垂线交抛物线于另一点，直线的解析式可设为，
把代入得，解得，
直线的解析式为，
解方程组，解得或，则此时点坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为或， 

【解析】设交点式，展开得到，然后求出即可得到抛物线解析式；再确定，然后利用待定系数法求直线的解析式；
利用二次函数的性质确定的坐标为，作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，则此时的周长最小，然后求出直线的解析式即可得到点的坐标；
过点作的垂线交抛物线于另一点，如图，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线的解析式为，把点坐标代入求出得到直线的解析式为，再解方程组得此时点坐标；当过点作的垂线交抛物线于另一点时，利用同样的方法可求出此时点坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．