2022年广东省梅州市大埔县九年级数学一模试卷

这是一份2022年广东省梅州市大埔县九年级数学一模试卷，共23页。

2022年广东省梅州市大埔县九年级数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2023的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．3202 C． D．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
4．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
5．（3分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和中位数分别是（　　）
A．4，1 B．5，5 C．4，4 D．4，5
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a2•a3＝2a6 B．（3ab）2＝6a2b2
C．2abc+ab＝2 D．3a2b+ba2＝4a2b
7．（3分）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．（3分）如图，是一张长方形纸片（其中AB∥CD），点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为（　　）

A．108° B．120° C．136° D．144°
9．（3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：3x2﹣12y2＝　 　．
12．（4分）一个六边形的外角和为 　 　°．
13．（4分）祖冲之发现的圆周率的分数近似值≈3.1415929，称为密率，比π的值只大0.0000003，0.0000003这个数用科学记数法可表示为 　 　．
14．（4分）已知：点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝图象上（k＞0），用“＜”表示y1、y2、y3的大小关系是 　 　．
15．（4分）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 　 　．

16．（4分）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为 　 　．

17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 　 　．（填序号）

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（π﹣）0+﹣9tan30°．
19．（7分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作∠B的平分线BD交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若DC＝2，求AC的长．

21．（7分）我区某校想知道学生对“老瀛山”，“古剑山”，“东溪古镇”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不知道，B．了解较少，C．了解较多，D．十分了解．将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查了多少名学生？
（2）根据调查信息补全条形统计图；
（3）该校共有800名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
（4）在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．

22．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，CA＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接EF，求的值．

23．（8分）新华商场销售某种电子产品，每个进货价为40元，调查发现，当销售价格为60元时，平均每天能销售100个；当销售价每降价1元时，平均每天多售出10个，该商场要想使得这种电子产品的销售利润平均每天达到2240元．
（1）每个电子产品的价格应该降价多少元？
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，该商场应该将该电子产品按照几折优惠销售？
（3）当定价为多少时，商场每天销售该电子产品的利润最大？最大利润是多少？
24．（9分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．
（1）请在图1中再找出一对这样的角来：　 　＝　 　；
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD．
①四边形ABCD　 　损矩形（填“是”或“不是”）；
②当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由；
③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5，求BC的长．

25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若∠PDC＝45°，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值．


2022年广东省梅州市大埔县九年级数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵互为倒数的两个数乘积为1，
∴2023的倒数是，
故选：D．
2． 解：从正面看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，
故选：C．
3． 解：设盒子里有白球x个，
根据＝得：
＝
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选：A．
4． 解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A错误；
|a|＞|b|，故B错误；
a+b＜0，故C错误；
＜0，故D正确；
故选：D．
5． 解：这组数据的众数为4，中位数为＝4，
故选：C．
6． 解：（A）原式＝2a5，故A错误；
（B）原式＝9a2b2，故B错误；
（C）2abc与ab不是同类项，故C错误；
故选：D．
7． 解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4×（a﹣2）＞0，
解得a＜．
观察选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
8． 解：由折叠的性质，可知：∠AEF＝∠FEH．
∵∠BEH＝4∠AEF，∠AEF+∠FEH+∠BEH＝180°，
∴∠AEF＝×180°＝30°，∠BEH＝4∠AEF＝120°．
∵AB∥CD，
∴∠DHE＝∠BEH＝120°，
∴∠CHG＝∠DHE＝120°．
故选：B．
9． 解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y＝AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C和D不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y＝AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y＝PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项B正确；
故选：B．



10． 解：如图1，

根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH．故③正确；
如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．

∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KF＝BC＝AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，
∴∠ABP＝∠EFK，
∵∠A＝∠EKF＝90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF＝BP，故②正确，
如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB＝∠BPH，
∴BA＝BQ，
∵BP＝BP．
∴Rt△ABP≌Rt△QBP（HL），
∴AP＝QP，
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）
∴CH＝QH，
∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正确；
设EF与BP的交点为点N，如图4，

∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，
∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，
∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH＝，
即∠PBM＝45°，
由折叠知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，
∵在四边形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，
∴∠MFH+∠DPN＝180°，
∵∠DPN+∠APN＝180°，
∴∠APN＝∠MFH，
当AP≠AE时，∠APE≠45°，则∠APN≠∠EPM，
此时，∠MFH≠∠MHF，则此时MH≠MF，故⑤错误；
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：3x2﹣12y2
＝3（x2﹣4y2）
＝3（x﹣2y）（x+2y），
故答案为：3（x﹣2y）（x+2y）．
12． 解：六边形的外角和是360°．
故答案为：360．
13． 解：0.0000003＝3×10﹣7．
故答案为：3×10﹣7．
14． 解：∵反比例函数中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣2，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∵0＜2＜3，
∴点B（2，y2），C（3，y3）位于第一象限，
∴y2＞y3＞0．
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
15． 解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝＝2，
∵OC＝2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
故答案为：45°．
16． 解：作MH⊥DE于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，
∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠2＝60°，
∴△AED为等边三角形，
∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，
∴∠5＝∠6＝30°，
∴△MDE为等腰三角形，
∴DH＝EH＝，
在Rt△MDH中，MH＝DH＝，
∴S△MDE＝×1×＝．
故答案为：．

17． 解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴②错误．
∵b＝﹣2a，
∴③正确．
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴④错误．
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≤a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．
∴⑤正确．
故答案为：①③⑤．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：原式＝1+9+3﹣9×＝10．
19． 解：（1+）÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
20． 解：（1）如图射线BD即为所求；


（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝4，
∴AD＝4，
∴AC＝AD+CD＝4+2＝6．
21． 解：（1）30÷30%＝100（人），
答：本次调查了100人．
（2）B组人数为：100﹣10﹣30﹣20＝40（人），
补全条形图如图所示：

（3）“十分了解”人数为：800×＝160（人）；
（4）树状图如下：

共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女有8种．
所以，所选两人恰好是一男一女的概率为＝．
22． （1）证明：连接OD，
∵∠C＝90o
∴∠DBC+∠BDC＝90°
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB．
∴∠ODB+∠BDC＝90o
∴∠ODC＝90°
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径．
设⊙O的半径为r，
∵AB2＝BC2+CA2＝92+122＝225，
∴AB＝15．
∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠C＝90o
∴△ADO∽△ACB．
∴＝，即＝．
∴r＝．
∴BE＝．
又∵BE是⊙O的直径，
∴∠BFE＝90°
∴△BEF∽△BAC．
∴＝＝＝．

23． 解：（1）设每个电子产品的价格应该降价x元，由题意得：
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240
∴（x﹣4）（x﹣6）＝0
∴x1＝4，x2＝6
∴每个电子产品的价格应该降价4元或6元．
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，
该商场应该将该电子产品可以降价6元销售：
（60﹣6）÷60＝0.9
∴该商场应该将该电子产品按照九折优惠销售．
（3）设定价为x元，商场每天销售该电子产品的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣40）[100+（60﹣x）×10]
＝（x﹣40）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250
∵二次项系数为﹣10＜0
∴当x＝55时，w有最大值，最大值为2250元．
24． 解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD＝∠ACD；

故答案为：∠ABD，∠ACD（或∠DAC，∠DBC）；
（2）①∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是损矩形，
故答案为：是；
②四边形ACEF为正方形，理由如下：
证明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵四边形ABCD为损矩形，
∴∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠ACE＝2∠ACD＝90°，
∴四边形ACEF为正方形；
（3）过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，

∵四边形ACEF是菱形，∠ACE＝60°，
∴AC＝CE，∠ACF＝30°，AE⊥CF，
∵四边形ABCD为损矩形，
∴∠ACD＝∠ABD＝30°，
∴HD＝BD＝，BH＝HD＝，
∴AH＝BH﹣AB＝，
∴AD＝＝，
∵∠ACF＝30°，AE⊥CF，
∴AC＝2，
∴BC＝＝＝6．
25． 解：（1）∵点A（2，0），在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解法一：
如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，
∴∠DPE＝90°，∠DFP＝∠PGE＝90°，
又∵∠PDC＝45°，
∴△PDE为等腰直角三角形，PE＝PD，
设点P坐标为（0，m），
∵点D坐标为，
∴，PF＝3，
∵DF⊥PF，EG⊥PG，
又∵∠DPE＝90°
∴∠FDP+∠DPF＝90°，∠EPG+∠DPF＝90°
∴∠FDP＝∠EPG，
在△DFP和△PGE中，
，
∴△DFP≌△PGE（AAS），
∴，EG＝PF＝3，
∴，
∵C为抛物线与y轴交点，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
又∵点D坐标为，
设直线CD的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CD的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
∴点P的坐标为．
解法二：
把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF，

∴△CDF为等腰直角三角形，CD＝CF，∠CDF＝45°，
∴DF与y轴的交点即为P点，
作DG⊥y轴于G，作FH⊥y轴于H，
∴∠DGC＝∠CHF＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DCG+∠HCF＝90°，
∴∠CDG＝∠HCF．
在△CDG和△FCH中，
，
∴△CDG≌△FCH（AAS），
∴GC＝HF，DG＝CH，
∵C为抛物线与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为，
∴DG＝3，，
∴，CH＝DG＝3，
∴OH＝4﹣3＝1，
∴F坐标为，
设直线CF的表达式为y＝k1x+b1，
∴，
解得：，，
∴直线CF的表达式为，
当x＝0时，，
∴点P的坐标为．
解法三：
过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，

∴∠PEC＝∠DFC＝90°，
∵C为抛物线与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为（﹣3，），
∴，
∴DF＝3，，
∴，
∵∠DFC＝∠PEC＝90°，
又∵∠FCD＝∠ECP，
∴△DCF∽△PCE，
∴，
∴，
∴PE＝2CE．
∵PE⊥CD，∠PDC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDC＝45°，
∴PE＝DE，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）解法一：
过点N作NH∥y轴，交直线AD于点H，则∠HNO＝∠QOM，

又∵∠NMH＝∠OMQ，
∴△MNH∽△MOQ，
∴，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
当x＝0时，y＝1，
∴直线AD与y轴的交点坐标为Q（0，1），
∴OQ＝1，
设，
∴N的坐标为，其中﹣3≤t≤0，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为．
解法二：
过点N作NQ∥x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA＝∠QAB，

又∵∠NMQ＝∠OMA，
∴△MNQ∽△MOA，
∴，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
设点N坐标为，
∴点Q坐标为，其中﹣3≤t≤0，
∴NQ＝t﹣（t2+2t﹣6）＝﹣t2﹣t+6，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为．





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