2022-2023学年福建省莆田市仙游县郊尾枫亭教研片区七校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省莆田市仙游县郊尾枫亭教研片区七校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

5.  若三个正方形的面积如图所示，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

7.  九章算术中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设木柱长度为尺，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，平行四边形中，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在四边形中，对角线、相交于点，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，你添加的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，周长为的菱形中，，点、分别是，边上的动点，则点为对角线上一动点，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知直角三角形两边的长分别为和，则第三边的长为______ ．

12.  已知，，是的三边长且，，满足关系式，则的最大内角为        ．

13.  已知菱形的对角线，，则菱形的面积为______．

14.  如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为已知，大正方形边长为，则小正方形的面积为______ ．

15.  计算：______．

16.  如图，正方形中，点是边的中点，、交于点，、交于点，则下列结论：
；
；
；
．
其中正确的序号是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  观察：，即，的整数部分为，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______．
如果的小数部分为，的小数部分为，求的值．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
；
．

19.  本小题分
在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为．
写出，，三点坐标．
判断的形状并说明理由．

20.  本小题分
如图，每个小正方形的边长为，，，是小正方形的顶点．
求和；
求的度数．

21.  本小题分
已知：，求下列各式的值．
；
．

22.  本小题分
如图所示，已知，是的两条中位线．求证：四边形是平行四边形．

23.  本小题分
如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米
此时梯子顶端离地面多少米？
若梯子顶端下滑米到处，那么梯子底端将向左滑动多少米到处？

24.  本小题分
如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接、、、．
求证：≌；
若，，求四边形的面积．

25.  本小题分
如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
若，，求的长度；
当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：．
直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由数轴可知：，
，，
原式


，
故选：．
根据二次根式的性质以及根据数轴判断即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，
由勾股定理得，正方形的边长，
正方形的面积为，
故选：．
根据算术平方根的概念分别求出两个正方形的边长，根据勾股定理求出正方形的边长，求出正方形的面积．
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：设木柱长为尺，可列方程为，
故选：．
设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角相等是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：添加一个条件，使四边形是平行四边形，添加的条件是，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
故选：．
由平行四边形的判定方法即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟记：对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

如图，连接，交于点，过作，垂足为，交于点，
当点与点重合，过作的垂线并延长交于点，有最小值，最小值．
菱形的周长为，，
，，
是等边三角形，
，
，垂足为，
，
在中，由勾股定理得，
．
故选：．
点在边上的任意一点，点在边上的任意一点，依据“饮马问题”，过点作的垂线并延长，交于点，由菱形的性质可知，点与点关于直线对称，连接交于点，点在处时，最短，；点、分别是，边上的动点，根据垂线段最短知，当时，最小，此时最小；过点作，垂足为，则的长度即的最小值．
考查菱形的性质、轴对称、等边三角形的判定、勾股定理、最小值问题等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
 

11.【答案】或 

【解析】解：当和均为直角边时，第三边；
当为斜边，为直角边，则第三边，
故第三边的长为或．
故答案为：或．
分是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得：，，
解得：，，
，
，
的形状为直角三角形，且，
故答案为：．
根据算术平方根和平方式的非负性求得和值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理、算术平方根和平方式的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确求出和值是解答的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形中，对角线，，
．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半代入数据计算即可．
本题主要考查了菱形的面积求法，除了利用平行四边形的面积公式：底高，经常利用对角线乘积的一半进行求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
即小正方形的面积为．
故答案为：．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的面积．
本题考查勾股定理，熟练运用勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为．
先根据积的乘方得到原式，然后根据平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

16.【答案】 

【解析】解：若，则，
，
而已知点是边的中点，
，
，这与矛盾，
，故错误；
点是边的中点，
，
而，，
≌，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，故正确；
和同底等高，
，
而，
，故正确；
≌，
，
而，，
，
≌，
，
而，
，故正确，
正确的有：，
故答案为：．
假设可推得，从而得到矛盾，可判断错误；证明≌可推出，证明≌，再根据即可推出正确；利用和同底等高推出其面积相等，减去面积即可判断正确；先证，再利用对顶角，即可证明正确．
本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质结合题干条件灵活推理是解题关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：；．
故答案为、．
根据题意，得
，
，
．

，
，．

．
答：的值为．
根据题目中所给规律即可得结果；
把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是根据无理数的整数部分确定小数部分．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】利用乘法分配律进行计算即可；
先化简再按照二次根式运算法则计算即可．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，；
是直角三角形，理由如下：
网格中每个小正方形的边长都为，
，，
在中，，，
，
是直角三角形． 

【解析】根据平面直角坐标系即可求解；
根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：连接．
根据勾股定理可以得到：，，
，；

，，
，即，
是等腰直角三角形，
． 

【解析】连接，根据勾股定理得到和的长度；
根据勾股定理得到，，的长度，根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，继而可得出的度数．
本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：，，



；

，，
，
，




． 

【解析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
根据二次根式的加法法则求出的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：，是的两条中位线．
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据三角形的中位线定理的位置关系即可得到要证明的四边形的对边的位置关系：两组对边分别平行．从而证明四边形是平行四边形．也可利用中位线定理的数量关系证明四边形的对边相等，从而证明是平行四边形．也可以用数量关系和位置关系结合证明．
本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，熟练运用三角形的中位线定理的线段之间的位置关系或数量关系．熟悉平行四边形的判定方法．
 

23.【答案】解：米，米，
梯子距离地面的高度米，
答：此时梯子顶端离地面米；
梯子下滑了米，即梯子距离地面的高度米，
米，
米，即下端滑行了米．
答：梯子底端将向左滑动了米． 

【解析】利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
由可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
，
．
由正方形性质可得：，，，
又，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
菱形的面积． 

【解析】由正方形的性质可得，，由“”可证≌，可得结论；
先证四边形是菱形，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】证明：过点作于点，过点作于点，如图所示：

则，，
，
在正方形中，，，
，
，
又四边形为矩形，
，
，
≌，
，
矩形是正方形；
解：过点作于点，如图所示：

则，
，，
四边形是矩形，
，
在正方形中，，，
在正方形中，，，
，
≌，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，可得，
；
解：分情况讨论：
当，
，
，
，
，
；
当时，如图所示：

，
，
，
，
，
综上，或． 

【解析】过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证≌，进一步可得，即可得证；
过点作于点，易证≌，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得的长；
分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数．
本题考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，本题综合性较强，难度较大．