2023年广东省实验中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省实验中学中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省实验中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2020的倒数是(    )
A. −2020 B. 2020 C. 12020 D. −12020
2. 某天的温度上升了−2℃的意义是(    )
A. 上升了2℃ B. 没有变化 C. 下降了−2℃ D. 下降了2℃
3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是(    )
A. −2xy2 B. 3x2 C. 2xy3 D. 2x3
4. 下列电视台图标中，属于中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
5. 如果关于x的一元二次方程x2−kx−6=0的一个根为3，那么k的值是(    )
A. −1 B. −2 C. 1 D. 2
6. 若5a2x−1b3与−2ab3y+1是同类项，则代数式2x+3y的值(    )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 在反比例函数y=1−kx的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是(    )
A. −1 B. 1 C. 2 D. 3
8. 将一副直角三角板按图放置，使含30°的三角板的短直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1度数的为(    )


A. 60° B. 70° C. 75° D. 80°
9. 若a2+b2−6ab=0，其中a，b都不为零，则(a+ba−b)2的值是(    )
A. −3 B. −2 C. 2 D. 1
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=6，BD=8.动点E从点B出发，沿着B−A−D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止．点F是点E关于BD的对称点，EF交BD于点P，若BP=x，△OEF的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为(    )


A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 据《国家卫生健康委员会官方网站》权威发布，截至2月8日24时，全国确诊新型冠状病毒肺炎病例33738例，数据33738用科学记数法表示为______ ．
12. 一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为______度．
13. 计算：|−2|+ 27−6cos30°−(−12)−2= ______ ．
14. 如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是CmA上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是______ 度．


15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点(不与点B、C重合)，且DA=DE，则AD的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解方程组2x+y=5x−y=1．
17. (本小题8.0分)
已知三个分式1x−2，2x2−4，xx+2将它们组合成(1x−2−2x2−4)÷xx+2或1x−2−2x2−4÷xx+2的形式，然后从中任选一种形式进行计算.(先化简，再求值，其中x=3)
18. (本小题8.0分)
作图并证明：
(1)如图，在△ABC的边AC的上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，证明：CD/​/AB．

19. (本小题9.0分)
蓝天初级中学为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A.篮球B.乒乓球C.羽毛球D.足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图.试解答下列问题：

(1)求这次被调查的学生的人数；
(2)将条形统计图(2)补充完整；
(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，用列表的方法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
20. (本小题9.0分)
甲、乙两公司参与一项治理大气净化工程，如果两公司合做，12天可以完成；如果两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．
(1)甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？
(2)已知这项工程甲、乙两公司合做共需付施工费102000元，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？
21. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=nx的图象交于点A(1,5)和点B(m,1)．
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)当x>0时，根据图象直接写出不等式nx≥kx+b的解集；
(3)若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的解析式.(结果用一般形式表示)

22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC，垂足为F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)求证：CE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为52，sinA=35，求BH和DF的长．

23. (本小题12.0分)
用如图①，②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：

探究一：将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P．
(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
(2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN.在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵2020×12020=1
∴2020的倒数是12020，
故选：C．
根据倒数的定义求解即可
本题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：某天的温度上升了−2℃的意义是下降了2℃；
故选：D．
根据正负数表示的意义解答即可．
本题考查了正负数的实际应用，属于应知应会题目，掌握正负数表示的意义是关键．

3.【答案】D 
【解析】解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A、−2xy2系数是−2，故本选项错误；
B、3x2系数是3，故本选项错误；
C、2xy3次数是4，故本选项错误；
D、2x3符合系数是2，次数是3，故本选项正确；
故选：D．
根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．

4.【答案】D 
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−kx−6=0的一个根为3，
∴32−3k−6=0，
解得：k=1，
故选：C．
把方程的根代入方程，即可求出k的值．
本题考查了一元二次方程的根，解一元一次方程，熟知一元二次方程根的定义是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵5a2x−1b3与−2ab3y+1是同类项，
∴2x−1=13y+1=3，
∴x=1y=23，
∴2x+3y=2+2=4．
故选：A．
根据同类项的定义找出同类项中相同字母指数之间的等量关系，即可求出关于2x和3y的值，即可求出2x+3y得值．
本题考查的是同类项．解题过程中是否熟练掌握同类项的定义是关键，同类项是指字母相同，并且相同的字母的指数也相同的两个式子．解题过程中无需求出具体x和y的值是解题的技巧．

7.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查反比例函数的性质的知识点，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1−k>0即可．
【解答】
解：∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1−k>0，
解得k<1．
故选：A．  
8.【答案】C 
【解析】解：由题意可得：∠D=60°，∠A=45°，

∴∠DGB=90°−60°=30°．
∵∠DGB与∠AGE是对顶角，
∴∠AGE=30°．
∴∠1=∠A+∠AGE=45°+30°=75°．
故选：C．
根据三角板可得：∠D=60°，∠A=45°，然后根据三角形内角和定理可得∠DGB的度数，进而得到∠AGE的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得结论．
此题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

9.【答案】C 
【解析】解：∵a2+b2−6ab=0，
∴a2+b2+2ab=8ab，a2+b2−2ab=4ab，
即(a+b)2=8ab，(a−b)2=4ab，
∵a，b都不为零，
∴(a+ba−b)2=(a+b)2(a−b)2=8ab4ab=2；
故选：C．
根据完全平方公式可先将已知的式子变形为(a+b)2=8ab，(a−b)2=4ab，然后整体代入所求式子计算即可．
本题考查了完全平方公式的变形和分式的求值，灵活应用整体思想是关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，
①当BP≤4时，
∵点F是点E关于BD的对称点，
∴EF⊥BD，
∴EF/​/AC，
∴△FEB∽△CBA，
∴EFAC=BPBO，即EF6=x4，
∴EF=32x，
∵OP=4−x，
∴△OEF的面积y=12EF⋅OP=12×32x(4−x)=−34x2+3x，
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)；
②当4 同理可得，EF=12−32x，OP=x−4，
∴△OEF的面积y=12EF⋅OP=12×(12−32x)(x−4)=−34x2+9x−24，
∴y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，开口向下，且过(4,0)和(8,0)；
故选：D．
先根据四边形ABCD是菱形，得到AB=BC=CD=DA，OA=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，再分两种情况讨论：①当BP≤4时，依据△FEB∽△CBA，得出EF=32x，
OP=4−x，进而得到△OEF的面积y=12EF⋅OP=−34x2+3x，由此可得y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)；②当4 本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列出比例式得出EF的表达式，根据三角形面积计算公式得到二次函数解析式．

11.【答案】3.3738×104 
【解析】解：数据33738用科学记数法表示为3.3738×104．
故答案为：3.3738×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．

12.【答案】720 
【解析】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，
∴它的边数为：360°÷60°=6，
∴它的内角和：180°×(6−2)=720°，
故答案为：720．
首先根据外角和与外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180°×(n−2)计算出答案．
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是正确计算出多边形的边数．

13.【答案】−2 
【解析】解：原式=2+3 3−6× 32−4
=2+3 3−3 3−4
=−2，
故答案为：−2．
先进行绝对值的化简、开方、特殊角的三角函数、负整数指数幂运算，然后合并．
本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、开方、特殊角的三角函数、负整数指数幂运算知识点，属于基础题．

14.【答案】29 
【解析】解：∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠ABO=32°，
∴∠AOB=90°−32°=58°，
∴∠ADC=12∠AOB=12×58°=29°．
先根据切线的性质求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数，由圆周角定理即可解答．
此题比较简单，解答此题的关键是熟知切线的性质、三角形内角和定理及圆周角定理，有一定的综合性．

15.【答案】2≤AD<3 
【解析】解：以D为圆心，AD的长为半径画圆
①如图1，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，
∵∠ABC=30°，
∴DE=12BD，
∵AB=6，
∴AD=2；
②如图2，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD=12AB=3，
∴AD的取值范围是2≤AD<3．
以D为圆心，AD的长为半径画圆，当圆与BC相切时，AD最小，与线段BC相交且交点为B或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．
利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键．

16.【答案】解：2x+y=5①x−y=1②，
①+②，可得3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①，可得2×2+y=5，
解得y=1，
∴原方程组的解是x=2y=1． 
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．

17.【答案】解：选一：(1x−2−2x2−4)÷xx+2
=[x+2(x+2)(x−2)−2(x+2)(x−2)]⋅x+2x
=x+2−2(x+2)(x−2)⋅x+2x
=x(x+2)(x−2)⋅x+2x
=1x−2，
当x=3时，原式=13−2=1；
选二：1x−2−2x2−4÷xx+2
=1x−2−2(x+2)(x−2)⋅x+2x
=1x−2−2x(x−2)
=xx(x−2)−2x(x−2)
=x−2x(x−2)
=1x，
当x=3时，原式=13． 
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．

18.【答案】(1)解：图中的∠CAE，AD，CD为所求作的图形；

(2)证明：∵∠EAC=∠ACB，
∴AD/​/CB，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB． 
【解析】对于(1)，以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以点A为圆心，CF为半径画弧，然后以点G为圆心，FP为半径画弧，交于点H，作射线AH，再截取AD=BC，连接CD；
对于(2)，根据(1)可知∠EAC=∠ACB，进而得出AD=BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案．
本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，平行四边形的性质和判定等，尺规作出一个角等于已知角是解题的关键．

19.【答案】解：(1)由于20÷36360=200(人)，
故这次被调查的学生共有200人；
(2)最喜欢羽毛球的人数为200−20−80−40=60(人)，
补全图形，如图所示：

(3)列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲
/
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
/
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
/
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
/
由上表可知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，故所求概率为212=16． 
【解析】(1)结合两个统计图，用A的人数除以A的占比即可求出被调查的学生的人数；
(2)先求出最喜欢羽毛球的人数再补全统计图即可；
(3)列出表格，得出所有等可能的结果，再求出恰好选中甲、乙两位同学的结果，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图和求两次事件的概率，属于常考题型，正确读取图形信息、熟练掌握相关知识是解题的关键．

20.【答案】解：(1)设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据题意，得
1x+11.5x=112，
解得，x=20，
经检验，x=20是方程的解且符合题意，
∴乙公司单独完成需要的时间为1.5x=30天．
答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天；

(2)设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费(y−1500)元，根据题意，得
12(y+y−1500)=102000，
解得，y=5000，
∴甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000(元)，
乙公司单独完成此工程所需施工费：30×(5000−1500)=105000 (元)，
∵100000<105000，
∴甲公司的施工费较少． 
【解析】(1)设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据甲做的工作量+乙做的工作量=工作总量建立方程求出其解即可；
(2)设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费(y−1500)元，根据两个公司合做共需付施工费102 000元为等量关系建立方程求出其解即可．
本题是一道工程问题的运用题，考查了列分式方程和一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据甲的工作效率+乙的工作效率=合作一天的工作效率为等量关系建立方程是关键，第二问求出甲乙每天的施工费用是关键．

21.【答案】解：(1)∵一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=nx的图象交于点A(1,5)，
∴5=n1，即n=5，
∴反比例函数的表达式为y2=5x，
∵点B(m,1)在反比例函数y2=5x上，
∴1=5m，
∴m=5．
∴反比例函数的表达式为y2=5x，m=5．
(2)不等式nx≥kx+b的解集为：0 (3)∵抛物线的顶点为A(1,5)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+5，
∵抛物线经过B(5,1)，
∴1=a(5−1)2+5，
解得a=−14，
∴抛物线的解析式是y=−14(x−1)2+5，
即y=−14x2+12x+194．
∴该抛物线的解析式为y=−14x2+12x+194． 
【解析】(1)利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入求得m的值；
(2)不等式nx≥kx+b的解集就是反比例函数的图象在一次函数的图象的交点以及反比例函数图象在上方时对应的x的范围；
(3)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
本题考查二次函数与一次函数、反比例函数的图象的交点以及待定系数法求二次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，利用图象解不等式．根据题意正确设出二次函数的解析式是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：如图1所示，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如图2所示，

∵OF⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△AEC∽△CEH，
∴CEEH=EACE，
∴CE2=EH⋅EA；
(3)解：连接BE，如图3所示，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为52，sin∠BAE=35，
∴AB=5，BE=AB⋅sin∠BAE=5×35=3，
∴EA= AB2−BE2=4，
∵BE=CE，
∴BE=CE=3，
∵CE2=EH⋅EA，
∴EH=94，
∴在Rt△BEH中，BH= BE2+EH2= 32+(94)2=154，
∵∠A=∠C，
∴sinC=sinA，
∵OF⊥BC，垂足为F，
∴在Rt△CFE中，FE=CE⋅sinC=3×35=95，
∴CF= CE2−EF2= 32−(95)2=125，
∴BF=CF=125，
∴OF= BO2−BF2= (52)2−(125)2=710，
∵∠ODB=∠ABC，
∴tan∠ODB=tan∠ABC，
∴BFDF=OFBF，
∴BF2=OF⋅DF，
∴(125)2=710DF，
∴DF=28835． 
【解析】(1)根据已知和圆周角定理的推论可得∠ODB=∠ABC，再证明∠OBD=90°即可解决问题；
(2)连接AC，如图2所示，根据垂径定理和圆周角定理推论可证明∠CAE=∠ECB，推出△AEC∽△CEH，再利用相似三角形的性质即可得到结论；
(3)连接BE，如图3所示，则∠AEB=90°，解直角三角形ABE求出BE=3，AE=4，结合(2)的结论可求出EH=94，再根据勾股定理即可求出BH；然后解Rt△CFE求出FE=95，进而求出CF=125，即为BF的长，再利用勾股定理求出OF，利用tan∠ODB=tan∠ABC可得BFDF=OFBF，即可求出DF．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质定理、灵活应用数形结合思想是解题的关键．

23.【答案】解：探究一：(1)依题意画出图形，如答图1所示：

由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，
∴CF=BC⋅tan30°=3× 33= 3，
∴CP=CF⋅tan∠CFP= 3× 33=1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG=12BC=32，
∴PG=CG−CP=32−1=12．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP= AG2+PG2= (32)2+(12)2= 102．

(2)由(1)可知，FC= 3．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC= 3长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2= 3．

过点A过AG⊥BC于点G，则AG=12BC=32．
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG=AGAP1=32 3= 32，
∴∠P1AG=30°，
∴∠P1AB=45°−30°=15°；
同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度数为15°或75°．

探究二：△AMN的周长存在有最小值．
如答图3所示，连接AD．

∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD与△CND中，
∠MAD=∠CAD=CD∠MDA=∠NDC
∴△AMD≌△CND(ASA)．
∴AM=CN．
设AM=x，则CN=x，AN=AC−CN= 22BC−CN=3 22−x．
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN= AM2+AN2= x2+(3 22−x)2= 2x2−3 2x+92= 2(x−3 24)2+94．
△AMN的周长为：AM+AN+MN=3 22+ 2(x−3 24)2+94，
当x=3 24时，有最小值，最小值为3 22+ 94=3+3 22．
∴△AMN周长的最小值为3+3 22． 
【解析】(1)如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；
(2)如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；
(3)如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM=CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．
本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第(3)问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．