2023年广东省揭阳市榕城区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省揭阳市榕城区中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列说法正确的是( )
A. 一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球(每个球除颜色外都相同)，则从中任意摸出一个球是红球的概率为23
B. 一个抽奖活动的中奖概率为13，则抽奖3次就必有1次中奖
C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：x甲−=x 乙−，S甲2>S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
3. 如图，是由9个同样大小的小正方体组成的几何体，将小正方体①移到②的正上方后，关于新几何体的三视图描述正确的是( )
A. 主视图和俯视图改变
B. 俯视图和左视图改变
C. 左视图和俯视图不变
D. 俯视图和主视图不变
4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A. AC=BDB. AC⊥BDC. AD=ABD. AC平分∠DAB
5. 下列计算正确的是( )
A. 3+4 2=7 2B. 3− 2=1
C. 3÷1 6=2 3D. (−3)2=3
6. 如图，扇形OAB的半径为6cm，AC切AB于点A交OB的延长线于点C，若AB的长为3cm，AC=4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A. 1cm2
B. 6cm2
C. 4cm2
D. 3cm2
7. 若矩形的长和宽是关于x的方程2x2−8x+m=0的两根，则矩形的周长为( )
A. 8B. 4C. 2D. 6
8. 小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则ABAC的值为( )
A. 12B. 23C. 35D. 2
9. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是( )
A. 24B. 14C. 13D. 23
10. 华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非.”请运用这句话中提到的思想方法判断方程1x+2=−x2+4x的根的情况是( )
A. 有一个实数根B. 有两个实数根C. 有三个实数根D. 无实数根
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若式子x+1 2−x在实数范围内有意义.则x的取值范围是______ ．
12. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a−1|+ a2的结果是______ ．
13. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为______．
14. 如图，已知y=ax+b和y=kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组ax−y+b=0kx−y=0的解是______．
15. 如图，抛物线y=14x2−4与x轴交于A、B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2cm为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ.则线段OQ的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：4x−8≤03−x2≥2−x并写出所有的整数解．
17. (本小题8.0分)
为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩(单位：分)．
(1)若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成绩，谁将获得冠军？
(2)若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按2：3：5的比例计算最后成绩，谁将获得冠军？
18. (本小题8.0分)
如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．

(1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置(保留作图痕迹)，并写出点M的坐标______ ．
(2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出△A1B1C1在y轴左侧的位似图形△A2B2C2.且△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1；
(3)在(2)中，若△A2B2C2边上的一点P2的坐标为(a,b)，则点P2在△A1B1C1上的对应点P1的坐标为______ ．
19. (本小题9.0分)
已知一次函数y=k(x−1)+6(k>0)与反比例函数y=mx(m≠0)，一次函数的图象过定点A．
(1)A的坐标为______ ；
(2)当k=1时，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A、B两点，求反比例函数y=mx(m≠0)的表达式及点B的坐标；
(3)在(2)的条件下，写出当一次函数值不小于反比例函数值时，x的取值范围．
20. (本小题9.0分)
某商店购进A，B两种教学仪器，已知A种仪器的单价是B种仪器的1.5倍，用450元购买A种仪器的数量比用240元购买B种仪器数量多2台．
(1)求A，B两种仪器单价分别是多少元？
(2)该商店购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的14，如何购买总费用最少？最少费用是多少？
21. (本小题9.0分)
如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
(1)求证：BE=DF；
(2)设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数；
(3)如果CD=15，BE=10，sinA=513，求⊙O的半径．
23. (本小题12.0分)
已知：如图，二次函数y=ax2−4ax−12a(a<0)与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点C，OB=2OC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接AD，若∠DAB=45°，求点D坐标；
(3)点P在第一象限的抛物线上，PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球(每个球除颜色外都相同)，则从中任意摸出一个球是红球的概率为25，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为12，则抽奖2次可能有1次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：x甲−=x乙−，S甲2>S乙2，说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
故选：D．
根据概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
本题用到了概率公式：概率=可能的情况÷总情况；方差代表的是数据的波动程度，对于具体是抽样调查还是普查要看调查的对象的性质，如具有破坏性应该抽样，如意义非常重大的应该采用普查等．
3.【答案】B
【解析】解：将小正方体①移到②的正上方后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图中间的一列小正方形个数由2个变为1个，第三列小正方形的个数由1个变为2个．
故选：B．
利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；
此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
即∠ABC=90°或AC=BD，
故选：A．
根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查正方形的判定，掌握正方形的性质和判定是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、3和4 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、 3和 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、 3÷1 6= 3× 6=3 2，计算错误，不符合题意；
D、 (−3)2=3，计算正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵AC切弧AB于点A，
∴CA⊥OA，
∴S△AOC=12×6×4=12(cm)，
∵S扇形AOB=12×6×3=9(cm2)，
∴阴影部分面积为12−9=3(cm2).
故选：D．
根据AC切弧AB于点A判断出CA⊥OA，再根据三角形的面积公式求出S△AOC，再求出扇形的面积，相减即可得到阴影面积．
主要考查了扇形的弧长公式和面积公式．需注意弧长公式为：l=nπr180，面积公式：S=12lr．
7.【答案】A
【解析】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形的长和宽是关于x的方程2x2−8x+m=0的两根，
∴a+b=−−82=4，
∴矩形的周长为2(a+b)=2×4=8，
故选：A．
设矩形的长为a，宽为b，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=4，即可得到答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系和矩形的性质，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
8.【答案】B
【解析】解；∵点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴ABAC=200300=23，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
证明△BEF∽△DAF，得出EF=12AF，EF=13AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= DE2−EF2=2 2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=12BC=12AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴EFAF=BEAD=12，
∴EF=12AF，
∴EF=13AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF= DE2−EF2=2 2x，
∴tan∠BDE=EFDF=x2 2x= 24；
故选A．
10.【答案】C
【解析】解：在同一直角坐标系中，作出y=x2+4x−2和y=1x的大致图象如下：

由图可知：y=x2+4x−2y=1x1 x有三个交点，
∴x2+4x−2=1 x有三个实数解，
即方程1x+2=−x2+4x有三个实数解，
故选：C．
同一直角坐标系中，作出y=x2+4x−2和y=1x的大致图象，观察交点个数即可得到答案．
本题考查用函数的思想解决方程的根的问题，解题的关键是在同一直角坐标系中，作出y=x2+4x−2和y=1x的大致图象．
11.【答案】x<2
【解析】解：由题意得：2−x>0，
解得：x<2，
故答案为：x<2．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：由题意得，0∴a−1<0，
∴|a−1|+ a2=1−a+a=1，
故答案为：1．
先根据题意得到0本题主要考查了实数与数轴，实数的性质和化简二次根式，正确得到a−1<0是解题的关键．
13.【答案】65°
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°，
∴∠ACD=∠A+∠B=80°+50°=130°，
由作图可知，CE平分∠ACD，
∴∠DCE=12∠ACD=65°，
故答案为：65°．
求出∠ACD，再利用角平分线的定义解决问题即可．
本题考查了基本作图、三角形的外角、角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握角平分线的作法．
14.【答案】x=−4y=−2
【解析】解：∵y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−4,−2)，
∴方程组ax−y+b=0kx−y=0的解是x=−4y=−2．
故答案为x=−4y=−2．
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
15.【答案】3.5
【解析】解：令y=14x2−4=0，则x=±4，
故点B(4,0)，
设圆的半径为r，则r=2，
连接PB，
而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ=12BP=12(BC+r)=12( 42+32+2)=3.5，
故答案为：3.5．
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP的最大值，进而求解．
16.【答案】解：4x−8≤0①3−x2≥2−x②，
解①得：x≤2，
解②得：x≥1，
则不等式组的解集是：1≤x≤2，
则整数解是：0，1，2．
【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解题的关键是能求出不等式组的解集．
17.【答案】解：(1)由题意知，甲的平均分为84+96+903=90(分)；
乙的平均分为89+99+453=2333(分)；
∵90>2333，
∴甲会获得冠军；
(2)由题意知，甲的最后成绩为：(84×2+96×3+90×5)÷(2+3+5)=90.6；
乙的最后成绩为：(89×2+99×3+45×5)÷(2+3+5)=70；
∵90.6>70，
∴甲会获得冠军．
【解析】(1)分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可；
(2)分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可．
本题考查了算术平均数与加权平均数．解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法．
18.【答案】(0,2) (2a,2b)
【解析】解：(1)，如图1，点M为所作，M点的坐标为(0,2)；

故答案为：(0,2)；
(2)如图2，△A2B2C2为所作；
(3)点P2在△A1B1C1上的对应点P1的坐标为(2a,2b)．
故答案为：(2a,2b)．
(1)连接A1A、B1B、C1C，它们的交点为位似中心M点，然后写出M点的坐标；
(2)把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以12得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
(3)根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把P2的横纵坐标都乘以2得到P1点的坐标．
本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
19.【答案】(1,6)
【解析】解：(1)对于y=k(x−1)+6，当x=1时，y=6，
∴一次函数的图象过定点A(1,6)．
故答案为：(1,6)；
(2)当k=1时，则一次函数为y=x+5，
∵反比例函数y=mx(m≠0)过A(1,6)，
∴m=1×6=6，
∴反比例函数为y=6x，
由y=x+5x=6x，解得x=1y=6或x=−6y=−1，
∴点B的坐标为(−6,−1)；
(3)∵一次函数y=x+5与反比例函数y=6x的交点在第一、四象限，
∴当一次函数值不小于反比例函数值时，x的取值范围是−6≤x<0或x≥1．
(1)对于y=k(x−1)+6，当x=1时，y=6，即可求得定点A为(1,6)；
(2)根据待定系数法求出m，得出反比例函数的解析式，然后与一次函数解析式联立，解方程组即可求得B的坐标；
(3)根据函数的增减性即可得到．
本题是反比例函数与一次好速度交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键．
20.【答案】解：设B种仪器的单价是x元，则A种仪器的单价是1.5x元，
根据题意得：4501.5x−240x=2，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，
则1.5x=45，
∴A种仪器单价分别是45元，B种仪器的单价是30元；
(2)设购买A种教学仪器a台，则购买B种教学仪器(100−a)台，
∵A种仪器数量不少于B种仪器数量的14，
∴a≥14(100−a)，
解得：a≥20，
设购买总费用为y元，
∴y=45a+30(100−a)=15a+3000(a≥20)，
∵15>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=20时，y取得最小值，此时100−a=80，y=15×20+3000=3300，
∴购买A种教学仪器20台，B种教学仪器80台，购买总费用最少，最少费用是3300元．
【解析】(1)设B种仪器的单价是x元，则A种仪器的单价是1.5x元，根据“用450元购买A种仪器的数量比用240元购买B种仪器数量多2台”可得方程4501.5x−240x=2，求解即可；
(2)设购买A种教学仪器a台，则购买B种教学仪器(100−a)台，根据题意可得a≥14(100−a)，解得a≥20，设购买总费用为y元，则y=45a+30(100−a)=15a+3000，根据一次函数的性质结合a的取值范围即可求解．
本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，根据等量关系和不等关系列出方程和不等式是解题关键，解题难点在于根据一次函数的增减性判断最小值．
21.【答案】(1)证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO=12OA，OF=12OC，
∴EO=FO，
∵BO=OD，EO=FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF；
(2)解：当k=2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当k=2时，ACBD=2，即AC=2BD，
由(1)知：四边形BFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC=BD，OD=12BD，
∴EO=12OA=12BD=OD，
∴平行四边形DEBF是矩形，
∴当k=2时，四边形DEBF是矩形．
故答案为：2．
【解析】(1)利用平行四边形的性质，即可得到BO=OD，EO=FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到DE=BF；
(2)先确定当OE=OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．
22.【答案】(1)证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥半径BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：如图1，连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=12∠AOF=30°；
(3)解：连接OF，如图2所示：

∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF=OA，
过点O作OG⊥AB于点G，则AG=BG，
在Rt△AOG中，sinBAO=DEAE=OGOA=513，
设DE=5x，则AE=13x，AD=12x，AO=24x，
∵BE=10，
∴AB=10+13x，
则AG=12AB=5+132x，
又∵Rt△AOG中，sin∠BAO=513，则AGOA=1213，
则5+132x24x=1213，
解得x=130407，
∴AO=24x=3120407．
【解析】(1)连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
(3)作CH⊥BE于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH=5，再证明∠A=∠ECH，则sin∠ECH=sinA=HECE=513，于是可计算出CE=13，从而得到DE=2，在Rt△ADE中利用正弦的定义计算出AE=265，接着利用勾股定理计算出AD=245，然后根据D为半径OA的中点即可得到OA的长．
此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)当y=0时，ax2−4ax−12a=0，
解得x1=6，x2=−2，
∴OB=6，
∵OB=2OC．
∴OC=3，
∴−12a=3，
∴a=−14，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+x+3；
(2)如图，作DE⊥AB于E，

∵∠DAB=45°，
∴AE=DE，
设OE=m，则DE=m+2，
∴D(m,m+2)，
∴−14m2+m+3=m+2，
解得m=±2，
∵m>0，
∴m=2，
∴D(2,4)；
(3)如图，作PF//y轴，交BC于F，

则∠PFC=∠BCO，
∴sin∠BCO=sin∠PFQ，
∴OBBC=PQPF，
∴6 32+62=PQPF，
∴PQ=2 55PF，
由B(6,0)，C(0,3)可知，直线BC的解析式为y=−12x+3，
设P(x,−14x2+x+3)，则F(x,−12x+3)，
∴PF=−14x2+32x=−14(x−3)2+94，
∵0∴x=3时，PF的最大值为94，
∴PQ的最大值为2 55×94=9 510．
【解析】(1)令y=0可得x1=6，x2=−2，从而得出点A、B的坐标，即可得出OC的长，从而得出答案；
(2)作DE⊥AB于E，设OE=m，则DE=m+2，再将点D的坐标代入抛物线解析式即可；
(3)作PF//y轴，交BC于F，根据sin∠BCO=sin∠PFQ，可得PQ=2 55PF，利用铅垂高求出PF的最大值，进而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数，二次函数的性质等知识，将PQ的最大值转化为求PF的最大值是解题的关键．
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